中考數(shù)學一輪復習重難點強化訓練：相似三角形（知識串講+13大考點）原卷版

專題06相似三角形

考點類型

考點1：比例的性質(zhì)

模塊四圖形的性質(zhì)

06講相似三角形

知識一遍過

（一）圖形相似的性質(zhì)

⑴相似多邊形對應邊的比叫做相似比.

（2）全等多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形.

（3）相似多邊形的性質(zhì)為:

①對應角相等;

②對應邊的比相等.

（4）如果兩個多邊形的對應角相笠，對應邊的比相等,則這兩個多邊形是相似多邊形

（二）平行線平分線段成比例

（1）比例線段在四條線段a,b,c,d中，如果a與b的比等于c與d的比，即m那么這四條線段a,

b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

（2）比例的基本性質(zhì)

①基本性質(zhì)：-=-<^>ad=bc；（b>d#0）

bd

②合比性質(zhì)：三=5=竽=岑；（b、*0）

bdbd

③等比性質(zhì)：-==k（b+d+...+nr0）o”且二i"=k.（b>d、...、nrO）

bdnb+d+--+n-

（3）平行線分線段成比例定理及推論

①兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

即如圖所示，若l3〃l4〃h，則”

②平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.

即如圖所示，若AB〃CD,則空=

③平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.

如圖所示，若DE〃BC,貝lUADEs/XABC.

（4）黃金分割點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果芯==t—=0.618,那么線段AB被點C黃金

ADZ

分割.其中點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.

?----------------------1---------------1

ACB

（三）相似三角形的判定

J」

相似三角形的判定

石Tgc

如圖

判定1:兩個三角形對應邊成比例，則這兩個三角形

相似?.?絲=江=空；.?.AABCSAA，"

A'B'A!CB'C

判定2：兩個三角形有兩個角對應相等，則這兩個三如圖

角形相似：ZA=ZA'ZB=ZB'；AABCsM'B'C

如圖

判定3：兩個三角形有兩邊成比例，及其夾角相等，

AHAT

則這兩個三角形相似???——=——；ZA=ZA'；???AA5csAA'5'C

A'B'A'C

（四）相似三角形的性質(zhì)

如圖：兩個三角形相似，則有對應邊成比例

AR4rRC

???AABCsAA'B'C'；=—=k

A'B'A'CB'C

BC夕c，

如圖；兩個三角形相似，則有對應角相等

?：AABCsAA，8C.

ZA=NA'ZB=ZB'ZC=ZC

如圖：兩個三角形相似，則有對應邊上中線的比等于

4,相似比

\

―一―，八…AMABAC,

??AABCsAA\BC；；?-------=-------=-------=k

A'M'A'B'A'C

BzAMCB/'M'C

如圖：兩個三角形相似，則有對應邊上高線的比等于

r

\相似比

AABCsM^B'C；Z,飛兇==k

R/f<B'Arc1AH'AB'A'C

如圖：兩個三角形相似，則有對應角的角平分線的比

等于相似比

VAABC^AAB'C；：.^-=^-=^^=k

BDCR'D'C'

AD'A'B'A'C

如圖：兩個三角形相似，則兩個三角形周長的比等于

相似比

」/:AABCsAA，B，C.

BC夕仁，.C.BC__—C_卜

"CZMVI,DR,cr,A'D'~A'B'~A!C'~

如圖：兩個三角形相似，則兩個三角形面積的比等于

相似比

AABC^AAB'C；

'/@-AHxBC

RuB'U2

?-?-AA3C—___________—JVx.

SAA，B，C‘-A'H'XB'C

2

（五）常見的相似模型

模型一：A字模型

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一線三等角模型

模型五：手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）

旋轉(zhuǎn)相似，成對出現(xiàn)

△ABCsLADEo下=—'NBAD=NCAE=AABD^AACE

（六）相似三角形的應用舉例

（1）測量物體的高度.①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似

三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等"的原理解決.②測量方法：在同一時刻測量出

參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度.

（2）測量物體寬度（測量距離）.①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造"A"型或"X"

型相似圖，三點應在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形.②測

量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度.

A.1B.±1C.1或一2D.2

【變式1］（2024上?北京石景山?九年級統(tǒng)考期末）若3久=4y（y豐0）,貝吟的值是（）

【變式2】（2023上?甘肅酒泉?九年級統(tǒng)考期中）如果?=不那么等等于（）.

A.3:2B.2:5C.5:3D.3:5

【變式31（2023上?江西撫州?九年級江西省撫州市第一中學?？计谥校┮阎龜?shù)a、6、c,且。=2==

k,則下列四個點中在正比例函數(shù)丫=依圖象上的點的坐標是（）

A.（1,0B.（1,2）C.D.（1,-1）

考點2：線段的比

典例2：（2023上?浙江紹興?九年級統(tǒng)考期末）已知點P是線段4B的黃金分割點，AP＞PB,貝MP:PB的值為

（）

A.漁匚B.漁龍C.0.618D.V5-1

22

【變式1］（2023上?四川?九年級校考階段練習）AABC中，尸是4C的中點，D、E三等分BC、BF^AD,4E分

別交于P、Q，貝l|8P:PQ:QF=（）.

A.5:3:2B.3:2:1C.4:3:1D.4:3:2

【變式2】（2023?河北唐山?統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DEEIEC=2I33,連接

AE、BD,且AE、BD交于點F,則DFEIBF等于（）

A.205B.203C.305D.302

【變式3］（2023上?九年級校考單元測試）把一個矩形剪去一個盡可能大的正方形，若剩下的矩形與原矩形

相似，那么原矩形的長與寬（寬＜長＜2寬）的比為（）

A.（1+V5）:2B.（1+V3）:2C.（1+V2）:2D.（1+V6）:2

考點3：成比例線段

典例3：（2023上?吉林長春?九年級?？茧A段練習）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（）

A.a=l,b=2,c=4,d=6B.a=4,b=6,c=6,d=8

C.a=5,b=6,c=7,d=10D.a=1,b=V2,c=V3,d=V6

【變式1］（2023上?廣東佛山?九年級校考階段練習）下列各組中的四條線段mb,c,d是成比例線段的是

A.a=1,b=1,c=lfd=5B.a=1,b=V2,c=2V2,d=8

C.a=2,b=V5,c=2A/3,d=VT5D.a=V2,b=3,c=2,d=8

【變式2］（2022上?九年級單元測試）下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,6cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.lcm,2cm,3cm,4cmD.3cm,4cm,6cm,9cm

【變式3］（2023上?四川成都?九年級四川省成都列五中學?？茧A段練習）下面四條線段成比例的是（）

A.a=1,b=2,c=3,d=4B.a=3,b=6,c=9,d=18

C.a=1,b=V3,c=2,d=V6D.a=1,b=2,c=4,d=6

考點4:平行線平分線段成比例

典例4：（2023上?江蘇南通?九年級?？茧A段練習）如圖，IMUs，若AB=3,BC=2,則ff等于（）

【變式1]（2023上?山西長治?九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB||CD||EF,直線匕，%與這三條平行線分別交于

點A,C,尸和點8,D,E.若黑=|，則與的值為（）

【變式2】（2023?全國?九年級專題練習）如圖，直線/曲/2即3，直線AC,。尸分別交乙，12,/3于點A，B,C

和點。，E,F,連接AF,作BG0AE.若器=|，BG=9,則AF的長為（）

A.12B.13C.14D.15

【變式3］（2023上?河北邯鄲?九年級校聯(lián)考期中）如圖，珍珍在橫格作業(yè)紙（橫線等距）上畫了個〃X〃，與

橫格線交于4B,C,D,。五點，若線段=4cm,則線段CD=（）

C.6cmD.7cm

考點5:相似三角形的判定一一證明題

典例5：（2022上,全國?九年級專題練習）已知：如圖，在AABC中，AB=6,AC=8,D、E分另（J在AB、AC

上，BD=2,CE=5.求證：△ZEDSAABC.

【變式1］（2024上?陜西西安?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形力BCD中，ABAD=90°,對角線4clBC,

過點。作DE14C于點E.

(1)求證：AXBC-ADAE；

(2)若tan/B力C=|,AC=4,DE=3,求CD的長.

【變式2］（2023上?江蘇南京?九年級南京外國語學校仙林分校校考期末）如圖，在△ABC中，點。、E分別

在力B、AC上，且NBCE+NBDE=180°.

⑴求證：AADEMACB；

（2）連接BE、CD,求證：4AEBFADC.

【變式3］（2023上?廣東深圳?九年級深圳市南山區(qū)華僑城中學?？茧A段練習）如圖，四邊形4BCD是菱形,

點G是BC延長線上一點，連接力G,分別交BD、CD于點E、F,連接CE.

⑴求證：乙DAE=ADCE-,

(2)求證:AECFs&EGC.

考點6:相似三角形的判定一一添加條件

典例6：（2023上,全國?九年級專題練習）如圖,已知41=42,那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與

△力DE相似的是（）

AB_BCAB_AC

A.Z.C—Z-AEDB.Z-B=Z.D

AD-DEAD-AE

【變式1］（2023上?江蘇徐州?九年級?？茧A段練習）如圖，下列條件中不能判定△ACD?△ZBC的是（）

AB_AD乙

BC-CDB.Z-ADC=ACB

C.Z-ACD=Z-BD.AC2=AD-AB

【變式2】（2023上?北京延慶?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點E是△ABC的邊4B上一點，要使得△ACE與△4BC

相似，添加一個條件，不正確的是（

A.Z-ACE=Z-BB.Z.AEC=Z-ACB

AC_AErACCE

D.-=—

?AB-ACABBC

【變式3）（2022上?湖南株洲?九年級?？计谥校┤鐖D，已知Nl=Z2,添加下列條件后，仍無法判定△ABC?△

ADE的是()

.ABADrABBC

A.—=—B.乙B=乙DC.Z.C=Z.AEDD.—=—

ACAEADDE

考點7：相似三角形的性質(zhì)一一求解

典例7：（2023上?天津和平?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△4BC中，DE\\BC,EF\\AB,-=若四邊形BDEF

DB2

的面積為16,則△ADE的面積是（）

A

【變式11（2023上?四川成都,九年級成都七中校考階段練習）如圖，在回4BCD中，點E在DC邊上，連接2E交

BD于點F,若DE:EC=2:1,則△2BF的面積與△DEF的面積之比為（）

A.1:4B.4:9C.9:4D.2:3

【變式2］（2023上?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期中）將一張三角形彩紙力BC按如圖所示的方式折疊，使點2落

在邊力C上，記為點尸，折痕為DE.已知力B=AC=6,BC=8,若以點C,D,尸為頂點的三角形與△力BC相

似，則8。的長是（）

A12-24-12—“n24-“

A.—B.—C.—或4D.—或4

7777

【變式3】（2023上?福建泉州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△力BC中，D,E分另U是4B,AC的中點，BE,CD相

交于點。，則下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）

DE_1OE1

B.

BC~2OB2

的周長_1的面積_1

,—BC的周長—2?四邊形BCEQ的面積-4

考點8：相似三角形的性質(zhì)一一坐標

典例8：（2022上?河南三門峽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標系xOy中，4（一4,0）,B（0,2）,連接48

并延長到點C,連接CO,若4COBCAO,則點C的坐標為.

【變式1］（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考一模）如圖，已知矩形。48c與矩形歹即。是位似圖形，尸是位似中心,

若點A的坐標為（0,6）,點E的坐標為（2,3）,則點B的坐標為.

【變式2］（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點4B的坐標分別為（-4,0）、（0,4）,

點C（3,n）在第一象限內(nèi)，連接AC、BC.已知乙BC4=2NC4。，則幾=.

【變式3］（2023上?北京通州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4（10,0）,OB=2V5,

乙B=90°,則點B坐標為.

考點9：相似三角形的性質(zhì)一一網(wǎng)格

典例9:（2022上?廣東梅州?九年級?？茧A段練習）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個斜三角形:①4ABC,CDB,

③4DEB,④AFBG,⑤△HGF,⑥XEKF.在②?⑥中，與①相似的三角形有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1］（2023上?北京?九年級校聯(lián)考期末）如圖，下面方格紙中小正方形邊長均相等.448。和/DEP的各

頂點均為格點（小正方形的頂點），若2MBe?/PDE且兩三角形不全等，則P點所在的格點為（）

C.P3D.P4

【變式2］（2024上?上海金山?九年級統(tǒng)考期末）如圖在4x1的方格中,每一個小正方形的頂點叫做格點,

以其中三個格點為頂點的三角形稱為格點三角形，0ABe就是一個格點三角形，現(xiàn)從△ABC的三個頂點中選

取兩個格點，再從余下的格點中選取一個格點聯(lián)結(jié)成格點三角形，其中與AaBC相似的有（）

C

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式3］（2023上?河北張家口?九年級張北縣第三中學?？茧A段練習）如圖，在由小正方形組成的方格紙

中，△4BC和AEDP的頂點均在格點上，要使△ABCsaEDP,則點P所在的格點為（）

A.點PiB.點尸2C.點P3D.點04

考點10:相似三角形的性質(zhì)一一證明

典例10：（2022?廣東深圳?校考一模）如圖①，在RtaABC中，AC=BC,乙4cB=90。，點。為BC邊上的

一點，連接Z。，過點。作CE12。于點尸，交于點連接。E.

(1)若AE=2BE,求證：AF=2CF；

(2)如圖②，若AB=a,DE1BC,求器的值.

【變式1】（2023?上海松江?統(tǒng)考一模）如圖，已知梯形4BCD中，AD\\BC.E是邊2B上一點，CE與對角線8。

交于點尸，S.BE2=EF-EC.

求證:

(!)△ABD—△FCB；

(2)BD?BE=AD?CE.

【變式2］（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在A4BC中，點M為力C邊的中點，點E為力B上一點，且

連接EM并延長交BC的延長線于點D.求證：BC=2CD.

【變式3］（2023上?江蘇?九年級?？茧A段練習）如圖，平行四邊形ABCD中，CE是團DCB的角平分線，且交

AB于點E,DB與CE相交于點O,

（1）求證：團EBC是等腰三角形；

（2）已知：AB=7,BC=5,求”的值.

考點11:相似三角形的性質(zhì)一一尺規(guī)

典例11：（2023?山西太原?山西實驗中學校考模擬預測）如圖，在RtAABC中，乙8=90°,BC=2,AB=4.

⑴實踐與操作：利用尺規(guī)作4C邊上的垂直平分線OE,垂足為E,交4B于點。（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖

痕跡，不寫作法，標明字母）.

（2）求出線段DE的長.

【變式1】（2023上?山西呂梁?九年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形力BCD中，E是邊4B上的一點，連接CE.

⑴利用尺規(guī)作NCDF,使NCDF=NBCE,NCDF的邊OF交CE于點尸.（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不

寫作法，標明字母）

（2）求證：DF?CE=BC?DC.

【變式2］（2023上?福建三明?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在A/IBC中，NACB的平分線交于點0.

（1）利用尺規(guī)在AC邊上求作點E,使得EC=ED（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在⑴的條件下，若票=|，BC=10,求DE的長.

【變式3］（2023上?福建泉州,九年級石獅市石光中學校聯(lián)考期中）求證：三角形的重心與一邊中點的連線

的長是對應中線長的

⑴如圖，在A4BC中，用尺規(guī)作出力8邊上的中線CD,AC邊上的中線BE,且CD與BE交于點G（不寫做法,

保留作圖痕跡）.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，寫出已知，求證和證明過程.

考點12：相似三角形判定與性質(zhì)綜合

典例12：（2024上?福建泉州?九年級統(tǒng)考期末）在RtAABC中，乙4c8=90。，CH148于點“，點。，H關(guān)

于直線AC對稱，連接2。，CD,E為AB的中點，連接DE交AC于點工

⑴求證：AC2=AB-AD；

⑵求證:鬻噎；

(3)若2。=4,AB=6,求DE的值.

【變式1】（2023上,安徽合肥?九年級期末）如圖，在矩形ZBCD中，AB=6,BC=8,點E是BC邊上的一

個動點（不與點8、C重合），連接2E,并作EF1AE,交CD邊于點F,連接4F,設(shè)BE=久，CF=y.

（1）①求證：4ABEMECF；

②當x為何值時，y的值為2；

（2）當x為何值時，A/IDF也與A/IBE相似.

【變式2］（2023上?九年級單元測試）如圖，在正方形4BCD中，尸是4。的中點，BF與4C交于點G.

⑴求證：AAGF^ACGB；

⑵請求出4BGC與四邊形CGFD的面積之比.

【變式3］（2