浙教版中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：解直角三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）含答案及解析

解直角三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）

＞題型梳理

【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】.......................................................1

【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】...........................................................2

【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算與應(yīng)用】.....................................................3

【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】.................................................3

【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】..............................................5

【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】.......................................................5

【題型7解雙直角三角形】.....................................................................6

【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】.....................................................7

?舉一反三

【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】

【例1】（2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB=BC=AD,AD1BC于點(diǎn)E,AC1CD,則

sinzB=.

【變式1-1]（2023秋?廣西賀州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE1AB,BE=2,cos2=1,

則菱形的周長為—.

【變式1-2]（2023秋?山西運(yùn)城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，AACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

連接CD,過點(diǎn)。作DE1CD交BC于點(diǎn)E,若tanA=BE=7,則DE的長為.

A

【變式1-3]（2023?山西太原?太原五中?？家荒＃┤鐖D，在△力8c中，"=3,8C=4,。、E分別在C4、CB

上，點(diǎn)F在aaBC內(nèi).若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，貝UsinAFB4=.

AB

【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】

【例2】（2023?湖北省直轄縣級(jí)單位?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格,

菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知菱形的一個(gè)角（ZO）為60。，點(diǎn)4B,C,。都在格點(diǎn)上，且線段AB,CD相交

于點(diǎn)P,則taMBPD的值是（）

/WZ7

ODB

A-1B-1c-TD-T

【變式2-1]（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為I,每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)/、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，貝kinn力BC=.

【變式2-2]（2023秋?上海?九年級(jí)上海外國語大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，/、B、C三點(diǎn)在正

方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到使點(diǎn)夕落在射線NC上，貝UcosNB'CB

的值為.

【變式2-3］（2023?四川廣元?統(tǒng)考二模）如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，/a、4/?如

圖所示，則sin（a+￡）=（）

A.2B.立C.五D.立

7722

【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算與應(yīng)用】

［例3］（2023春?山東泰安?九年級(jí)?？计谀┰赼ABC中，若cosA=?,tanB=V3,則這個(gè)三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【變式3-1］（2023秋?河北保定?九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：2sin30。+&cos45。一V^tan60。+（兀一逐）°

【變式3-2］（2023?上海嘉定?模擬預(yù)測）計(jì)算：

(l)|sin30°+￡COS45。+sin30°tan60°；

⑵sin45°-cos45°+黑詈鬻+3tan2300+tan45°

cos30°,

【變式3-3］（2023秋?甘肅嘉峪關(guān)?九年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，|2cosA-1|+（V3-tanB）2=0,則△ABC

的形狀是.

【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】

［例4］（2023?江蘇?九年級(jí)江陰市祝塘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長度為5的動(dòng)線段AB分別與坐標(biāo)系橫軸、

縱軸的正半軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱，連接CA、CB,過點(diǎn)C作x軸的垂線段CD,

交x軸于點(diǎn)D

y

O]BDx

(1)移動(dòng)點(diǎn)A,發(fā)現(xiàn)在某一時(shí)刻，^AOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求這一時(shí)刻點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵移動(dòng)點(diǎn)A,當(dāng)tan/OAB=號(hào)時(shí)求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【變式4-1](2023春?吉林長春?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊直角三角形紙

板如圖放置，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)4、8恰好分別落在函數(shù)y=-1(><0),y=1(x>0)的圖像上,

則sin/ZB。的值為()

【變式4-2](2023春?江蘇連云港?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，點(diǎn)。為坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)/為y軸正半軸上一點(diǎn),

點(diǎn)2為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，CM=AB,N04B=9O。，將△04B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角度數(shù)至△。4"，

此時(shí)反比例函數(shù)y=￡(k>0)剛好經(jīng)過。&,。夕的中點(diǎn)，則tan乙4。4=.

【變式4-3](2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系中,

點(diǎn)。為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y=kx-當(dāng)交x軸于點(diǎn)交y軸于點(diǎn)8,tanzO/lB=

y,

O\x

（1）求直線力B的解析式；

（2）在線段AB上有一點(diǎn)P,連接。P,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為K△4?！傅拿娣e為5,求S關(guān)于f的函數(shù)解析式（不

要求寫出自變量f的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點(diǎn)D,連接AD,若S=15,乙40P+4BPO=2Z.AD0,

求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】

【例（?全國?九年級(jí)假期作業(yè)）已知。=—,則一元二次方程/+久+解的情況是（）

512023sin30aa2=0

A.有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法判斷

【變式5-1］（2023秋?山東東營?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程/—2x+tana=0有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根，則銳角a=.

【變式5-2］（2023?北京朝陽?九年級(jí)專題練習(xí)）a為銳角，且關(guān)于x的一元二次方程2/sina-x+1=0

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a=（）

A.30°B.45°C.30°或150°D.60°

【變式5-3］（2023春?九年級(jí)單元測試）若cosa是關(guān)于x的一元二次方程2x2—3百x+3=0的一個(gè)根，則

銳角a=.

【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】

【例6】（2023秋?廣東河源?九年級(jí)?？计谀┰赗taABC中，NC=90。，c=8V3,乙4=60。，解這個(gè)直

角三角形.

【變式6-1］（2023秋?甘肅張掖?九年級(jí)校考期中）在A42C中，NC=90。，乙4,乙B,4c的對(duì)邊分別為a,

b,c

（1）已知a=6,6=2遍，解這個(gè)直角三角形

（2）已知乙3=45。，a+b=6,解這個(gè)直角三角形

（3）已知sin4=±c=6,解這個(gè)直角三角形.

【變式6-2）（2023秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt4ABe中，NC=90°,乙A—KB=30。，a-b=2遍-2,

解這個(gè)直角三角形.

【變式6-3］（2023秋?山東煙臺(tái)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）在A4BC中，已知NC=90°,b+c=30,AA-AB=30°.解

這個(gè)直角三角形.

【題型7解雙直角三角形】

【例7】（2023秋?山西運(yùn)城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=2,tanB=點(diǎn)。是BC延長線上

一點(diǎn)，tanZ-ACD=

4

⑴求點(diǎn)A至IjBD的距離；

（2）求sin4的值.

【變式7-1］（2023秋?安徽蚌埠?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，4。=90。，BC=4,點(diǎn)。是4C上

一點(diǎn)，連接BD.若tan4=1,tan^ABD=貝UCD=.

【變式7-2］（2023秋?陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形2BCD中，乙B=90°,AB=2.連接力C,AC1

CD.若sinNaCB=：,tanN￡MC=￡求CD的長.

【變式7-3］（2023?湖北武漢??？家荒＃┤鐖D，已知。為等腰內(nèi)△ABC的腰上一點(diǎn)，CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。至ED,連接BE,CE,M為BE的中點(diǎn)，則當(dāng)tan/EDA=：時(shí)，絲=_____

2BC

c

【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】

【例81（2023秋?湖南衡陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形4BCD中，4B=8,BC=12,點(diǎn)E在4B上=5,

尸是4D上一點(diǎn)，將矩形沿PE折疊，點(diǎn)N落在點(diǎn)4處.連接AC,與PE相交于點(diǎn)R設(shè)力P=久.

⑴;

⑵若點(diǎn)/在NB4C的平分線上，求FC的長；

（3）求點(diǎn)4,。距離的最小值，并求此時(shí)tan乙4PE的值.

【變式8-1］（2023春?廣東揭陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形4BCD的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,△COD關(guān)

于CD的對(duì)稱圖形為△CED.

EE

⑴求證：四邊形OCED是菱形；

（2）連接力E,若CD=6cm,AD=|cm.

①求sin/EAD的值；

②若點(diǎn)尸為線段4E上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/重合），連接0P,一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段0P

勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以|cm/s的速度沿線段P4勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H到達(dá)點(diǎn)N后停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)0沿上述路線

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間為t,求t的最小值.

【變式8-2]（2023春?湖南株洲?九年級(jí)統(tǒng)考期中）中國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載著勾股定

理，約1400年后的漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明.這

就是如圖所示的“趙爽弦圖"，若Isina-cosa|=?，則小正方形與直角三角形的面積比為（）

B.1：1C.2：V5D.1：5

【變式8-3]（2023秋?山西運(yùn)城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在口48。。中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交4D,

BC于點(diǎn)E,F,EF與力C相交于點(diǎn)。，連接AF,CE.

（1）求證：四邊形力ECF是菱形；

（2）已知sinA4CF=g,CF=5,AB=6,請(qǐng)你寫出sinB的值.

V

B

FC

解直角三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）

【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】.......................................................1

【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】...........................................................5

【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算與應(yīng)用】.....................................................9

【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】................................................11

【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】..............................................17

【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】......................................................19

【題型7解雙直角三角形】.....................................................................22

【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】....................................................27

?舉一反三

【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】

【例1】（2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB=BC=AD,4。18。于點(diǎn)￡,ACLCD,則

sinz.^=.

A

/訃：

B

D

【答案w

【分析】設(shè)4B=BC=4。=1,AE-x,則。E=l—x,根據(jù)已知條件得出Z_￡MC=NDCE,根據(jù)真切的定

義得出EC?=AE?￡>￡1=x(l—X),進(jìn)而在中，AB2-AE2+BE2,勾股定理建立方程，解方程，

即可求解.

【詳解】解：設(shè)48=8C=4。=1,AE=x,貝!-1-x

■.■AD1BC,AC1CD,

:"+/.DAC=90°,N。+4DCE=90°,

??Z-DAC=乙DCE,

?'?tanZ.DAC=tanzDCE,

ECDE

?,?一=—，

AEEC

：.EC2=AE-DE=x(l-x),

；.BE=1-EC=1-7%(1-x),

在RtZk/BE中，AB2=AE2+BE2,

*，*I2=/+(1__x)),

整理得，5%2=軌，

解得：x=0或％=

?.??scinB=AE—=4-

AB5

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023秋?廣西賀州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在菱形4BCD中，DE1AB,BE=2,cosA=，

則菱形的周長為—.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得=BC=CD=2D,結(jié)合cosA=蕓=&設(shè)力E=3k,貝!=5k,再建立

AD5

方程求解左的值，從而可得答案.

【詳解】解：???四邊形48CD是菱形，

?'*AB=BC=CD=AD,

??,DE1AB,

：./LDEA=90°,

AAE3

J.cosA==—,

AD5

設(shè)AE=3k,則/。=5k,

:,BE=5k-3k=2k=2,

???k=1,

-'-AD=5,

二菱形的周長=44D=4x5=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記銳角的余弦的定義，并靈活應(yīng)用是解本題的

關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023秋?山西運(yùn)城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rta/IBC中，N4CB=90。，點(diǎn)。是4B的中點(diǎn),

連接CD,過點(diǎn)。作DE1CD交BC于點(diǎn)E,若tanA=；,BE=7,則DE的長為.

A

CEB

【答案】15

【分析】由N"B=90。，tam4=；,可設(shè)力C=3x,BC=4x,由勾股定理得到48=5x,由直角角三角形

斜邊上中線的性質(zhì)得到CD=BD=AD=；AB=再證NA=乙DEC,求得DE=竽久，據(jù)此求解即可得到

228

答案.

【詳解】解：???/-ACB=90°,tan4=%

.,.設(shè)AC=3x,BC=4x,

-'-AB=yjAC2+BC2=5x,

???。是48的中點(diǎn)，

.：CD=BD=AD=\AB=lx,

:.乙DCB=Z-DBC,

又DE1CD,

?-Z-A=乙DEC,

5

.?,taiM=tanzDFC=^=g=^

?'-CDLE=-15x,

8

：.CE=7CD2+DE2=下X,

?：BE=7,

25~

???44%-----x=7,

8

解得％=8,

1q

.-.DE=—x8=15.

8

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)，直角三角形

中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023?山西太原?太原五中校考一模）如圖，在△48C中，4C=3,BC=4,D,E分別在C4、CB

上，點(diǎn)F在△4BC內(nèi).若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，貝Usin/FBA=.

【答案】曹

【分析】連接4尸，過點(diǎn)尸作FG_L4B于G,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到4D=2,BE=3,根據(jù)勾股定理得到k=1,

BF=V10,即可解答.

【詳解】解：連接力F,過點(diǎn)F作FG14B于G,

???四邊形CDFE是邊長為1的正方形,

■■.CD=CE=DF=EF=1,"=AADF=90°,

■.■AC=3,BC=4,

-，-AD=2,BE=3,

.'.AB=yjAC2+BC2=5,AF=VAD2-DF2=V5,BF=y/BE2+EF2=V10,

設(shè)BG=x,

-'-AG=5—x,

?：FG2=AF2-AG2=BF2-BG2,

?■?5-（5-x）2=10-x2,解得：x=3,

■.FG=y/BF2-BG2=1,

-'-smZ，.廠FB》A=—FG=——V10，

BF10

故答案為：曙.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】

【例2】（2023?湖北省直轄縣級(jí)單位?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格,

菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知菱形的一個(gè)角（N。）為60。，點(diǎn)4B,C,。都在格點(diǎn)上，且線段ZB,CD相交

于點(diǎn)P,則tan/BPD的值是（）

C

A.-B.-C.—D.—

3232

【答案】D

【分析】如圖取格點(diǎn)E,連接EC、DE.設(shè)小菱形的邊長為1.首先證明N4PC=NECD,再證明NCDE=90。,

根據(jù)tan/APC=tan/ECD,即可解決問題.

【詳解】解：如圖取格點(diǎn)E,連接EC、DE.設(shè)小菱形的邊長為1.

■■■AC=BE,AC\\BE

???四邊形ACEB是平行四邊形,

:.EC||AB,

Z.APC—Z.ECD,

依題意乙。=60。，則△OCD是等邊三角形,

貝此CD。=60°,4EDB=30°,

???乙CDE=90°,

???CD=2,DB=BE=1,

如圖所示，過點(diǎn)B作BF_LDE,???DB=BE=1,

:/BDF=-x60°=30°,BF=-DB=

222

■-DF=VDF2—BF2=J了-G）=Jl—1=J=當(dāng)，

又一DF=FE

.■.DE=DF+FE=—+—=V3,

22

???tanzfiPD=tanzXPC=tanzFCD=—=—

CD2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助

線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

【變式2-1]（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)/、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，貝Usin/4BC=.

【答案】Y

【分析】取4B的中點(diǎn)D,連接力C,CD,先根據(jù)勾股定理可得4C=BC==遍，再根據(jù)等腰三角形的

三線合一可得CD14B,然后根據(jù)正弦的定義即可得.

AC=Vl2+32=V10,BC=Vl2+32=V10,CD=Vl2+22=V5,

AC=BC,

又?.?點(diǎn)。是4B的中點(diǎn),

???CDLAB,

.CDV5V2

???smZ.ABC=—==一

BCV102

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題

關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023秋?上海?九年級(jí)上海外國語大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，/、B、C三點(diǎn)在正

方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△4C8繞著點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到使點(diǎn)落在射線NC上，貝UcosNB'CB

的值為.

【答案】g

【分析】取網(wǎng)格點(diǎn)。點(diǎn)，連接BD,BB',由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=屈,CD=V2,BD=2a,即有

CD2+BD2=BC2,可得△CDB是直角三角形，貝UBD1B工，問題隨之得解.

【詳解】解：如圖所示：取網(wǎng)格點(diǎn)。點(diǎn)，連接BD,BB',

由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=V10,CD=V2,BD=2A/2,

：.CD2+BD2=BC2,

??.△CD8是直角三角形,

則BQ1B'C,

???COSN夕CB若畸若

故答案為：Y

【點(diǎn)睛】本題考查了利用網(wǎng)格圖求解角的余弦函數(shù)值的知識(shí)，理解余弦的意義，作出合理的輔助線，是解答

本題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?四川廣元?統(tǒng)考二模)如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，Na、N0如

圖所示，則sin(a+0)=()

V7C.日D.在

772

【答案】A

【分析】連接。E,利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出Na=30。，同理可得出NCDE=ACED=

30°=z.a,由乙4EC=60。結(jié)合N4ED=^AEC+4CED可得出乙4EO=90°,設(shè)等邊三角形的邊長為a,則

AE=2a,DE3a,利用勾股定理可得出力D的長，由三角函數(shù)定義即可得出答案.

【詳解】解：連接DE,如圖所示:

E

在△ABC中，ZXFC=120°,BA=BC,

■■■/.a=30°,

同理得：4CDE=ACED=30°=za.

又,.ZEC=60°,

；ZAED=^AEC+MED=90°.

設(shè)等邊三角形的邊長為a,貝ME=2a,DE=2xsin60°xa=V3a,

■■.AD=VAE2+DE2=J（2a）2+（V3a）2=V7a,

.Z.rjxAE2a2V7

.?.sin（a+^）=-=^=—

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的變化規(guī)律，構(gòu)造出含一個(gè)銳角等于Na+N0的

直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算與應(yīng)用】

［例3］（2023春?山東泰安?九年級(jí)?？计谀┰凇骶樱?中，若cosA=y,tanB=V3,則這個(gè)三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【詳解】試題解析：vcos^=y,tanB=V3,

.?.乙4=45°,Z5=6O°.

.-.zC=180o-45°-60o=75°.

???△/8C為銳角二角形.

故選A.

【變式3-1］（2023秋?河北保定?九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：2sin3（T+&cos45。一百tan6（T+（兀一%）°

【答案】0

【分析】先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)暴，再根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可.

【詳解】解：原式=2x［+&x曰-WxB+1=1+1—3+1=0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟知相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?上海嘉定?模擬預(yù)測）計(jì)算：

（l）|sin30°+^cos450+sin30°tan60°；

⑵sin45O.345。++3taM3。。+翳.

【答案】（1）過等

⑵2+警

【分析】（1）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘法，再算加法;

（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加減.

【詳解】（1）解：原式=3x[+^x?+（xB

=中+如

422

3V3

=—I-----

42

3+2V3

=---------------

4，

⑵原式*X分暮+3X等+專

2

1,1,1,2V3

=-H-----1-3QXv-4------

2233

2V3

=1+1+—

=2+理

3

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，掌握特殊角三角函數(shù)值以及二次根式混合運(yùn)算

的運(yùn)算順序和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵.

【變式3-3]（2023秋?甘肅嘉峪關(guān)?九年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，|2cos2-1|+（百-tanBp=0,則△ABC

的形狀是.

【答案】等邊三角形

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出2cos4-1=0,V3-tanB=0,再根據(jù)三角函數(shù)作答.

【詳解】'-'\2cosA—1|+（V3—tanB）=0,

???2cos4—1=0,V3—tanB=0,

即cos/=I，tanB=V3,

?-Z-A=60°,乙B=60°,

??.zC=60°,

則4ABC一定是等邊三角形，

故答案為:等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的

關(guān)鍵.

【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】

【例41（2023?江蘇?九年級(jí)江陰市祝塘中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，長度為5的動(dòng)線段AB分別與坐標(biāo)系橫軸、

縱軸的正半軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱，連接CA、CB,過點(diǎn)C作x軸的垂線段CD,

⑴移動(dòng)點(diǎn)A,發(fā)現(xiàn)在某一時(shí)刻，^AOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求這一時(shí)刻點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）移動(dòng)點(diǎn)A,當(dāng)tanNOAB=3時(shí)求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】⑴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（牛,乎）；（2）C（W，W）.

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得：AB是OC的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)得：OB=BC,OA=AC,

△AOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況：

①當(dāng)NABONCBD時(shí)，②當(dāng)NABONBCD時(shí)，根據(jù)角的關(guān)系分別計(jì)算點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（2）先根據(jù)三角函數(shù)定義求OB=遍，OA=2V5,利用面積法得OG和OC的長，根據(jù)等角的三角函數(shù)可知:

OG=2BG,證明△BGOs/^CDO,列比例式可得結(jié)論.

【詳解】（1）連接OC,交于G,

???點(diǎn)。和點(diǎn)C關(guān)于4B對(duì)稱,

???4B是。C的垂直平分線，

???OB=BC,0A=AC,

???Z.ABO=Z.ABC,

???Z.AOB=乙BDC=90°,

??.44。8和以點(diǎn)8、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況：

①當(dāng)乙/B。=ZCBO時(shí)，Z.ABO=/-ABC=乙CBD=60°,

???乙BAO=(BCD=30°,

vAB=5,

I515

OB=BC=-AB=-BD=-BC=

22t24

?*.OD=OB+BD=—I—=—,CD=——f

2444

???喑韋

②當(dāng)N/B。=4BCO時(shí)，乙ABO=4ABC=^BCD,

???ABIICD,

vCD1%軸，

???AB11軸，此種情況不成立；

綜上所述，2M08和以點(diǎn)2、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，這一時(shí)刻點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,竽)；

1OR

(2)?.?tan^OAB=-=一，

v72OA

設(shè)。8=X,貝I」。4=2%,

x2+(2%)2=52,

x=b或一通(舍)，

???0B—y/5,0A—2^/5,

SAAOB=2>OB=3AB?OG、

V5?2V5=50G,

OG=2,

???OC=2OG=4,

乙GOB=Z-OAB,

-1pf,

???tanZ.GOB=tanzOXB=-=—,

2OG

???OG=1,

??.OB=V5,

乙GOB=Z.DOC,Z.BGO=4CO。,

：?ABGO

OGBG

：.-----=------,

ODCD

.2_1

??—，

ODCD

.??OD=2CD,

OD-—,CD,

55

，陪考

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

△AOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)分不同情況解決問題.

【變式4-1](2023春?吉林長春?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊直角三角形紙

板如圖放置，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)4、2恰好分別落在函數(shù)y=—[(久<0),y=1(x>0)的圖像上,

則sinzAB。的值為()

A.-B.—C.-D.—

3455

【答案】D

【分析】點(diǎn)4B落在函數(shù)y=-：(%<0),y=；Q>0)的圖像上，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，可得直角

三角形的面積；根據(jù)題意又可知這兩個(gè)直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形力0B的兩條直角邊的

比，再利用勾股定理，可得直角邊與斜邊的比，從而得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)4、B分別作力Dlx軸，BElx軸，垂足為。、E,

y

???點(diǎn)a在反比例函數(shù)y=-1(x<0)上，點(diǎn)B在y=1(x>0)上,

^AAOD=5，S^BOE=2,

又乙AOB=90°

Z.AOD=乙OBE,

:AAOD?AOBE,

2_Sa，。。_1

?-S^BOE~4'

,OA_1

??OB?2，

設(shè)。Z=m,貝!JOB=2m,AB=-Jm2+(2m)2=V5m,

在RtZ\40B中，sin/AB。="=普=蟲.

ABV5m5

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的幾何意義、相似三角形的性質(zhì)，將面積比轉(zhuǎn)化為相似比，利用勾股定理可得直角

邊與斜邊的比，求出sin/ABO的值.

【變式4-2](2023春?江蘇連云港?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，點(diǎn)。為坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)/為y軸正半軸上一點(diǎn),

點(diǎn)8為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，。力=4B,^OAB=90°,將△(MB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角度數(shù)至△04'B',

此時(shí)反比例函數(shù)y=1(fc>0)剛好經(jīng)過。4,0B，的中點(diǎn)，則tan/TlCM'=.

【分析】如圖，過4作AH104于H,過夕作夕Q14”于Q,證明△4?！叭飨?Q,設(shè)4（犯九），可得。”=

rrr

AQ=n,A'H=BQ=m,B(m+n,n—m)f可得。4,OB'的中點(diǎn)坐標(biāo)為：QQm+n,|n—

2

可得;小九=；/一；巾2,整理得(7)+Q-1=0,再解方程即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過4作4H1O4于H,過夕作夕QJ.4H于Q,

：./.OHA'=/.A'QB=90°,而404?=90。，

：./.OA'H+/.B'A'Q=900=^B'A'Q+^A'B'Q,

：.^OA'H=/.A'B'Q,

■：OA'=A'B',

■■.AA'OH=AB'A'Q,設(shè)4(m,72),

■■.OH=A'Q=n,A'H=B'Q=m,

n,n—m),

OB'的中點(diǎn)坐標(biāo)為：Qm+|n,|n-

???反比例函數(shù)y=|(fc>0)剛好經(jīng)過。4,。夕的中點(diǎn)，

112￡12￡

4mn=4-n—4m,

????+C)T=。，

解得：2=二手或2=三亞(不合題意舍去)，

n2n2

；.tan乙4。4=—=走二；

n2

故答案為：亨.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求解銳角的

正切，熟練的建立方程求解是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系中,

點(diǎn)。為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y=依一自交x軸于點(diǎn)4交y軸于點(diǎn)3,tan^OAB=

(1)求直線AB的解析式；

(2)在線段4B上有一點(diǎn)尸，連接OP,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為，，aaop的面積為s,求s關(guān)于/的函數(shù)解析式(不

要求寫出自變量/的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，在直線y=2%的第一象限上取一點(diǎn)D,連接2D,若S=15,乙40P+Z.BPO=2乙ADO,

求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)丫=三萬一至；(2)S=--t+-；(3)(6,12).

4242

【分析】(1)先根據(jù)解析式求出點(diǎn)8坐標(biāo)，再用三角函數(shù)求出點(diǎn)N坐標(biāo)，代入解析式即可；

(2)用t表示點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，利用三角形面積公式列出函數(shù)解析式即可；

(3)根據(jù)S=15求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，得出乙4OP+NBPO=2N4DO=90。，作NE1OD于E,作ERLON于凡

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(a,2a),點(diǎn)E坐標(biāo)為(b,26),根據(jù)勾股定理列出方程即可.

【詳解】解：(1)當(dāng)尸0時(shí)，y=-y,點(diǎn)3的坐標(biāo)為(0,-y),OB=^-,

3

^tanZ-OAB=

4

04=10,/點(diǎn)坐標(biāo)為(10,0),代入y=kx—至得，0=10k—竺，解得，k=三，

OA4224

直線4B的解析式為y=：x—當(dāng)；

(2)把點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)t代入y="一號(hào)得，丫=?一章

???點(diǎn)P在線段4B上，

r?1y八z315、目口c1575

，S=-X10X(——t+—),即5=——t+

(3)當(dāng)S=15時(shí)，15=--C+-,解得，t=6,代入y=2t-￡得，y=—3,

4242

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(6,-3),

?.?點(diǎn)3的坐標(biāo)為（0,-y）,

??,BP=j62+（-3+y）2=y,

:?BP=OB,

,"BOP=Z.BPO,

^AOP+乙BPO=（BOP+Z-AOP=90°,

???NZOP+乙BPO=2440。,

???乙4。。=45°,

作NE1OD于E,作瓦UCM于尸，設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（a,2a）,點(diǎn)E坐標(biāo)為（b,26）,

OE=y/OF2+EF2=遍b,AF=\0-b,

■：AE2=EF2+AF2,AE2=OA2-OE2

2222

???IO-（V56）=（2b）+（10-b）,解得，瓦=0（舍去），b2=2,

則點(diǎn)E坐標(biāo)為（2,4）,AE=DE=V42+82-4A/5,

OD=2V5+4V5=6V5,

,?,點(diǎn)。坐標(biāo)為（a,2a）,

2=

?■?a+4a2=180,解得，%_=6,a2-6（舍去），

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定

理列出方程.

【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】

[例5]（2023?全國?九年級(jí)假期作業(yè)）已知sin30。=—,則一元二次方程/+ax+2=。解的情況是（）

a

A.有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法判斷

【答案】C

【分析】先利用sin30°=少求出a的值，即可得到一元二次方程，再根據(jù)根的判別式』=所—4ac的值即可

a

選擇.

【詳解】由sin3(T=3,

a

1a+1

2a

a=-2

則有/-2x+2=0

由/=b2—4ac=(-4)2—4x1x2=-4<0

所以方程無實(shí)根.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查特殊度數(shù)的三角函數(shù)值和一元二次方程的根的情況.熟練利用一元二次方程的根判別式/=

b2-4ac是判斷一元二次方程根的情況的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023秋?山東東營?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+tana=0有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根，則銳角a=.

【答案】45°

【分析】根據(jù)判別式的意義得到A=(-2)2-4tana=0,則tana=l,然后利用特殊角的三角函數(shù)值求a的

值.

【詳解】解：根據(jù)題意得△=(-2)2-4tana=0,

所以tana=l,

所以銳角a=45。.

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+6x+c=0(存0)的根與A=〃-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)公

>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.也

考查了特殊角的三角函數(shù)值.

【變式5-2](2023?北京朝陽?九年級(jí)專題練習(xí))a為銳角，且關(guān)于x的一元二次方程2/sina-x+1=0

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a=()

A.30°B.45°C.30°或150°D.60°

【答案】B

【詳解】試題解析：關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2&$也01丁+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

4=（-2V2sina）—4=0,

整理得：sina=當(dāng)

a為銳角，

???a=45°.

故選B.

【變式5-3]（2023春?九年級(jí)單元測試）若cosa是關(guān)于x的一元二次方程2x2—3百x+3=0的一個(gè)根，則

銳角a=.

【答案】30°

【分析】先求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)特殊角的函數(shù)值即可得出

【詳解】??,2x2—3百x+3=0

A=^b2-4ac=V3>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b+y/b2-4ac3V3+V3

???X=--------------------=-------------

2a2X2

■,■X]=V3,X2=-^

,."cosa是關(guān)于x的一元二次方程2X2—35/^X+3=0的一個(gè)根，且cos30°=^

???a=30°

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】

【例6】（2023秋?廣東河源?九年級(jí)?？计谀┰赗tZ\ABC中，zC=90°,c=8遮，NA=60。，解這個(gè)直

角三角形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)含有30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理解決此題.

【詳解】解:如圖.

在Rt△ABC中，ZC=90°,c=AB=8>/3,44=60°,

NB=180°-zC-=30°.

???AC=-AB=4V3.

2

???BC==7AB2-AC2=J(8何2一(4A/3)2=12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)

以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2023秋?甘肅張掖?九年級(jí)?？计谥?在AIBC中，NC=90。，乙4,乙8,NC的對(duì)邊分別為a,

b,c

(1)已知a=6,b=2y/3,解這個(gè)直角三角形

(2)已知乙5=45。，a+b=6,解這個(gè)直角三角形

(3)已知siib4=5c=6,解這個(gè)直角三角形.

【答案】(1)c=4A/3；(2)a=b=3,c=3A/2；(3)a=3,b=3V3

【分析】(1)直角三角形中知兩邊，求第三邊，運(yùn)用勾股定理即可

(2)Z-B=45°,即Q=b,a+b=6,即可知a=b=3.再運(yùn)用勾股定理即可

(3)sinA=-=其中c=6,即可求解.

c2

【詳解】解：依題意

(1)在Rt^ABC中，ZC=90°,

?-?a=6,b=2A/3,

???根據(jù)勾股定理M+b2=c?得，c=Va2+b2=JG2+(2A/3)2=4V3,

???c=4A/3；

(2)???乙B=45°,

.??ABC為等腰直角三角形，

???a+b=6,

a=b=3,

???根據(jù)勾股定理得：c=Va2+b2=V32+32=3V2,

???c=3V2,

???此三角形的三邊分別為：a=3A/2,b-3V2,c=6；

(3)???在△ZBC中，4c=90。，

???sinA=-=

c2

???c=6,

1

???a=-c=Q3,

2

根據(jù)勾股定理得：b=Vc2-a2=V62-32=3V3,

,此三角形的三邊分別為：a=3,b—3百，c—6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查直角三角形勾股定理的運(yùn)用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟練運(yùn)用勾股定理.

【變式6-2]（2023秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt21ABe中，"=90°,zX-zB=30。，a—b=2百—2,

解這個(gè)直角三角形.

【答案】a=2聒、6=2、c=4

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組求出N8的值，再利用正切的定義得a=Bb,解方程組求出

a,b,即可解決問題.

【詳解】解：由題意知：｛父二建券，解得：｛片二黑,

“a

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