數(shù)學(xué)-廣東2025屆高三下學(xué)期3月綜合能力測試（燕博園聯(lián)考CAT）試題+答案

掃答案廣東省2025屆高三年級(jí)綜合能力測試(CAT)數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷)本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。4.考生必須保持答題卡整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合A=N,B={x|y=√x2-4x},則ANC&B)=A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}2.在等差數(shù)列{a}中，若as+a?+a?=27,則2ag-a?的值為A.18x12345y58且y對(duì)x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，則y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a必經(jīng)過的定點(diǎn)為A.(1,5)B.(2,7-m)C.(3,8)D.(5,11)4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A(0,1),B(b,b),直線l上的單位向量為若AB⊥I,則b的值為5.2025年3月14日是星期五.學(xué)校數(shù)學(xué)組于3月10日至3月14日舉辦為期5天的“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，其中有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng).在一個(gè)不透明的紙箱中，放著5個(gè)質(zhì)地、大小完全相同的小球，球上寫著“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”,分別對(duì)應(yīng)得分：1,2,3,4,5.學(xué)生從中有放回地任取一個(gè)球，記下得分.設(shè)事件A=“第一次得分5”,事件B=“第二次得分5”,則P(B|A)=數(shù)學(xué)試卷第1頁(共4頁)6.已知斜率為√3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且從上到下與C依次交于A、BAF=FB,則λ=AA7.在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M,N分別為AB,CC?的中點(diǎn)，過直線MN的平面截該正方體的內(nèi)切球O,所得截面圓的面積的最小值為A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足,則A.z的實(shí)部為3B.z的虛部為2i10.已知函)的部分圖像如圖所示，把函數(shù)f(x)的圖得到函數(shù)g(x)的圖像，則y個(gè)1EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up2(5),6)B.函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.若函數(shù)y=f(2x)在區(qū)間[0,m]上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍為|D.函數(shù)y=f(2x)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱11.已知數(shù)列{a}滿足a+2+a≥2a+,數(shù)列{bn}滿足bn=e”,T,為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的積，B.bn+k+1·bnk-1<bn+k·bnC.若T100=1,則b??bs?≤1D.若a?=1,a2025=2025,則a?的最大值為12數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在二項(xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則常數(shù)項(xiàng)為_.(用數(shù)字作答)13.已知F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)且在第一象限，且BF垂直于x軸.若C的離心率為2,則AB的斜率為14.已知函數(shù),且函數(shù)g(x)=f'(x),若不等式g(x+a)<g(2x)對(duì)任意的x∈(-○,-2)U(1,+)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值；(3)討論函數(shù)h(x)=f(x)-e+1在(0,+○)上的單調(diào)性.16.(15分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2btanC=c(tanA+tanC).(ii)過邊AC上一點(diǎn)P作AB,BC的垂線，垂足分別為D,E,求DE的最小值.17.(15分)如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是邊長為4的等邊三角形，底面△ABC是以∠ABC為直角的等腰直角三角形.數(shù)學(xué)試卷第3頁(共4頁)(2)若二面角P-AB-C的大小為求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.18.(17分)已知F,F?是離心率為的橢圓C:)的左、右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為A,(1)求橢圓C的方程.(2)若直線I?與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N(i)若AM⊥AN,證明：直線l?恒過定點(diǎn)P,并求出點(diǎn)P坐標(biāo)；(ii)若點(diǎn)M,N關(guān)于直線對(duì)稱，且OM⊥ON,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求m的19.(17分)已知m,n∈N*,n≥2.設(shè)集合C={x|x=3k-2或x=3k-1,k∈N*,且k≤m},集合A={a|α=|x?-y?l+|x?-v?I+…+x,-yl=1,則稱β為α的“相鄰元”.對(duì)于整數(shù)H,若集合A存在一個(gè)子集B滿足：(i)集合B中的元素個(gè)數(shù)為H;(ii)Va∈B,在集合B中都至少有n-1個(gè)“相鄰元”,則稱H是“好數(shù)”.(2)當(dāng)m=2,n=9時(shí)，求證：4?-47是“好數(shù)”;(3)當(dāng)n=2025時(shí)，若整數(shù)d,d?,d?滿足0<d?<d?<d?≤2022,證：(2m)2?2?-[m2025d(2m)1+m225d(2m)2+m2025d(2m)]是“好數(shù)”.掃答案數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)題號(hào)1235678DDCBDAB1.命題立意：試題主要考函數(shù)的定義域，集合的表示方法以及全集、子集、交集、補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，考查基本的運(yùn)算求解能力.由于集合A={0,1,2,3,4,},B={x|x≤0或x≥4},則oB={x|0<x<4},A∩(B)={1,2,3}.故選D.2.命題立意：試題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、基本性質(zhì)等內(nèi)容，考查基本的邏輯思維與推理能力，以及運(yùn)算求解能力.3.命題立意：試題主要考查一元線性回歸模型的含義、參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，利用一元線性回歸模型研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系并進(jìn)行預(yù)測，考查知識(shí)獲取能力和邏輯推理能力.故選C.4.命題立意：試題主要考查單位向量概念，直線的斜率，兩運(yùn)算求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的思想.由于,則,因?yàn)锳B⊥l,則,解得或b=4.故選C.運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，也考查考生分析問題和解決問題的能力.查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，體現(xiàn)解析幾何的基本思想和基本方法.由于F(1,0),直線AB方程為y=√3(x-1),聯(lián)立方程消去y,得3x2-10x+3=0, 顯然xA>x,得xA=3,,|AF|=xA+1=4,,AF=3FB, λ=3.故選D.7.命題立意：試題主要考查考生熟悉的正方體、球等基綜合性，創(chuàng)新性的考查要求.設(shè)T是線段MN的中點(diǎn)，則OT⊥MN,由勾股定理MN=√MB2+BN2=√6,OM=√2,球心O到MN距離,當(dāng)OT垂直于過MN的平面時(shí)，截得內(nèi)切球所得截面圓的面積最小，MN被球截得的弦長 此時(shí)圓的半徑就是,面積為.故選A.8.命題立意：試題主要考查三個(gè)數(shù)值的大小比較，通過分析數(shù)值的共性與特點(diǎn)，作差、變形.試題重點(diǎn)考查考生分析問題的能力以及對(duì)數(shù)運(yùn)算解決問題的能力.試題緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，題目經(jīng)典，力圖引導(dǎo)教學(xué)，符合基礎(chǔ)性，綜合性，應(yīng)用性，創(chuàng)新性的考,b<c,則b<c<a.故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，題號(hào)99.命題立意：試題主要考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.試題強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，注重對(duì)基本概念，基本思想方法的考查.本題能夠穩(wěn)定考生的緊張情緒，增強(qiáng)考生考試的信心，有利于考生在考試中正常發(fā)揮.由于,則二的實(shí)部為3,=的虛部為2,不是2i,由于|,z·z=|zl2=13,E=3-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(3,-2)在第四象限.故選ACD.10.命題立意：試題主要考查三角函數(shù)圖像的識(shí)別與基本性質(zhì)，三角的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查考生理性思維等數(shù)學(xué)學(xué)科索養(yǎng).由于A=1,,則w=1,f(x)=sin(x+φ),令的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得單位長度，得到函數(shù)g(x)=sin2x,令則函數(shù)g(x)圖像關(guān)于直線對(duì)選項(xiàng)C正確； 圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)D正確.故選BCD.11.命題立意：試題主要考查數(shù)列的基本概念、力，運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力，考查考生的推理預(yù)判，數(shù)學(xué)應(yīng)用、探索等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).由于b=e,則b,>0,對(duì)于選項(xiàng)A:方法1:,將上述不等式累乘得：方法2:由-得bb?≥b?b,≥b?b?≥b,bs,即成立.故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B:由于,則,整理得b++ba--1≥b+·b-,I≤k<n,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.則(bs?·b??)5?≤b?b?b?b?…b,b?0=To=1,得bsob??≤1,故選項(xiàng)C正確.另外，a,-ag≥a?-a,,a,-ag≥a-a?,結(jié)合①②式得：,得：ag≤8,顯然a=n符合題意，此時(shí)ag=8,綜上所述，a的最大值為8.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.3由于2"=64,則n=6,二項(xiàng)式6的通項(xiàng)為：r=0,1,2,,6,令得r=4,故常數(shù)項(xiàng)是(-2)?C4=16×15=240.數(shù)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增得得四、解答題：本題共5小題，共77分。15.(13分)(1)由于f(x)=xlnx定義域?yàn)?0,+),,f(e)=e,f'(e)=2故曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,e)處的切線方程為：y-e=(2)令f'(x)<0,則,令f'(x)>0,則,則函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.故函數(shù)f(x)的極小值為,無極大值.7分(3)由于函數(shù)h(x)=xlnx-e+1,令g(x)=h'(x)=Inx+1-e(x>0),則在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減，且,g'(1)=1-e<0,故,使,當(dāng)且僅當(dāng)即x?=1時(shí)，等號(hào)成立，顯然，等號(hào)不成立，故h'(x)<0,故h(x)在(0,+)上是減函數(shù).13分16.(15分)化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.(1)在△ABC中，A+C=π-B,sin(A+C)=sin由2btanC=c(tanA+tanC)及正弦定理得，2sini(2)(i)如圖1,在△ABC中，,由正弦定理得，即,得b=AC=4(√3-1).方法1:單變量法=2x2-4x+8=2(x-1)2+6.方法2:四點(diǎn)共圓如圖1,由PD⊥AB,PE⊥AC,故P,E,B,D四點(diǎn)共圓，且BP為該圓直徑.由正弦定理得,故求DE的最小值等價(jià)于求BP的最小值.當(dāng)BP15分方法3:建系坐標(biāo)法以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2,則A(2,0),B(-2,0),直線BC:y=x+2,直線AC:y=-√3(x-2).設(shè)D(t,0),則P(t,-√3(t-直線PE:y=-(x-t)-√3(t-2).17.(15分)13分15分位置關(guān)系，考查二面角、直線與平面所成角、空間直角坐標(biāo)系，考查考生想象能力和運(yùn)算求解能力，重點(diǎn)突出對(duì)基礎(chǔ)性和綜合性的考查.取AC的中點(diǎn)H,連接BH,PH,則BH⊥AC.方法1:在△PHB中，PH=HB=2√2,PB=4,則∠PHB=90°.由于PH⊥HB,PH⊥AC,HB⊥AC=H,則PH⊥平面ABC.又PHc平面PAC,故平面PAC⊥平面ABC.7分方法2:由于PH⊥AC,BH⊥AC,則∠PHB是二面角P-AC在△PHB中，PH=HB=2√2,PB=4,則∠PHB=90°.故二面角P-AC-B為直二面角，即平面PAC⊥平面ABC.7分(2)方法1:以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA所在直線為x軸、V軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),C(4,0,0),A(0,4,0).9分由于△PAB是邊長為4的等邊三角形，二面角P-AB-C的平面角為則P(√3,2,3).設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ,設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).由于,故直線PA與平面PBC所成角的正弦值為15分取AB的中點(diǎn)為O,連接OP,OH.在等邊△PAB中，AB⊥OP,則OH⊥AB(三垂線定理的逆定理),則∠POH就是二面角P-AB-C的平面角，即9分在△POH中，PO=2√3,,則H在△ABC內(nèi).作HN⊥BC于N,連PN,則PN⊥BC(三垂線定理).設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ,設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d.由于HN=OB=2,PN=√22+32=√13,Vp-Ac=Va-PBc,,得13分18.(17分)設(shè)直線/:y=kx+n(n≠1),M(x?,y?),N(x?,y?).由△=64k2n2-4(4k2+1)(4n2-4)>0得，n2<4k2+1.由于A(0,1),因?yàn)锳MIAN,AM=(x?,y?-1),AN=(x?,y?-1),且AM·把代入(*)式，得滿足n2<4k2+1,故直線方程消去得(1十代入5m2n2-4m2-4=0,得11m?-24m2-80=0,得m2=4或(舍),當(dāng)m2=4時(shí)，1,滿足,故m=±2.17分19.(17分)命題立意：試題主要考查元素、集合、子集、絕對(duì)值運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查學(xué)生的邏輯思維，運(yùn)算求解，獨(dú)立思考和創(chuàng)新應(yīng)用等能力，同時(shí)重點(diǎn)考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題，解決問題的能力；重點(diǎn)考查從特殊到一般，轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論等數(shù)學(xué)思想與方法.(1)α=(1,4,1)的“相鄰元”為：(2,4,1),(1,5,1),(1,4,2).3分(2)因?yàn)閙=2,所以C={1,2,4,5}.設(shè)A={a|α=(x,x?,,x,),x,∈{1,2,4,5}},顯然A中每一個(gè)元素恰有9個(gè)“相鄰元”.設(shè)U={u|u=(1,1,u?,…,u?),u,∈{1,2,4,5}},構(gòu)造B=OU,則集合B中的元素個(gè)數(shù)為4?-4?.對(duì)集合B中的任意元素b=(b,,b?,…,b?),在集合U中至多存在一個(gè)u=(1,1,u?,…,u?),滿足|b?-1|+|b?-1|+|b?-u?|+…+|b,-u,|=1,從而b=(b,b?,…,b)