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河北省曲陽(yáng)縣一中2025屆高三3月調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,其中為虛部單位,則實(shí)數(shù)()A.3 B. C. D.2.已知類(lèi)產(chǎn)品共兩件,類(lèi)產(chǎn)品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分開(kāi)來(lái),每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出2件類(lèi)產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類(lèi)產(chǎn)品時(shí),檢測(cè)結(jié)束,則第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品,第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為()A. B. C. D.3.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件4.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.15.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.6.一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球(除顏色外無(wú)區(qū)別),任取球,記其中黑球數(shù)為,則為()A. B. C. D.7.已知,滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.8.窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙,是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風(fēng)格獨(dú)特,神獸人們喜愛(ài).下圖即是一副窗花,是把一個(gè)邊長(zhǎng)為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長(zhǎng)為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個(gè)角處再剪出邊長(zhǎng)全為1的一些小正方形.若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.9.已知點(diǎn)P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.10.已知函數(shù)滿(mǎn)足當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好有3對(duì),則的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③12.雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開(kāi)式中,若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則________.14.已知實(shí)數(shù),對(duì)任意,有,且,則______.15.在平面直角坐標(biāo)系中,若函數(shù)在處的切線與圓存在公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.16.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,且.某用戶(hù)購(gòu)買(mǎi)了件這種產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_(kāi)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.18.(12分)如圖,在三棱錐中,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,平面平面,為銳角三角形,求證:(1)是的中點(diǎn);(2)平面平面.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長(zhǎng);(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.20.(12分)已知凸邊形的面積為1,邊長(zhǎng),,其內(nèi)部一點(diǎn)到邊的距離分別為.求證:.21.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,角為鈍角,(1)求的值;(2)求邊的長(zhǎng).22.(10分)已知函數(shù)(,),且對(duì)任意,都有.(Ⅰ)用含的表達(dá)式表示;(Ⅱ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.2.D【解析】
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率,不放回情況下第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率,即可得解.【詳解】類(lèi)產(chǎn)品共兩件,類(lèi)產(chǎn)品共三件,則第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為;不放回情況下,剩余4件產(chǎn)品,則第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為;故第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品,第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為;故選:D.本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
解出兩個(gè)不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因?yàn)榧?,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.4.C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說(shuō)明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則故選D.點(diǎn)睛:此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.6.A【解析】
由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值有、、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值有、、、,則,,,.因此,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選:A.本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價(jià)于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大,所以,故選D.本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.8.D【解析】
由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.10.C【解析】
先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象,分類(lèi)利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象,如圖所示,當(dāng)時(shí),對(duì)稱(chēng)后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn),則,解得.故選:C.本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.11.D【解析】
對(duì)于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對(duì)于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對(duì)于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達(dá)定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),所以過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.12.D【解析】
根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn),再利用,求出點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因?yàn)椋纯傻玫?,故選:D.本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】試題分析:由已知得,故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理.14.-1【解析】
由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法得,又,所以,令得:,所以,得解.【詳解】由,且,則,又,所以,令得:,所以,故答案為:.本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15.【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點(diǎn),利用圓心到直線的距離滿(mǎn)足的條件列式求解即可.【詳解】解:由條件得到又所以函數(shù)在處的切線為,即圓方程整理可得:即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為:.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程的問(wèn)題,同時(shí)也考查了根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
直接計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù):故答案為:本題考查正太分布中原則,審清題意,簡(jiǎn)單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)證明見(jiàn)解析,;(2)【解析】
(1)由成等差數(shù)列,可得到,再結(jié)合公式,消去,得到,再給等式兩邊同時(shí)加1,整理可證明結(jié)果;(2)將(1)得到的代入中化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng),然后求其前項(xiàng)和.【詳解】(1)由成等差數(shù)列,則,即,①當(dāng)時(shí),,又,②由①②可得:,即,時(shí),.所以是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,,所以.(2),所以.此題考查了數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的證明,裂列相消求和,考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.18.(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;【解析】
(1)推導(dǎo)出,由是的中點(diǎn),能證明是有中點(diǎn).(2)作于點(diǎn),推導(dǎo)出平面,從而,由,能證明平面,由此能證明平面平面.【詳解】證明:(1)在三棱錐中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中點(diǎn),是有中點(diǎn).(2)在三棱錐中,是銳角三角形,在中,可作于點(diǎn),平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.本題考查線段中點(diǎn)的證明,考查面面垂直的證明,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.19.(1);(2).【解析】
(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,由點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長(zhǎng);(2)將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標(biāo)方程為,即直線與曲線交于兩點(diǎn).則圓心坐標(biāo)為,半徑為1,則由點(diǎn)到直線距離公式可知,所以.(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,化為直角坐標(biāo)可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得,解得,所以?xún)牲c(diǎn)坐標(biāo)為,所以,由兩點(diǎn)間距離公式可得.本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)求法,屬于基礎(chǔ)題.20.證明見(jiàn)解析【解析】
由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可證明.【詳解】因?yàn)橥惯呅蔚拿娣e為1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問(wèn)題,考查學(xué)生對(duì)不等式靈活運(yùn)用的能力,是一道容易題.21.(1)(2)【解
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