中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)：平行線中的四大基本模型（4大題型+20道拓展培優(yōu)）含答案及解析

平行線中的四大基本模型重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

（4大題型+20道拓展培優(yōu)）

旨【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

K【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】

【結(jié)論1]若AB〃CD,貝l]NB0C=NB+NC

【結(jié)論2］若NB0C=NB+NC,貝【JAB〃CD.

【結(jié)論3】如圖所示，AB/7EF,則NB+ND=NC十NE

朝向左邊的角的和二朝向右邊的角的和

結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型

【例1】（2023春?山東濟(jì)寧?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，如果AB||CD,貝吐a、4|3、4之間的關(guān)系

為（）

A.Za+Z.p+Z.y=180°B.Za—Z.p+Zy=180°

C.za+zp—z.y=180°D.Za—zp—Zy=180°[

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

【變式1]（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC（zA=60°）

按如圖所示放置.若4=43。，則Z2的度數(shù)為（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【變式2】（2023秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知35平分/ABC,。石平分/APC,

=80°,/BCD=n。,則NBED的度數(shù)為.（用含〃的式子表示）

D

【變式3】（2023春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線48〃CD,是截線，點(diǎn)M在直線/8、CD

之間.

⑴如圖1,連接GM,HM.求證：LM=UGM+乙CHM；

（2）如圖2,在NG//C的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q,使得乙4GM=LHGQ.試判斷與NGQH之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

個(gè)【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結(jié)論1】如圖所示，AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

【結(jié)論2】如圖所示，NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.

變異的鉛筆頭：拐點(diǎn)數(shù)n,NA+...+NC=180°X（n+1）

【例2】（2023下?重慶巴南?七年級重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知ABCD,E尸，AB于點(diǎn)品

NBFH=ZEGH=30°,ZW=5O°,則/FEG的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2020下,山東煙臺(tái)?七年級統(tǒng)考期中）如圖陰//CB”,貝吐1+/2+N3+…+/n=（）

A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)

【變式2](2021下?七年級課時(shí)練習(xí))如圖，已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,則NC=_度.

【變式3］（2023下?甘肅慶陽?七年級?？计谥校?）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB〃CD,E是AB與CD之

間的一點(diǎn)，連接3E,CE,可以發(fā)現(xiàn)NB+NC=NBEC.

請把下面的證明過程補(bǔ)充完整：

圖①圖②圖③

證明：過點(diǎn)E作所〃AB,

：AB//CD(已知)，EF//AB(已作)，

.-.EF//CD().

:.NC=NCEF().

EF//AB,

:.ZB=（）,

---ZCEF+ZBEF=ZBEC,

:.NB+NC=NBEC（等量代換）.

（2）拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：NB,NC,NBEC

之間的關(guān)系是—；

（3）解決問題：如圖③，AB//DC,NC=120。，NAEC=80。，請求出/A的度數(shù).

J［經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】（2023秋?全國?八年級專題練習(xí)）①如圖1,AB//CD,則NA+NE+NC=36O。；②如圖2,AB//

CD,貝1|/P=NA-NC；③如圖3,AB//CD,則/E=NA+/1；④如圖4,直線A8〃CZ）//斯，點(diǎn)O

在直線上，則Na-4+/y=18O。.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2023秋?八年級課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a）,直線。石〃AB.求證：ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如圖1）,如果點(diǎn)C在N2與即之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

(a)

【變式2】（2023春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學(xué)校考期中）（1）如圖（1）N8IICD猜想N8P0與48、

乙0的關(guān)系，說出理由.

（2）觀察圖（2）,已知/8IICD,猜想圖中的NBPD與NB、乙D的關(guān)系，并說明理由.

（3）觀察圖（3）和(4),已知4BIICD,猜想圖中的乙BPD與乙8、乙0的關(guān)系，不需要說明理由.

【變式3］（2023?全國?七年級假期作業(yè)）已知，AE//BD,AA=ZD.

（1）如圖1,求證：AB//CD；

（2）如圖2,作/BAE的平分線交C￡）于點(diǎn)/，點(diǎn)G為A8上一點(diǎn)，連接FG,若/"G的平分線交線段AG

于點(diǎn)連接AC,ZACE=ZBAC+ZBGM,過點(diǎn)H作HM_LFTf交FG的延長線于點(diǎn)M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求NE4F+NGMH的度數(shù).

【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖所示,48||8/￡=37。,4。=20。,則乙以2的度數(shù)為

Ar-------------------------B

CD

E

【變式訓(xùn)練】

【變式11（2023春?湖北黃岡?七年級?？计谥校┤鐖D，已知至///組,^2。=80。/。?！?140。,則乙BCD=

【變式2］（2023春?江蘇鹽城?七年級景山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，若ABHCD,則N1+N3-N2的度數(shù)為

E

【變式3］（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）（1）如圖，ABUCD,CF平分乙DCE,若乙DC尸=30。，"=20。,

求乙4BE的度數(shù)；

（2）如圖，ABHCD,乙EBF=2乙4BF,CF平分乙DCE,若N尸的2倍與NE的補(bǔ)角的和為190。，求乙48E的度

數(shù).

E

（3）如圖，尸為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分乙BPG,GNUPQ,GA/平分ADGP,

若48=30。，求NA/GN的度數(shù).

/【拓展培優(yōu)】

1.（2023下?上海?七年級期中）如圖，若AB〃EF,用含々、0、7的式子表示x,應(yīng)為（）

A.a+P+yB.P+y-aC.180。一0一/+尸D.18O°+oc+y+P

2.（2023下?浙江溫州?七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知AB〃CD,點(diǎn)石，尸分別在A3,8上，點(diǎn)G,H

在兩條平行線A3,CD之間，/AEG與N77/G的平分線交于點(diǎn)若NEGH=84。,ZHFD=20°f則

的度數(shù)為（）.

A.64°B.54°C.42°D.32°

3.（2023下?浙江杭州?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，ABCD,^Z3=|3Z1,Z4=13Z2,下列各式:

@Z1+Z2=ZE@Z1+Z2+Z3+Z4=ZF③N3+N4+NF=360°④5NE+2N尸=720°

其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①④

4.（2023下?山東德州?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//DE,則下列說法中一定正確的是（）

B.Zl+Z2-Z3=180°

C.Zl+Z2+Z3=270°D.Zl-Z2+Z3=90°

5.（2023上?四川宜賓?七年級四川省宜賓市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：ABCD,CD//EF,

AE平分/BAC,A71CE,有下列結(jié)論：@AB//EF；（2）2Z1-Z4=90°；③2N3—N2=180。；（4）

N3+g/4=135。.結(jié)論正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.（2023下?湖北武漢?七年級武漢市卓刀泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線。b,

180°-（Z3+Z2）=Z2-Zl=rf>0.其中/3>90。，4=50。，則N4的最大整數(shù)值是（）

D.115°

7.（2023下?重慶北倍?七年級西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，已知AB〃CD,ZBEH=/CFG,EI、FK分別

為ZAEH、NCFG的角平分線，F(xiàn)KLFJ,則下列說法正確的有（）個(gè).

①EH〃GF

②Z.CFK=NH

③FJ平分/GFD

④ZAEI+NGFK=90。

A.4B.3C.2D.1

8.（2021下?重慶九龍坡?七年級重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB〃CD,點(diǎn)￡在8上，點(diǎn)G,F,

I在AB,8之間，且GE平分NCEF,BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。,則NG的度數(shù)為（）.

A.112°B.114°C.116°D.118°

9.（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，AB//CD,NABG的平分

線與NCDE的平分線交于點(diǎn)ZM=45°,NR=64。，NE=66。,則/G=；

10.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校校考期中）如圖，ABCD,BE平分NABF,

NDCF=NECF,已知ZF—NE=15。，貝I]ZABE+NDCF=度.

E

11.（2021下?湖北武漢?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AB〃CD,8E和。尸分別平分NA即和/CDE,

若2/E-N尸=51°,貝IJNCZ）E=

12.（2023下?湖南長沙?七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖一，ABCD,NB=10。，/O=30。，則NOEB=

22

（2）如圖二，ABCD,ZABF=-ZABE,ZCDF=-ZCDE,DQ,8。分別平分/GDE和NHBE,

則ZDFB,/DQB滿足的數(shù)量關(guān)系為.

CD

圖一

13.（2022上?廣東廣州?八年級廣州市黃埔軍校紀(jì)念中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖①所示，四邊形MVBD為一張

長方形紙片.如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（/BAE、ZAEC.NECD）,則

ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

N------------------F

MD

圖①

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（/BAE、ZAEF,NEF、/FCD）,則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+NFCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（NBAE、ZAEF,NEFG、/FGC、/GCD）,

貝|J/BAE+/AEF+/EFG+ZFGC+/GCD=（度）；

（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪”刀，剪出〃+1個(gè)角，那么這”+1個(gè)角的和是（度）.

14.（2022下?山東德州?七年級統(tǒng)考期末）已知ABCD,AM平分NBAP,NPCM=2ZMCD,

2ZM—ZP=10°,貝NPCD=.

15.（2024上?陜西榆林?八年級?？计谀┚C合與探究

某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論:己知直線a.b,若直線aPc,貝帖Pc.他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣、請你利

用這個(gè)結(jié)論解決以下問題.

已知直線ABC。，點(diǎn)E在A8,CD之間，點(diǎn)P,。分別在直線A8,CD±.,連接尸E,EQ.

⑴如圖1,作運(yùn)用上述結(jié)論，探究4EQ與NAPE+NCQE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖2,ZEPF=3NBPF,ZEQF=3ZDQF,求出N歹與/E之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖3,直接寫出Nl,Z2,NE,ZF,NG之間的數(shù)量關(guān)系：.

16.(2024上?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期末)閱讀理解：

兩條平行線間的拐點(diǎn)問題經(jīng)?？梢酝ㄟ^作一條直線的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例如：如圖1,MN//PQ,點(diǎn)C、B

分別在直線MN、PQ上,點(diǎn)A在直線建V、尸。之間.

M------N

A\

PT-0

圖1圖2

(1)求證：NCAB=ZMCA+NPBA；

類比應(yīng)用：

(2)如圖2,已知直線AB〃CD,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA,PD.若NA=50。，ZD=150°,求NAPD的

度數(shù).

17.(2024下?江西九江?八年級校考期末)如圖1,直線AB〃CD,將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)尸放在兩

平行線之間，兩直角邊分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.

圖1圖2

⑴請你判斷ZBEP與/￡?儀之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若N8E尸和NOFP的平分線相交于點(diǎn)G,求NG的度數(shù)；

(3)如圖2,若NPEG:NBEP=NPFG:/DFP=1:n,請用含〃的式子表示NG.

18.（2024上?湖南衡陽?七年級校聯(lián)考期末）如圖，直線尸?！ǚ睳,一副直角三角板A5C,ZJE尸中,

ZACB=ZEDF=90°,ZABC=ZBT^C=45°,/DFE=30°,ZDEF=60°.

（1）若口?！晔慈鐖D1擺放，當(dāng)￡7）平分/PE尸時(shí)，］U!jZDFM=；

⑵若口ABC,DEF按如圖2擺放，則；

（3）若圖2中"C固定.將DE尸沿著AC方向平行移動(dòng)，邊與直線PQ相交于點(diǎn)G,作NQGF和NGE4

的角平分線GH、9相交于點(diǎn)〃（如圖3）,求NGE店的度數(shù).

（4）若圖2中固定，（如圖4）將ABC繞點(diǎn)/以每秒5。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為f秒，線段AC

與直線AN首次重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段BC與DEE的一條邊平行時(shí)，請求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間/的值.

19.（2024上?陜西漢中?七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】已知，Z1=Z2,EG平分/AEC交BD于點(diǎn)G.

【問題探究】（1）如圖1,ZMAE=45°,ZFEG=15°,4NCE=75。.試判斷E尸與CD的位置關(guān)系，并說

明理由;

【問題解決】（2）如圖2,ZAME=140°,NFEG=3O0,當(dāng)AB〃CD時(shí)，求/NCE的度數(shù);

【問題拓展】（3）如圖2,若AB〃CD,試說明NNCE=/M4E—2/FEG.

20.(2023下?浙江?七年級專題練習(xí))已知：直線a〃火點(diǎn)48在直線。上，點(diǎn)C,。在直線6上,

(1)連接AD,BC,BE平分NABC,OE平分ZADC,且BE,OE所在直線交于點(diǎn)E.

①如圖1,若NABC=60。，NADC=70。，則NBED的度數(shù)為二

②如圖2,設(shè)乙鉆C=a,AADC=P,則NBE。的度數(shù)為一(用含有a,￡的式子表示).

(2)如圖3,EF斗令ZMEN,NP平分ZEND,EQ//NP,則/FEQ和的數(shù)量關(guān)系是

22

(3)如圖4,若NBAPngNBAC,ZDCP=-ZACD,且AE平分NBAP,CF平分/DCP,猜想/E+/F的

結(jié)果并且證明你的結(jié)論;

平行線中的四大基本模型重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

（4大題型+20道拓展培優(yōu)）

囪【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

41經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】

【結(jié)論1］若AB〃CD,則NB0C=NB+NC

【結(jié)論2］若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.

【結(jié)論3】如圖所示，AB/7EF,則NB+ND=NC+NE

朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

1由

結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型

【例1】（2023春?山東濟(jì)寧?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，如果AB||CD，則Na、zp,4之間的關(guān)系

為（）

A.Za+zp+z.y=180°B.Za—zp+zy=180°

C.Za+Zp-Zy=180°D.Za—zp—Zy=180°

【答案】c

【分析】過E作EFIIAB,由平行線的質(zhì)可得EFIICD,Za+zAEF=180°,zFED=Zy,由Np=NAEF+NFED即

可得Na、4|3、/丫之間的關(guān)系.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EFHAB,

.?.Za+ZAEF=18O°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,

???ABHCD,

???EFIICD,

.-.ZFED=ZEDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,

???z.p=z.AEF+z.FED,

又???Ny=NEDC,

.?.Za+zp-Zy=180°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC（zA=60°）

按如圖所示放置.若41=43。，貝此2的度數(shù)為（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【答案】B

【分析】如圖，首先證明NAMO=N2；然后運(yùn)用對頂角的性質(zhì)求出NANM=43。，借助三角形外角的性質(zhì)求出

zAMO即可解決問題.

【詳解】解：如圖，???直線a||b,

；.NAMO=N2；

?-?zANM=zl,z.l=43°,

.■?ZANM=43°,

.?.zAMO=zA+zANM=60°+43o=103°,

.?.Z2=ZAMO=103°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題;

牢固掌握平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ).

【變式2】（2023秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB〃CD,8E平分NABC,DE平分，ADC,

ZBAD=S0°,ZBCD=n°,則的度數(shù)為.（用含"的式子表示）

B

40。+'°

【答案】2

【分析】首先過點(diǎn)E作所〃AB,由平行線的傳遞性得AB〃CD〃￡F,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，

ZABE=-n°

得出/RD=/應(yīng)="。，ZBAD=ZADC=S0°,由角平分線的定義得出2,ZEDC=40°,再

Z.BEF=Z.ABE=—if

由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出2/FED=NEDC=40°,由/BED=/BEP+/尸即即可

得出答案.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作所〃AB,則AB〃CD〃EF,

AB//CD,

.-.ZBCD=Z.ABC=n°,ZBAD=ZADC=S0°,

又?；BE平分/ABCtDE平分/ADC,

ZABE=-ZABC=-n°

,.?22，

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°

22,

...AB//EF//CD,

ZBEF=ZABE=-n°

2,

/FED=NEDC=40°,

/BED=ZFED+ZBEF=40°+-n°

2,

40°+-n°

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和

角平分線的定義.

【變式3】（2023春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線/8〃CD,￡尸是截線，點(diǎn)M在直線/8、CD

（1）如圖1,連接GM,HM.求證：乙M=，4GM+乙CHM；

（2）如圖2,在NG8C的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q,使得乙4GN=N?GQ.試判斷W與NG0H■之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

【答案】（1）證明見詳解

⑵/G"=18（r-NM；理由見詳解

【分析】（1）過點(diǎn)“作由AB〃CD,可知MV〃至〃CD.由此可知：ZAGM=NGMN,

ZCHM=4HMN,故ZAGM+ZCHM=Z.GMN+ZHMN^ZM.

(2)由(1)可知NAGM+ZCHM^ZM.再由ZCHM=Z.GHM,ZAGM=ZHGQ,可知

NM-HGQ+NGHM,利用三角形內(nèi)角和是］80。，可得NGQH=180。_/用.

(1)

E

解：如圖：過點(diǎn)反作MN〃AB,

,.,MN//AB//CD，

.ZAGM=ZGMN/CHM=/HMN、

...ZM=Z.GMN+AHMN,

...ZM=ZAGM+ZCHM.

(2)解：NGQH=180。—NM,理由如下:

如圖：過點(diǎn)"作“N〃A3,

由(1)知NM=NAGM+NCHM,

...HM平分NGHC,

...ZCHM=ZGHM9

vzAGM=zHGQ,

?.,ZM=ZHGQ+ZGHM9

..ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°

?J

.ZGQH=180°-ZM

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)

這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用.

_。【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結(jié)論1】如圖所示，AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

【結(jié)論2】如圖所示，NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.

變異的鉛筆頭：拐點(diǎn)數(shù)n,NA+...+NC=180°X(n+1)

則/FEG的度數(shù)是（）

C.140°D.150°

【答案】C

【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作EKAB,過點(diǎn)打作HM//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可求出ZKEG=ZEGD的

度數(shù)，根據(jù)垂直的性質(zhì)可求NFEK的度數(shù)，由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作甌AB,過點(diǎn)a作

..ABCD

?,

：,AB//EK//HM//CDi

ZBFH=ZFHM,ZDGH=ZGHM,

...Z.FHM+ZGHM=ZFHG=50°,ZBFH=30。,

...ZGHM=ZDGH=50°-30°=20°,

NEGH=30。,

...ZEGD=ZEGH+ZDGH=300+20°=50°,

?：EK〃CD,

；.NKEG=NEGD=50。,

vEFLAB,

：,ZAFE=ZEFB=90°f

?；AB//EKf

...ZAFE+NFEK=180。,

...ZFEK=180?！猌AFE=180°-90°=90°,

...ZFEG=ZFEK+ZDEG=900+50°=140°,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

■【變式訓(xùn)練】

【變式1】(2020下?山東煙臺(tái)?七年級統(tǒng)考期中)如圖A4//C”,貝吐1+乙2+乙3+...+”=()

A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，作。團(tuán)“A耳，EBJIAB^FBJ/AB',由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，作DB?//AB、,EB/AB、,FB/AB\,

,.ABJ/CBn

.Nl+N耳氏。=180。ZZ)RR+ZBRE=180oZEB.B.+ZB.B.F=1SO°

?,,o,

,Z1+ZB1B2D+ZDB2B3+ZB2B3E+/EB3B4+NB3B4F=180°x3

,.?N1+N2+N3+L+ZH=180°X(H-1);

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練運(yùn)用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)

行證明.

【變式2](2021下?七年級課時(shí)練習(xí))如圖，已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,則NC=—度.

【分析】過點(diǎn)C作CF||AB,根據(jù)平行公理得AB//c尸//ED,再依據(jù)平行線的性質(zhì)求角即可.

【詳解】解：過點(diǎn)C作C「||A8,如圖：

AB//DE,

AB//CF//ED

,AB//CF,

...ZB+Z1=18O°,

=150°,

...Zl=30°,

...CFIIED,

...Z2+ZD=18O°,

.,.ZD=145°,

...Z2=35°,

.\ZBCD=Z1+Z2=65°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是依據(jù)平行公理作輔助線，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)解

決問題

【變式3］（2023下?甘肅慶陽?七年級?？计谥校?）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB〃CE）,E是AB與CD之

間的一點(diǎn)，連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)NB+NC=NBEC.

請把下面的證明過程補(bǔ)充完整:

B

B

圖②圖③

證明：過點(diǎn)E作所〃

AB//CD（已知），EF//AB（已作）,

.■.EF//CDQ）.

:.NC=NCEFI

EF//AB,

NB=），

NCEF+NBEF=NBEC,

ZB+ZC=ZBEC（等量代換）.

（2）拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置,其他條件不變，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：ZB,/C,ZBEC

之間的關(guān)系是

（3）解決問題：如圖③，AB//DC,NC=12O。,NAEC=80。，請求出/A的度數(shù).

【答案】（1）平行于同一條直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；々EF；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相

等；（2）ZB+ZC+Z5EC=360°.（3）20°.

【分析】（1）過點(diǎn)E作跖〃根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行選填即可;

（2）利用（1）中的方法和兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得到/3+/C+N3EC=360。；

⑶作所〃如圖③，利用平行線的性質(zhì)得到“+NCEF=180。，NBAE=NAEF,則/CEF=60。，所

以/的=20°,從而得到/A的度數(shù).

【詳解】（1）證明：過點(diǎn)￡作E尸〃四，如圖①,

圖①

--AB//CD（已知），EF//AB（輔助線的作法），

■■EF//CD（平行于同一條直線的兩直線平行），

:.NC=NCEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

VEF//AB（作圖），

:./B=/BEF,（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

:.NB+NC=NCEF+NBEF（等量代換），

即NB+NC=NBEC.

故答案為：平行于同一條直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；^BEF.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

（2）解：作即〃A8,如圖②，

圖②

<AB〃CD,

,\EF//CDf

/.ZC+ZC￡F=180°,ZB+ZBEF=180°,

/.ZB+ZC+/BEC=360°.

故答案為：ZB+ZC+ZBEC=360°.

圖③

YAB〃DC,

二.EF1/CD,

:.NC+NCEF=180°,/BAE=ZAEF,

/.ZCEF=180°-120°=60°,

-心=*-ACEF=80。-60。=20。，

ZBAE=20°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì).熟練掌握性質(zhì)和判定是做題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】（2023秋?全國?八年級專題練習(xí)）①如圖1,AB//CD,則NA+/E+NC=360。；②如圖2,AB//

CD,貝=③如圖3,AB//CD,則NE=NA+/1；④如圖4,直線A8〃C￡>//ER點(diǎn)O

在直線EF上，則Na-"+Ny=180。.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

圖4

圖1圖2圖3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】①過點(diǎn)E作直線EF〃AB,由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；

②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出N1=NC+NP,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；

③如圖3,過點(diǎn)E作直線EFIIAB,由平行線的性質(zhì)可得出NA+NAEC-41=180。，即得乙^瓦：=180。+41-NA；

④如圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na=NBOF,ZY+ZCOF=180°,再利用角的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：

______B

V

圖1圖2

①如圖1,過點(diǎn)E作直線EFIIAB,

vABIICD,

.-.ABIICDHEF,

.-.zA+zl=180°,z2+zC=180°,

.-.zA+zB+zAEC=360°,

故①錯(cuò)誤；

②如圖2,,?21是4CEP的外角，

.-.zl=zC+zP,

vABIICD,

???NA=Z1,

BPzP=zA-zC,

故②正確；

③如圖3,過點(diǎn)E作直線EF||AB,

?-?ABIICD,

.-?ABIICDHEF,

.,zA+N3=180°,N1=N2,

??.ZA+ZAEC-41=180°,

即NAEC=18O°+N1-NA,

故③錯(cuò)誤；

④如圖4,???ABIIEF,

.,.za=z.BOF,

vCDIIEF,

.?.Zy+ZCOF=180°,

vzBOF=zCOF+zp,

??.zCOF=z.a-z.p,

.,.zy+za-40=180°,

故④正確；

綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線

是解答此題的關(guān)鍵.

聲【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2023秋?八年級課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a）,直線。求證：ZABC+NCDE=NBCD；

（2）如圖（6）,如果點(diǎn)C在與之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

BB

(a)

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)C在AB與ED之外時(shí)，ZABC-NCDE=NBCD,見解析

【分析】（1）由題意首先過點(diǎn)C作CFIIAB,由直線ABIIED,可得AB||CF||DE,然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等，即可證得乙ABC+4CDE=4BCD；

（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得乙ABC=4BFD,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得

ZABC-ZCDE=Z.BCD.

【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)C作CFIIAB,

vABHED,

.-.ABIIEDHCF,

.*.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

.*.Z.ABC+ZCDE=ZBCD；

(2)結(jié)論：ZABC-ZCDE=ZBCD,

證明：如圖：

vABIIED,

/.ZABC=ZBFD,

在△DFC中，ZBFD=ZBCD+ZCDE,

???zABC=zBCD+zCDE,

???zABC-zCDE=zBCD.

若點(diǎn)C在直線AB與DE之間，猜想NABC+』BCD+ZCDE=360°,

vABHEDIICF,

,ZABC+NBCF=180°,ZCDE+NDCF=180°,

.ZABC+/BCD+ZCDE=ZABC+ZBCF+ZDCF+ZCDE=360

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注

意掌握輔助線的作法.

【變式2］（2023春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學(xué)?？计谥校?）如圖（1）4B||CD,猜想NAP。與乙8、

的關(guān)系，說出理由.

（2）觀察圖（2）,已知/8IICD,猜想圖中的N8P。與NB、乙0的關(guān)系，并說明理由.

（3）觀察圖（3）和（4）,已知N8IICZ）,猜想圖中的乙與N8、乙￡）的關(guān)系，不需要說明理由.

【答案】（1）zB+zBPD+zD=360°,理由見解析；（2）zBPD=zB+zD,理由見解析；（3）NBPD=ND-NB或

ZBPD=ZB-ZD,理由見解析

【分析】（1）過點(diǎn)P作EFIIAB,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；

（2）首先過點(diǎn)P作PEIIAB,由ABIICD,可得PE||AB||CD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得41=ZB,

N2=ND,貝阿求得4BPD=NB+ND.

（3）由ABIICD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得NBPD與NB、ND的關(guān)系.

【詳解】解：（1）如圖（1）過點(diǎn)P作EFIIAB,

AB

.-.zB+zBPE=180°,

vABIICD,EFHAB,

.-.EFIICD,

.-.ZEPD+ZD=18O°,

/.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=36O°,

zB+zBPD+zD=360°.

(2)zBPD=zB+zD.

理由：如圖2,過點(diǎn)P作PE||AB,

AB

(2)

vABIICD,

.-.PEHABHCD,

.,?z.l=z.B,z2=z.D,

zBPD=z1+z2=zB+zD.

理由：???AB||CD,

.,?z.l=zD,

vzl=zB+zBPD,

.,.zD=zB+zBPD,

即NBPD=ND-NB；

如圖(4),zBPD=zB-zD.

(4)

理由：TAB||CD,

.,.zl=zB,

?■?zl=zD+zBPD,

.?.ZB=ZD+ZBPD,

BPzBPD=zB-zD.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的

性質(zhì)，注意輔助線的作法.

【變式3］（2023?全國?七年級假期作業(yè)）已知，AE//BD,ZA=ZD.

（1）如圖1,求證：AB//CD-,

（2）如圖2,作N2AE的平分線交。于點(diǎn)F,點(diǎn)G為A8上一點(diǎn)，連接FG,若NCRG的平分線交線段AG

于點(diǎn)“，連接AC,若ZACE=NBAC+NBGM,過點(diǎn)H作碗，切交FG的延長線于點(diǎn)加，且

3ZE-5ZAFH^18°,求NEAF+NGMW的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）72。

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA+/B=180。，再根據(jù)等量代換可得/3+/。=180。，最后根據(jù)平行線

的判定即可得證；

（2）過點(diǎn)E作砂“CD,延長DC至Q,過點(diǎn)M性MNHAB,根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出

NECQ=NBGM=ZDFG再根據(jù)平角的含義得出NECF=ZCFG,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定

義可推出ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB.設(shè)ZFAB=a,Z.CFH=￡,根據(jù)角的和差可得出ZAEC=2ZAFH,

結(jié)合已知條件3//庇-5/47陽=180?？汕蟮?4尸〃=18。，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出

答案.

【詳解】（1）證明：?.?AE//3D

/.ZA+ZB=180°

ZA=ZD

.?.ZB+ZD=180°

:.AB//CD.

（2）過點(diǎn)E作石尸”CD,延長DC至Q,過點(diǎn)M作

■:AB//CD

ZQCA=ZCAB/BGM=NDFG,NCFH=/BHF,ZCFA=FAG

VZACE=ZBAC+/BGM

/.NECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

ZECQ=ZBGM=ZDFG

???ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

.\ZECF=ZCFG

AB//CD

:.AB//EP

/PEA=NEAB,ZPEC=ZECF

VZAEC=ZPEC-ZPEA

ZAEC=Z.ECF-/EAB

,ZECF=ZAEC+NEAB

AF平分

ZEAF=/FAB=-ZEAB

2

FH平分NCbG

，ZCFH=ZHFG=-/CFG

2

QCD//AB

ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB

^ZFAB=a,ZCFH=/3

ZAFH=NCFH—NCFA=NCFH—NFAB

:.ZAFH=/3-aZBHF=ZCFH=13

ZECF+2ZAFH=ZAEC+/EAB+2ZAFH=ZAEC+2/3

ZECF+2ZAFH=N￡+2ZBHF

,\ZAEC=2ZAFH

?/3ZAEC-5ZAFH=180°

:.ZAFH=18°

,FH_LHM

:.ZFHM=90°

/GHM=90?！?。

VZCFM+ZNMF=180°

/.ZHMB=AHMN=90°-/3

ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=/7-18°

ZEAF+ZGMH=/7—18。+90。一￡二72。

.?.NEAF+NGMH=72。

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是

解此題的關(guān)鍵.

,41經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖所示,/和。。/￡=37。,乙。=20。,則乙以5的度數(shù)為

【答案】57°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180。以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如

果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)此計(jì)算即可.

.?2E=37。,4C=20°,

.-.zCFE=180o-37°-20o=123°,

.-.ZAFD=123°,

vABHCD,

.-.ZAFD+ZEAB=18O°,

.-.ZEAB=18O°-123°=57°,

故答案為：57。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

■【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2023春?湖北黃岡?七年級校考期中）如圖，已知乙42c=80。,4。?！?140。，則乙BCD=

【答案】40。

【分析】延長交BC于M,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等證明ZBMD=NABC,再求解N。血,再利用

三角形的外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：延長E。交BC于M,

...AB//DE,

.?.ZBMD=ZABC=8O°,

ZCMD=180。一ZBMD=100。：

又?2CDE=NCMD+NC,

...ZBCD=/CDE—NCMD=140°-100°=40°

故答案是：40°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì).三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023春?江蘇鹽城?七年級景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，若AB/ICD,則N1+/3-N2的度數(shù)為

E

【答案】180°

【分析】延長EA交CD于點(diǎn)F,貝IJ有N2+NEFC=N3,然后根據(jù)相〃8可得N1NEFD,最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及

等量代換可求解.

【詳解】解：延長EA交CD于點(diǎn)F,如圖所示：

ABHCD,

?.zl=zEFD,

z2+zEFC=z3,

Z￡TC=Z3-Z2,

ZEFC+ZEFD=180。,

N1+N3—N2=180°：

故答案為180°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）（1）如圖，ABUCD,CF平分4DCE,若乙DCF=30。，"=20。,

求乙43E的度數(shù);

（2）如圖，ABUCD,AEBF=2乙ABF,CF平分乙DCE,若乙F的2倍與乙￡的補(bǔ)角的和為190。，求乙4AB的度

數(shù).

（3）如圖，尸為（2）中射線3E上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平■分乙BPG,GN//PQ,GM平分乙DGP,

若乙8=30。，求NMGN的度數(shù).

D

4B

M

【答案】(1)ZABE=4O°；(2)ZABE=3O°；(3)zMGN=15°.

【分析】(1)過E作EM〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；

(2)過E作EM〃AB,過F作FN〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程

解答即可；

(3)過P作PL〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可.

【詳解】解：(1)過E作EM〃AB,

圖1

???AB〃CD,

???CD〃EM〃AB,

.-.ZABE=ZBEM,zDC