2024高考數(shù)學一輪復習第11章概率第2節(jié)古典概型教學案文北師大版

PAGE1-其次節(jié)古典概型[最新考綱]1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事務所包含的基本領件數(shù)及事務發(fā)生的概率．(對應學生用書第191頁)1．古典概型具有以下兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型(古典的概率模型)．(1)試驗的全部可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果；(2)每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事務A包含的可能結(jié)果數(shù),試驗的全部可能結(jié)果數(shù))＝eq\f(m,n).eq\o([常用結(jié)論])確定基本領件個數(shù)的三種方法(1)列舉法：此法適合基本領件較少的古典概型．(2)列表法(坐標法)：此法適合多個元素中選定兩個元素的試驗．(3)樹狀圖法：適合有依次的問題及較困難問題中基本領件個數(shù)的探求．一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“在相宜條件下，種下一粒種子視察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本領件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”． ()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事務是等可能事務． ()(3)某袋中裝有大小勻稱的三個紅球、兩個黑球、一個白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同． ()(4)“從長為1的線段AB上任取一點C，求滿意AC≤eq\f(1,3)的概率是多少”是古典概型． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1．從1,2,3,4,5中隨機取出三個不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的基本領件個數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7C[任取三個數(shù)和為偶數(shù)共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6個，故選C.]2．袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,3)A[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]3．現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參與某項活動，則甲被選中的概率為________．eq\f(2,3)[從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參與某項活動，有甲乙，甲丙，乙丙三種可能，則甲被選中的概率為eq\f(2,3).]4．口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個，這3個球除顏色外完全相同，有放回地連續(xù)抽取2次，每次從中隨意取出1個球，則2次取出的球顏色不同的概率是________．eq\f(2,3)[由題意，知基本領件有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，紅)，(白，白)，(白，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黑)，共9種，其中2次取出的球顏色相同有3種，所以2次取出的球顏色不同的概率為1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).](對應學生用書第191頁)⊙考點1古典概型的概率計算求古典概型概率的步驟(1)推斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事務，設出所求事務A；(2)分別求出基本領件的總數(shù)n與所求事務A中所包含的基本領件個數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事務A的概率．(1)(2024·全國卷Ⅱ)生物試驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)(2)(2024·全國卷Ⅲ)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)(1)B(2)D[(1)設5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的全部可能狀況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標的狀況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選B.(2)設兩位男同學分別為A，B，兩位女同學分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學排成一列全部可能的結(jié)果如圖所示．由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學相鄰的結(jié)果(畫“√”的狀況)共有12種，故所求概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故選D.](3)(2024·天津高考)2024年，我國施行個人所得稅專項附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受狀況．①應從老、中、青員工中分別抽取多少人？②抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受狀況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪．員工項目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○a.試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；b．設M為事務“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事務M發(fā)生的概率．[解]①由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人．②a.從已知的6人中隨機抽取2人的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．b．由表格知，符合題意的全部結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．所以，事務M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).求古典概型概率的關鍵是列出全部可能的結(jié)果．[老師備選例題]某旅游愛好者安排從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．[解](1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本領件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個．所選兩個國家都是亞洲國家的事務所包含的基本領件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個，則所求事務的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的基本領件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個．包括A1但不包括B1的事務所包含的基本領件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個，則所求事務的概率為P＝eq\f(2,9).1.(2024·江蘇高考)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參與志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是________．eq\f(7,10)[法一：設3名男同學分別為A，B，C,2名女同學分別為a，b，則全部等可能事務分別為AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本領件分別為Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，故所求概率為eq\f(7,10).法二：同方法一，得全部等可能事務共10個，選出的2名同學中沒有女同學包含的基本領件分別為AB，AC，BC，共3個，故所求概率為1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).]2．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參與獻愛心活動．(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？(2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學擔當敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設M為事務“抽取的2名同學來自同一年級”，求事務M發(fā)生的概率．[解](1)因為甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學，所以應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學中隨機抽取2名同學的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以事務M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21).⊙考點2古典概型與其他學問的交匯問題求解古典概型的交匯問題，關鍵是把相關的學問轉(zhuǎn)化為事務，然后利用古典概型的有關學問解決，其解題流程為：古典概型與平面對量相結(jié)合從集合{1,2,3,4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1,2,3}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2,1)共線的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)A[由題意可知，向量m＝(a，b)的全部可能結(jié)果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12個，∵向量m＝(a，b)與向量n＝(2,1)共線，∴a－2b＝0，即a＝2b，∴有(2,1)，(4,2)，共2個，故所求概率為eq\f(1,6).]解答本題的關鍵是依據(jù)向量m與n共線，得到a與b的關系，再從全部基本領件中找出滿意條件的基本領件的個數(shù)．古典概型與解析幾何相結(jié)合將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．eq\f(7,12)[依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿意直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，則當a＝1時，b＝1,2,3,4,5,6，共有6種，當a＝2時，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當a＝3時，有4種，a＝4時，有3種，a＝5時，有2種，a＝6時，有1種，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).]解答本題的關鍵是依據(jù)直線與圓有公共點得到a≤b.再從全部基本領件中找出滿意a≤b的基本領件的個數(shù)．古典概型與方程、不等式、函數(shù)相結(jié)合已知a＝log0.55，b＝log32，c＝20.3，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(2)，從這四個數(shù)中任取一個數(shù)m，使函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋x＋2有極值點的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．1B[f′(x)＝x2＋2mx＋1，由題意知Δ＝4m2－4＞0，解得m＞1或m＜－1，而a＝log0.55＜－2,0＜b＝log32＜1，c＝20.3＞1，0＜d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(2)＜1，滿意條件的有兩個，分別是a，c.因此所求的概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故選B.]解答本題的關鍵是依據(jù)函數(shù)f(x)有極值點得到m的取值范圍，再依據(jù)m的取值范圍確定滿意條件的個數(shù)．1.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)C[函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿意題意，又b∈{3,5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是eq\f(2×2,5×2)＝eq\f(2,5).故選C.]2．設平面對量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，記“a⊥(a－b)”為事務A，則事務A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq