中考數(shù)學專項復習：平行四邊形綜合（含答案及解析）

平行四邊形綜合

新定義（共1小題）

1.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩個全等的三角形紙片”為主題開展數(shù)學活動，類比探究一種特

殊四邊形的定義、性質(zhì)、判定和應用.

【操作發(fā)現(xiàn)】將兩個全等的三角形紙片一邊重合，可以得到兩種不同的特殊四邊形（現(xiàn)階段研究的四邊

形均為凸四邊形），即平行四邊形和“箏形”.查閱相關資料得知其中一種特殊的四邊形的定義為：有兩

組鄰邊分別相等的四邊形叫“箏形”.

【類比探究】借助學習幾何圖形的經(jīng)驗，通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法，同學們對

“箏形”的性質(zhì)和判定方法進行研究，根據(jù)示例圖形，對比表格內(nèi)容解答問題：

名稱示例圖形對稱性邊角對角線

平行四邊形是中心對稱圖形兩組對邊平行且相等兩組對角分別相等對角線互相平分

箏形①兩組鄰邊分別相等一組對角相等②

（1）表格中①、②處應分別填寫的內(nèi)容是：

①;

②;

（2）證明“箏形”有關對角線的性質(zhì).（補全結論，并寫出完整的證明過程）

已知：如圖1,在“箏形”/BCD中，AB=BC,AD^DC,對角線/C和3。交于點。.

求證：；

證明：

（3）下列條件能夠作為四邊形/BCD是“箏形”的判定方法有.（將所有正確的序號填在橫

線上）

①幺B=BC且4D=DC；②NBAD=/BCD；?AC±BDAO=CO；@ZABD=ZDBC.

A

【遷移應用】如圖2在“箏形”/BCD中，/5=3C=2,ADA

=DC,/43C=45°,點P為上一動點，對角線BD上B。尸B~~Aj

存在一點。，使尸。+/。取最小值時，直接寫出尸0+/0的最CC

小值.圖2

第1頁（共23頁）

二.折疊(共1小題)

2.(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形/8CD的對角線NC的垂直平分線與邊45,8c分別交于點E,F.求

證：四邊形/FCE是菱形;

(2)【類比應用】如圖②，直線EF分別交矩形ABCD的邊AD,BC于點E,F,將矩形ABCD沿EF

翻折，使點C的對稱點與點/重合，點。的對稱點為。'，若N8=4,BC=8,求斯的長；

(3)【拓展延伸】如圖③，直線￡尸分別交平行四邊形/BCD的邊ND,8c于點￡,F,將平行四邊形

/BCD沿EF翻折，使點C的對稱點與點/重合，點D的對稱點為》,若研=2料，BC=4,ZC=

45°,求EF的長.

第2頁(共23頁)

三.截長補短(共4小題)

3.已知正方形N5C。如圖所示，連接其對角線/C,/8CN的平分線C尸交于點尸，過點8作

CF于■點、N,交ZC于點M,過點C作CPLCR交4。延長線于點P.

(1)求證：CF=CP；

(2)若正方形/BCD的邊長為4,求△4CP的面積;

(3)求證：CP-BM=2FN.

第3頁(共23頁)

4.如圖，P為正方形4BCD邊BC上任一點,2GLNP于點G,在/尸的延長線上取點E,使/G=GE,

連接BE,CE.

(1)如圖1,若正方形的邊長為2亞，尸8=1,求8G的長度；

(2)如圖2,當E點為8c的中點時，求證：CE=\f2BG；

(3)如圖3,NC8E的平分線交/￡于N點，連接。N,求證：8N+ON=J，/N.

第4頁(共23頁)

5.在四邊形/BCD中，AD//BC,AD=CD,N8=90°,點M在邊2c上運動，將沿折疊得

到射線MF交直線CD于點N.

(1)如圖1,點N在邊C。的延長線上，當N2CO=45°時，線段網(wǎng)、DN、Y2co之間的數(shù)量關系

2

為;

(2)如圖2,點N在邊8上，當48。。=60°時，求證：FN=DN+\CD；

2

(3)如圖3,在(2)的條件下，若點N是線段CD中點，且/。=6,求線段VN的長度.

第5頁(共23頁)

6.問題情境：在學習了正方形后，彩虹中學的2101班的同學對正方形進行了探究，特邀請你一起加入此

次的探究：如圖，正方形的邊長為6,點￡是對角線3。上的動點，連接EC.

(1)【探究】：如圖1：若過點E作/石，CE交于點尸，經(jīng)過探究，請你猜想所與CE的數(shù)量關系，

并加以證明.

(2)【應用】：如圖2：在(1)的探究情況下，過點E作EGLDC于點G,若口日=2料，求FC的長.

(3)【拓展探究】：如圖3,若點尸是48上的一個動點，且始終滿足?！?3尸，設C￡+CF=x,請你直

接寫出無2的最小值.

圖1圖2圖3

第6頁(共23頁)

平行四邊形綜合

參考答案與試題解析

一.新定義（共1小題）

1.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩個全等的三角形紙片”為主題開展數(shù)學活動，類比探究一種特

殊四邊形的定義、性質(zhì)、判定和應用.

【操作發(fā)現(xiàn)】將兩個全等的三角形紙片一邊重合，可以得到兩種不同的特殊四邊形（現(xiàn)階段研究的四邊

形均為凸四邊形），即平行四邊形和“箏形”.查閱相關資料得知其中一種特殊的四邊形的定義為：有兩

組鄰邊分別相等的四邊形叫“箏形”.

【類比探究】借助學習幾何圖形的經(jīng)驗，通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法，同學們對

“箏形”的性質(zhì)和判定方法進行研究，根據(jù)示例圖形，對比表格內(nèi)容解答問題：

名稱示例圖形對稱性邊角對角線

平行四邊形是中心對稱圖形兩組對邊平行且相等兩組對角分別相等對角線互相平分

箏形①兩組鄰邊分別相等一組對角相等②

（1）表格中①、②處應分別填寫的內(nèi)容是：

①軸對稱圖形；

②一條對角線垂直且平分另一條對角線；

（2）證明“箏形”有關對角線的性質(zhì).（補全結論，并寫出完整的證明過程）

已知：如圖1,在“箏形”48。中，AB=BC,AD=DC,對角線/C和8。交于點O.

求證：ACLBD,且AD平分。C；

證明：

（3）下列條件能夠作為四邊形/5CD是“箏形”的判定方法有①③.（將所有正確的序號填在橫

線上）

①且②NBAD=NBCD；?AC±BD5.AO^CO；④/ABD=NDBC.

【遷移應用】如圖2在“箏形”45CO中，AB=BC=2,AD=DC,/48C=45°,點P為N8上一動

點，對角線3。上存在一點0,使尸。+/。取最小值時，直接寫出PQ+/Q的最小值.

第7頁（共23頁）

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)進行解答即可；

(2)結合題中給出的箏形定義，先給出一個結論，再利用箏形的定義證明結論即可；

(3)根據(jù)箏形的判定進行判定即可；

(4)根據(jù)箏形的性質(zhì)，AQ=CQ,貝！|PQ+/0=PQ+C。，過點C作48LCP于點尸，此時PQ+/。最小,

進而計算即可.

【解答】解：(1)菱形是軸對稱圖形，

故①處為既是軸對稱圖形；

菱形的一條對角線垂直且平分另一條對角線，

故②處填一條對角線垂直且平分另一條對角線；

故答案為：軸對稱圖形，一條對角線垂直且平分另一條對角線；

(2)求證：ADLEC,且40平分EC；

證明：在A4BD和中，

，AB=AC

<AD=CD>

AD=AD

:.LABD義AACD(SSS),

ZADO=ZCDO,

在△40。和△8。中，

'AD=CD

?ZAD0=ZCD0-

0D=0D

:.A4DOg4CDO(SAS),

：.ZAOD^ZCOD,AO=CO,

又//OO+NCOZ)=180°,

AZAOD^ZCOD^90°,

故答案為：ACLBD,且8。平分NC；

(3)①45=3。且4D=OC；

第8頁(共23頁)

根據(jù)箏形的定義則①正確;

@ACLBD^.AO=CO-,

在△40D于△COD中，

'AO=CO

ZAOD=ZCOD=90°-

OD=OD

AAAOD^ACOD(SAS),

:.AD=CD,

同理可證48=NC,

四邊形/BCD是“箏形”，

故③正確；

故答案為：①③；

(4)“箏形”ABCD,

；.4D=CD,/ADB=/CDB,

連接/。，CQ,

在與△CDQ中，

'AD=CD

'ZADB=ZCDB-

DQ=DO

/.AADQ^/\CDQ(”S),

■-AQ^CQ,

貝IPQ+AQ=PQ+CQ,

當點C,Q,P三點共線且過點C作的垂線，此時線段CP最短，CP=(P0+C0)最短，

VZABC=45°,ZBPC=90°,

/.ABCP是等腰直角三角形,

;AB=BC=2,

：.CP

2

：.PQ+AQ的最小值為點.

第9頁（共23頁）

【點評】本題考查了實踐應用，新定義四邊形問題，菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)與證明，全等三角

形的性質(zhì)與判定，讀懂題意，靈活運用新定義是解題的關鍵.

二.折疊(共1小題)

2.(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形N8C。的對角線NC的垂直平分線與邊8c分別交于點E,F.求

證：四邊形/FCE是菱形；

(2)【類比應用】如圖②，直線EF分別交矩形ABCD的邊AD,BC于點E,F,將矩形ABCD沿EF

翻折，使點C的對稱點與點/重合，點。的對稱點為。'，若48=4,BC=8,求斯的長；

(3)【拓展延伸】如圖③，直線跖分別交平行四邊形/BCD的邊ND,3c于點E,F,將平行四邊形

/BCD沿斯翻折，使點C的對稱點與點/重合，點。的對稱點為。'，若卷=26，BC=4,ZC=

45°,求跖的長.

【分析】(1)利用矩形和垂直平分線的性質(zhì)，證明之(ASA),得到NE=CR可證四邊形

/FCE為平行四邊形，再由斯，NC,即可證平行四邊形NFCE為菱形；

(2)過點尸作尸于〃，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理，求出2/=3,4F=CP=5,再由平行線的

性質(zhì)和等角對等邊的性質(zhì)，得到/￡=5,證明四邊形是矩形，得到E〃=2,再利用勾股定理，

即可求出EF=2小

(3)過點/作NN_L8C,交CB的延長線于N,過點p作于先求得/N_LBC,得出NN=

BN=2,由折疊的性質(zhì)可知：AF=CF,/AFE=/EFC,再由等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，得出

神=人尸=岑，證明四邊形/NW是矩形，通過勾股定理，AfA,再在RtaMFE中，求出所的長即

可.

【解答】(1)證明：：四邊形N28是矩形，

J.AE//CF,

：.ZEAO^ZFCO,

?.?族垂直平分/c,

第10頁(共23頁)

AZAOE=ZCOF=90°,AO=OC,

???△"O也△尸CO(ASA)f

；.AE=CF,

又??Z￡〃CF,

???四邊形AFCE為平行四邊形，

9：EF±AC,

???平行四邊形為菱形；

(2)解：如圖，過點/作用于”,

由折疊可知：AF=CF,/AFE=/EFC,

,:BC=3,4B=4,

：.AF=CF=BC-BF=8-BF,

11222

在/中，AF=BF+AB,即(8-BF)=BF+16f

:.BF=3,

：.AF=CF=5.

■:AD//BC,

：./AEF=ZEFC=/AFE,

：.AE=AF=5,

9：ZB=ZBAD=ZAHF=90°,

???四邊形是矩形，

:.AB=FH=4,AH=BF=3,

：.EH=AE-AH=5-3=2,

???EF=VEH2+FH2=A/22+42=2V5；

(3)解：過點A作AN±BC,交CB的延長線于N,過點F作FMLAD于M,

第11頁(共23頁)

???四邊形45CQ是平行四邊形，ZC=45°,

ZABC=135°,

AZABN=45°,

■:AN1BC,

：.ZABN=ZBAN=45°,

則4N=5N,由勾股定理可得四*AN2由M=aAN

?■?AN=BN=2y-AB=^y-X2^2=2

由折疊的性質(zhì)可知：AF=CF=BN+BC-NF=6-NF,ZAFE=ZEFC,

'：AD//BC,

：.ZAEF=ZEFC=NAFE,

；.AE=AF,

'：AF2=AN2+NF2,

.,./產(chǎn)=22+(6-AF)2,

AF丹，

o

，AE=AF=￥

,JAN//MF,AD//BC,

四邊形ANFM是平行四邊形，

■:ANLBC,

四邊形NNEM是矩形，

：.AN=MF=2,

第12頁（共23頁）

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握特殊的四邊

形的判定和性質(zhì)是解題關鍵.

三.截長補短(共4小題)

3.已知正方形ABCD如圖所示，連接其對角線AC,ZBCA的平分線CF交AB于點F,過點B作BMV

CF于點、N,交NC于點過點。作。尸，C凡交/。延長線于點尸.

(1)求證：CF=CP；

(2)若正方形/BCD的邊長為4,求△NCP的面積；

(3)求證：CP-BM=2FN.

【分析】(1)由aASA"可證尸父△C8F,可得CF=CP；

(2)根據(jù)等角對等邊易證AP^AC,根據(jù)勾股定理求得AC的長,然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解;

(3)由全等三角形的性質(zhì)可得CP=CF,在CN上截取N77=FN,連接班/,則可以證明△，八四名8〃。

得到CH=BM,即可證得.

【解答】(1)證明：???四邊形N8CD是正方形，

：.4B=BC=CD=AD,/CAD=/ACD=45°,

\'CP±CF,

：.ZFCP=90°=ABCD,

：./BCF=ZDCP,

,:CD=CB,NCBF=NCDP=9Q°,

:.ACDP冬MBF(ASA),

:.CF=CP；

(2)?:CF平分/ACB,

：.ZACF=ZBCF=22.5°,

:./BFC=6,5°,

第13頁(共23頁)

■:ACDP義ACBF,

：.ZP=ZBFC=67.5°,且NC/尸=45

；?NACP=NP=67.5°,

：.AC=AP,

?：AC=\[^AB=4M，

S^ACP=—APXCD=8\/2；

2

(3)在CN上截取NH=FN,連接昉;

：.CP=CF,

，：FN=NH,且SALLW,

：.BH=BF,

:?/BFH=/BHF=675°,

AZFBN=ZHBN=ZBCH=22.5°,

ZHBC=ZBAM=45°,

■:AB=BC,/ABM=/BCH,

：.^AMB^ABHCCASA),

：.CH=BM,

:.CF=BM+2FN,

：.CP-BM=2FN.

【點評】本題是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線

是解答本題的關鍵.

4.如圖，P為正方形/8CZ)邊8C上任一點，打?，/尸于點3,在4P的延長線上取點￡,使力G=GE,

連接BE,CE.

第14頁(共23頁)

BBB

(1)如圖1,若正方形的邊長為2'j5,PB=1,求5G的長度；

(2)如圖2,當尸點為2C的中點時，求證：CE=MBG；

(3)如圖3,/C8E的平分線交/￡于N點，連接DN,求證：BN+DN=?AN.

【分析】(1)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，求得4B=BE=2M，再根據(jù)勾股定理，求得RtZ\/2尸中，

AP=3,最后根據(jù)△/AP的面積，求得3G的長；

(2)先過C作CHL/E于“，判定ABGP2ACHP(44S),根據(jù)全等三角形對應邊相等以及等腰三角

形的性質(zhì)，得出為等腰直角三角形，進而得到C￡=Mc〃=

(3)先過點。作于X先判定△BGN為等腰直角三角形，得出2G=GN,BN=MGN,再判

定AADH^ABAG(AAS),得出AH=BG=GN,DH=AG,進而得到HN=HG+GN=HG+AH=AG,

DH=HN,再根據(jù)△￡)所為等腰直角三角形，得出DN=、?HN=MAG,最后得到27W力N=J^GN+

近AG7%N.

【解答】(1)解：:AG=GE,BGL4P,

:.AB=BE=2M，

,正方形48CD中，N4B尸=90°,AB=2?,PB=1,

：.R.IAABP中，^=7(272)2+12=3,

??AABP的面積=JLx/PX8G=2x/8X8產(chǎn)，

22

，RG=2&:

3

(2)證明：如圖2,過C作C/7L/E于X,

'：BG±AE,

:./BGP=NCHP=90°,

:尸為BC的中點，

:.BP=CP,

，ZBGP=ZCHP

在尸和△(???中，,ZBPG=ZCPH，

BP=CP

:3GP迫ACHP(AAS),

第15頁(共23頁)

:?BG=CH,ZGBP=ZPCH,

?；AB=BE,

：.NBAE=/BEA,

VZABC=ZABG+ZGBP=90°,/ABG+NBAG=90°,

:?/GBP=/BAG,

：.ZPCH=ZBEPf

U：AB=BC,AB=BE,

:.BC=BE,

：./BCE=/BEC,

：.ZHCE=ZHEC,

：.CH=EH,

?；NCHE=90°,

；?CE=MCH,即CE=MBG；

(3)解：如圖3,過點。作于〃

■:BN平分/CBE,

：.ZCBN=ZEBN,

由(2)可知NGAP=NAEP,

■:BG2AE,

：.ZGBP+ZPBN=45°,即NG5N=45°=/GNB,

：.BG=GN,BN=\[2GN,

9：DH±AP,ZDAB=90°,

???ZDAH+ZADH=ZDAH+ZBAD=90°,

???ZADH=/BAG,

rZADH=ZBAG

在△4。H和4G中，ZAHD=ZAGB，

AD=BA

:AADH沿ABAG(AAS),

：.AH=BG=GN,DH=AG,

:.HN=HG+GN=HG+AH=AG,

：.DH=HN,

VZDHN=90°,

第16頁（共23頁）

:.DN=?HN=\[^AG,

：.BN+DN^\[2GN+\[2AG=近AN.

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合運用等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形

全等是解決問題的關鍵.

5.在四邊形中，AD//BC,AD=CD,NB=90°,點M在邊8C上運動，將r沿折疊得

到△/五射線MF交直線CD于點N.

(1)如圖1,點N在邊CD的延長線上，當N3CD=45°時，線段FN、DN、Y2co之間的數(shù)量關系

2

為FN+DN=}[2L.CD；

2

(2)如圖2,點N在邊CD上，當/2CD=60°時，求證：FN=DN+ZcD；

2

2

沿ADEC,推出4H=DH=DE=EC=±'NCD,由RtZ\/NH%RtZ\/NF,推出巾=W，可得FN+DN

2

=HN+DN=DH=2Z2.CZ）；

2

第17頁(共23頁)

（2）如圖2中，作DE_LBC于E,AHLCD于H,連接/N.由gADEC,推出。//=CE=』CD,

2

與RtdANH咨RtLANF,推出尸N=HV,可得FN-DN=HN-DN=DH=，CD；

2

（3）如圖3中，作。E_L3C于E,4H_LCD于H,連接/N,作NF_L3c于尸.由（2）可知，DN=NC

=DH=3,FN=NH=6,NF=^^,EF=CF=3.,AD=BE=CD=6,設8A/=FA/=x,在.KAMNF

22

中，根據(jù)肱口二加產(chǎn)+對2,列出方程即可解決問題；

【解答】（1）解：結論：FN+DN^J2L.CD.

2

理由：如圖1中，作DEL2C于E,AHLCD于H,連接NN,則四邊形/5ED是矩形.

C

圖1

'JAD//BC,

：.N4DH=/DCE=45°,

'：AD=DC,ZAHD=ZDEC=90°,

:.AAHD義ADEC,

：.AH=DH=DE=EC=^LLCD,

2

'：AF=AB=DE,AB=AF,

；.AF=AH,'：AN^AN,

：.RtAANH經(jīng)RtAANF,

:.FN=HN,

：.FN+DN^HN+DN=DH^l2-CD.

2

故答案為FN+DN=^LLCD.

2

第18頁（共23頁）

(2)如圖2中，作DELBC于￡,AHLCD于H,連接NN,則四邊形4BED是矩形.

"JAD//BC,

；./4DH=NDCE=60°,

；AD=DC,ZAHD=ZDEC=90°,

：./\AHD^/\DEC,

:.DH=CE=LCD,

2

'：AF=AB=DE,AB=AF,

:.AF=AH,,:AN=AN,

:.KAANH會及AANF,

:.FN=HN,

：.FN-DN=HN-DN=DH=LCD,

2

:.FN=DN+LCD.

2

(3)如圖3中，作DE_L2C于RAH_LCD于H,連接NN,作NF_L2C于尸，則四邊形4BED是矩形.

第19頁(共23頁)

H

圖3

由(2)可知，DN=NC=DH=3,FN=NH=6,NF=^H-,EF=CF=￡4D=BE=CD=6,

22

設BM=FM=x,

在Rtz^MVF中，,：MN1=MF1+FN1,

：.(x+6)2=(E-x)2+3&)2,

22

??X~1i

:.MN=\+6=7.

【點評】本題考查幾何變換綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的

性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問

題，屬于中考壓軸題.

6.問題情境：在學習了正方形后，彩虹中學的2101班的同學對正方形進行了探究，特邀請你一起加入此

次的探究：如圖，正方形ABC。的邊長為6,點E是對角線2。上的動點，連接EC.

(1)【探究】：如圖1：若過點￡作FELCE交48于點R經(jīng)過探究，請你猜想■與CE的數(shù)量關系，

并加以證明.

(2)【應用】：如圖2：在(1)的探究情況下，過點E作EGLDC于點G,若DE=2J2，求尸C的長.

(3)【拓展探究】：如圖3,若點尸是AB上的一個動點，且始終滿足?！?2下，設CE+CF=x,請你直

接寫出％2的最小值.

圖1圖2圖3

第20頁(共23頁)

【分析】（1）過E點作披，48于M點，作NE，2c于N點，先證明四邊形EM3N是正方形，再證明

AMEF沿ANEC即可作答；

（2）在（1）中￡尸=￡。，可得是等腰直角三角形，即有尸C=J，￡C,再證明△EDG是等腰直

角三角形，即有DE=J^EG=J^DG,進而可得￡G=DG=2,即CG=CD-DG=4,則有EC=

《EG2+CG2=即可解答；

（3）過尸點作且使得過8點作//KLC