重慶烏江新高考協(xié)作體2025屆高三年級上冊高考質(zhì)量調(diào)研（二）（10月）數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高考質(zhì)量調(diào)研（二）

數(shù)學(xué)試題

（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.由1,2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有（）個元素

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)取出的數(shù)字個數(shù)進(jìn)行分類，每一類中一一列舉出來計數(shù)即可.

【詳解】只取一個元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：共3個；

只取兩個元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有12,21,13,31,23,32共6個；

取三個元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有123,132,213,231,312,321共6個；

共有3+6+6=15種方法，即由1,2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有15

個元素，

故選：A.

2.若直線y=2光是曲線/1）=小2,-4的切線，則”（）

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切點及切線的斜率求得正確答案.

【詳解】f(x)=x[^-aj,(x)=(1+2x)e2'-a,

依題意，直線y=2尤是曲線=x佇-a）的切線,

)=fe"=(2+a"

設(shè)切點為貝卜

,(l+2t)e2t=2+a

2t-a=2

通過對比系數(shù)可得+=二,2尸=01=0,則a=—1.

故選：B

1+cos2a

3.已知tana=2,則

sin2a

11

A.3B.-C.2D.-

32

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計算再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.

，、*珈、1+cos2a2cos2a11

【詳解】---------=------------=-----=一.

sin2a2sinacosatana2

故選：D.

4.若A(l,0),B(O,b),C(—2,—2)三點共線，貝峰=()

2323

A——B.--C.-D.-

3232

【答案】A

【解析】

【分析】利用共線向量的性質(zhì)，設(shè)AC=/L42且XwO,進(jìn)而列方程求解.

【詳解】A&C三點共線，=且4/0，

2=3

-2-1=2(0-1)

得《解得L2

—2—0=〃?！?)b=——

I3

故選：A.

5.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步.問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉

徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個問題的一般解法：如圖1,用對角線將長和寬分別為6

和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、

青)將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為。+)，寬為內(nèi)接正方形的邊長d.由

劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3,設(shè)。為斜邊5c的中點，作直角三角形ABC的內(nèi)接正

方形對角線AE，過點A作AF13。于點足則下列推理正確的是()

圖1圖2圖3

。It由可得,[2：匕2

A.由圖1和圖2面積相等得d=一町B.AEAAF

a+b

片+/、2

C.由AD2AE可得1—2—―fD.由AD2AF可得。2+62Na+b

----1----

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖1,圖2面積相等,可求得1的表達(dá)式,可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中AD,AE,AF

的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案

【詳解】對于A,由圖1和圖2面積相等得a/?=(a+b)xd,所以d=g，故A錯誤；

對于B,因為所以LxaxbnLjTTFxAb,所以4/=-/孚〒，AE=Cd=^^，

22\la+ba+b

因為AENAF,所以叵或N疝,整理得忙工心，故B錯誤；

a+bJ".?V22

對于C,因為O為斜邊BC的中點，所以1r+"

2

/2?.2后人I。2+/、2

因為ADAAE,所以f2烏電,整理得21—T，故C正確;

2a+b"一+:

J/+/

對于D,因為AD2A/，所以之帥,整理得標(biāo)十/7222ab，故D錯誤.

2

故選：C.

6.已知設(shè)z=x+yi(x,y￡R)，則1(%—設(shè)+(y+3)i|=2,則|z+l|的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先求得復(fù)數(shù)z實部與虛部的關(guān)系，再去求|z+l|的最小值即可解決.

,c[x=2cosa+3

【詳解】由|(%—3)+(y+3)i|=2,可得(%—3)2+(y+3)2=4,可令。

y=2smi-3

則|z+11=J(x+1)2+/=^(2COS6Z+4)2+(2sin6Z-3)2

=j29+16cosa-12sina=,29+20sin(0—a)(9為銳角,且tan0=g)

由一lVsin(?！猘)Kl,可得3V)29+2Osin(0-a)W7

則Iz+11的最小值為3

故選：A

7.若數(shù)列｛4｝為正項等比數(shù)列，a3=l,數(shù)列彷,｝為公差為6,首項為1的等差數(shù)列，則數(shù)列｛4么｝前5

項和的最小值為()

187167147

A.-----B.-----C.-----D.65

444

【答案】A

【解析】

17,

【分析】由己知可得+。2°2+%4+。4°4+。5°5~~1-13+19^+25^,利用導(dǎo)數(shù)可求其最小值.

~~qq

【詳解】因為數(shù)列｛2｝為公差為6,首項為1的等差數(shù)列，

所以偽=1也=7也=13也=19,么=25,

若數(shù)列｛4｝為正項等比數(shù)列，%=1，設(shè)公比為4,

112

則=~7，%=—,/=%〃5=，

qq

[7

所以數(shù)列｛。屹/前5項和為+a力2+。3”3+。4“+a5b5-----1-13+19^+25^2,

設(shè)y=J+；+13+19q+25八求導(dǎo)可得；+19+50"J—7q+3+50q,

令g⑷=—2—7q+19/+50/,可得g，⑷=_7+57/+200/,

，/、*/八\,耳十Ui，「,/、__/3、2ccc/3、3—7000+5130+5400

8(4)在(0,+8)上r增函數(shù)，又g(q)=-7+57x(-)-+200x(一)3=-------------------->0,

10101000

33

當(dāng)“2億時，g'(q)>Q,所以g(q)在［充,+oo)上為增函數(shù)，

Xg(1)=-2-7x1+19x(1)3+50x(1)4=0,

所以當(dāng)qe(奈,；),y'<0,/>0,

,,一一01925187

所cr以ymin=4+14+13+-+—=^-,

31710070427187

當(dāng)qw(0,—),y二節(jié)H----F13>------1------F13=-->--

“V10q2q9394

iX7

所以則數(shù)列｛anbn｝前5項和的最小值為十.

故選：A.

21一

8.設(shè)a=tan0.21,b=lnl.21c=一,則下列大小關(guān)系正確的是)

f22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】首先通過構(gòu)造函數(shù)得到當(dāng)0<尤時，tanx>x,再通過構(gòu)造函數(shù)/(x)=x—ln(l+x),0<x(二

22

JT

進(jìn)一步得到x>ln(l+x),xe0,-,由此即可比較進(jìn)一步比較。力，由此即可得解.

JT

【詳解】設(shè)"(%)=tan九一元,0〈九，貝!J

，/、cosx-cosx-sinx)sinx1

h(x)=----------------7----------------］=----2----1>0,0<%<

cosxcosx

所以//(%)=tmx—x在上單調(diào)遞增，

兀

所以/z(%)=tanx-x>/i(0)=0,即tanx>x,0<%<',

7T1T

令/(犬)=%—In(1+%)，。<x<5‘貝!J(x)=1—----=----->0,

所以/(x)=x—ln(l+x)在［og］上單調(diào)遞增，

從而/(x)=x-ln(l+x)>〃0)=0,即x>ln(l+x),XE/'),

所以tanx>x>ln(l+x),

從而當(dāng)％=0.21時，a=tan0.21>Z?=In1.21,

a=tan0.21<tan2比一=竺<國上

633666622

所以c>a>Z>.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：在比較。涉的大小關(guān)系時，可以通過先放縮再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，由此即可順利得解.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.

9.己知非零向量a/,c,則下列結(jié)論正確的是()

A.若。(61)=0,則匕1°B.若(a+6)，(a—為，貝/。|=|切

C.若=，則。=匕D.向量(ad)C-(aN)6與向量。垂直

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項A,根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到64=0,即可判斷選項A的正誤；選項B,根據(jù)條

件，利用數(shù)量積的運算及模的定義，即可判斷選項B的正誤；選項C,根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，得

至U|a|cos〈a,0=|Acosk，e),即可求解；選項D,根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運算律，得到

[(a-b)c-(a-c)l)]-a-0,即可求解.

【詳解】對于選項A,因為。為非零向量，若90=0,則人工=0，故6Sc，所以選項A正確，

對于選項B,若(4+5).(4_5=舒—廬=|渥_防『=0,故⑷=|日所以選項B正確,

對于選項C,若則|&川。|85〈4,?=|切一|司85(6,日，

得到|&|85缶0=|切<：0$("，，不能確定a=6，所以選項C錯誤，

對于選項D,[(a-b)c-(a-c)b]-d-(d-i>)c-a-(d-c)l>-a-(d-l>)(c-d)-(d-l>)(c-d)-0,

故[(a?b)c-(a?c)Z?]_Ld,所以選項D正確,

故選：ABD.

10.已知利〃w(0,l)D(l,+8),若108〃,2=」一/08"2=二，則下列命題正確的是()

l-2aa

A.若a=2,則加〃=2B.若a>2,則加〃>2

C.若mn=1,則a=1D.若mn>1,貝Ua>1

【答案】ABC

【解析】

【分析】由對數(shù)運算的性質(zhì)得加〃=2“"2。+1,通過代入。=2即可判斷A；由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；

代入=l即可求出〃的值，則可判斷C；由加〃>1可得/一2。+1=(。-1)2>0,可解得〃的取值范圍,

則可判斷D.

【詳解】由題意知log2m=]-2a,10g2〃=〃2,所以log2(77m)=-2〃+1,

所以加=242。+1.

對于A,若〃=2,則mn=2]=2，故A正確；

對于B,若〃〉2,則〃2—2〃+1=(〃—I)?>1,所以加z>21=2，故B正確；

對于C,若加=1,則〃2一2〃+1=0，解得。=1,故C正確；

對于D,若mn〉l,則a之一2〃+1=("-I)?>0,不能得到〃>1,故D錯誤.

故選：ABC.

11.已知{cosa,cos2a,cos3a}={sina,sin2a,sin3a},則a可以是()

【答案】AB

【解析】

【分析】利用積化和差和輔助角公式得到0sin（4+二）=0sin（K+P）,即可求解得到a=%或

24243

cc=---1—,kwZ,可求答案.

28

【詳解】{cosa,cos2a,cos3。}={sina,sin",sin3a},

coscr+cos2cr+cos3cr=sincr+sin2a+sin3cr,

/.sinx（sincif+sin2cr+sin3cr）=sinx（cosa+cos2cr+cos3df）,

ccccccccaa

sincrsin——Fsin2osin——Fsin3。sin一=cosasm——bcos2asin——bcos3crsin一，

222222

a3a3a5a5ala3a.a.5a.3a.7。.5a

cos---cos---Fcos----cos——+cos----cos——=sin——-sin——bsin----sin---Fsin----sin——

222222222222

a7a.la.a

cos---cos——=sin----sin—,

2222

.aa.la7。

/.sin——bcos—=sin---bcos——,

2222

：■4+；）—（C）=3a=2bi或［/+巳］+（^|+；］=4￡+5=（2左+1）兀，keZ,

2kjikn7i

keZ,或。二一+—keZ,

28

37r7i

???經(jīng)檢驗，a=-三或士符合，其它都不符合.

88

故選：AB.

12.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù).當(dāng)時他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的

點）.他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù).根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏

林的皇家運河上散步時突然想到的方程解.之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughamBridge.對四元數(shù)

u=a+bi+cj+dk,a,Z?,c,deR的單位》,了,左，其運算滿足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j,

ji=-k,kj=-i,ik=-j；-a-bi-q-dk,N（u^=uu=cr+b2+c2+d2,

|u|=yla~+b2+c2+d2,定義"T=L,記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為V,則以下說法中正確的有（）

U

A.集合{l,i,j,k}的元素按乘法得到一個八元集合

l

B.若非零元〃,veV,則有：u-vu=v->

C.若〃,veV,則有：N（uv）=N（u）N（y）

_1u

若非零元〃則有：u

D.eV,=\uEI

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用已知條件求出所求集合為｛l,i,j,k,-1,—>j「k｝即可；對于B,直接給出反例”=1,

v=2即可；對于C,利用N（M）的定義計算即可；對于D,利用C選項的結(jié)果驗證即可.

【詳解】對于A,由于=j2=k2=-1,ji=-k,kj=-i,ik=-j,故集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法可

以得到集合1,-i,-j,-k｝,容易驗證該集合中任意兩個元素的乘積還在該集合中，故集合

｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到的集合是八元集合｛l,i,j,k,—1,—i,—j,—k｝,故A正確；

對于B,取a=l,v=2,則，）”=「1-2-1=1-2-1=2片工=2-1=「1,故B錯誤；

2

對于C,若以vwV,設(shè)沅=a+bi+qj+dk,v=x+）i+zj+wk,貝|

N（〃v）=N（（Q+Z?i+qj+dc）（x+yi+0+vvk））

=N｛^ax-by-cz-dyv）+^ay+bx+cw-dz^\+[az+cx+dy-by\^]+[aw+dx+bz-cy^V^

-｛ax—by—cz—dwf+^ay+bx+cw—dz^+^az+cx+dy—by\^+^aw+dx+bz—cyf

=a2x2+b2x2+c2x2+d2^+a2y2+b2y2-^-c2y2+d2y2-^-a2z2-^-b2z2-^-c2z2+d2z2+a2w2+Z?2w2+c2w2+d2w2

=（〃2+/+/+/）（12+y2+z2+M）

=N（Q+歷+@+dk）N（x+yi+才+wk）

=N（w）N（v）,故C正確；

對于D,根據(jù)題目中的定義有N（〃）=|〃「，從而

u_uu_uu_N（K）_N（"）_N（〃）_]

”,網(wǎng)一網(wǎng)一心“1a.）一網(wǎng)（〃.“）一的（“"（“）一?

_1ii

所以"=伺'故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對新定義的理解，只有理解了定義，方可求解所求的問題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.若函數(shù)”%）=%2—4以-3在區(qū)間（-4,口）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】（f,-2]

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出對稱軸與-4的關(guān)系即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/（X）=為2—4改—3的對稱軸為1=2a,圖象開口向上,

所以函數(shù)在[2a,+8）上單調(diào)遞增，

因為函數(shù)了（%）在區(qū)間（-4,+⑹上單調(diào)遞增，

所以2aWY,

解得a<-2.

故答案為：（一8,-2].

14.若/(x)=asin[x+F)+3sin[x+1)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為.

【答案】-拒

【解析】

【分析】由函數(shù)了（耳是偶函數(shù)，則/[一=代入計算并驗證即可求出心

【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，則/

(兀、..r兀兀、3兀).(兀兀、0.(兀兀、.兀0

——|=3sin——+—\---T—1=asm—+—+3sm—+—|=asm—+3,

6J[63)2^66J^63)3

化簡可得a=-J，.

—y/3時，貝U/(%)=—^/3sinIx+—j+3sinIx+—

當(dāng)Cl—

.兀.兀)

兀.71、

smxcos—+cosxsm—+3Jsm.xcos—+cosxsm—

66JI33；

cosx-A/3COSx

2

所以/(x)=A/3COSX,貝IJf(-J;)=A/3COS(-x)=A/3COSx=/(x),

所以函數(shù)是偶函數(shù)，則。=-百.

故答案為：Y

15.小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子A3中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個質(zhì)地

均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將3中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入8中，直到無法繼

續(xù)游戲.那么游戲結(jié)束時3中沒有糖的概率是.

【答案】—

17

【解析】

【分析】設(shè)最初在A中有左顆糖，B中有6-左顆糖時，游戲結(jié)束時8中沒有糖的概率為以(4=0,1,-,6),

歸納找出遞推關(guān)系，利用方程得出為,再由遞推關(guān)系求生.

【詳解】設(shè)A中有/顆糖，B中有6—左顆糖，游戲結(jié)束時8中沒有糖的概率為/(左=0,1,,6).

12112

顯然。0=]〃1，“6=§%+§，以=§4+1+§/-1(1〈人《5),

可得%+1—%=2(%—以_1)，則。6—“5=2,(%—%)=26%,

4=%+2,4=%+%+2‘a(chǎn)。=q+2?%++2‘a(chǎn)。—^27-1)a。，

同理%=q+22ao++2,4=(—1)g,

二(2’T)%=|96—1)%+g，解得/=7^7=短

a,=(24—114=15x-----=—.

3v'°25517

故答案為：—

17

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于建立統(tǒng)一的一個6顆糖果放入2個盒子不同情況的模型，找到統(tǒng)一的

遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系建立方程求出劭，即可得出這一統(tǒng)一模型的答案.

16.已知a>0,如果有且僅有四個不同的復(fù)數(shù)z,同時滿足|(z—l)(z+l)2|=a和目=1,則。的取值范圍

是.

【答案】

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來研究即可.

【詳解】由|(z—l)(z+l)2|=a可得J—1能+1「=「，

又由忖=1可得，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在單位圓上,

設(shè)單位圓上動點尸，4(-1,0),5(1,0),則|z-1|表示pg長度，|z+l|表示叢長度,

即。=網(wǎng)?m2,又因為依2+叢2=4,所以a=PR(4—P4),

令PB=x,可設(shè)/(%)=尤?(4一％2)=一%3+4無，xe(0,2)

/'(%)=—3^+4,令/'(x)=0,可得彳=氈

fr(x)=-3x2+4>0,所以/(x)=-/+4x上單調(diào)遞增;

fr(x)=-3x2+4<0,所以/(x)=-%3+4x在

+4x竽/(2)=-23+4x2=0,/(0)=0,

X在(0.2)有兩解，即在X軸上方一定存在兩個復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點滿足條件,

再利用圓關(guān)于X軸對稱，所以在X軸下方也一定存在兩個復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點滿足條件,

綜上此時有四個不同的復(fù)數(shù)Z,

故答案為：.

【點睛】方法點睛：利用數(shù)形結(jié)合，把問題轉(zhuǎn)化為a=P5-PA2,再利用網(wǎng)2+如2=4消元，然后再利用

函數(shù)求導(dǎo)來研究值域，即可求得。的范圍.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/'(%)=log,;——.

1+x

(1)判斷并證明八％)的奇偶性；

(2)若對任意xe,fe[-2,2],不等式/(x)2/+8一6恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；

(2)--<a<-.

22

【解析】

【分析】(1)利用奇偶性定義證明判斷即可；

⑵根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定"%)在xe-1,|上最小值，把問題化為產(chǎn)+成―5<0在/目―2,2]

上恒成立，即可求結(jié)果.

【小問1詳解】

"%)為奇函數(shù)，證明如下：

由解析式易知—>0=>(x—l)(x+1)<0=>—1<x<1,函數(shù)定義域為(-1,1),

1+X

1?Y1丫

而/(—x)=log,；——=-log2--=—/(x),故/(%)為奇函數(shù).

l-x1+X

【小問2詳解】

[2]]

由根=——-=------1在上為減函數(shù)，而y=log2機(jī)在定義域上為增函數(shù)，

1+x1+xL33_

所以了(%)在xe上為減函數(shù)，故/⑴*=_/?(5=―1,

要使任意Xe一,，問—2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，

只需產(chǎn)+成―64—1在，￡[—2,2]上恒成立，即/+成一540在，￡[—2,2]上恒成立,

°4—2〃一5(011

由y=廠+。/一5開口向上，則L^--<a<—,

4+2〃—5<022

…11

綜上，—<a<一.

22

18.海水受日月引力會產(chǎn)生潮汐.以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時水面升高，退潮時水面降低.現(xiàn)測得某港口某

天的時刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時即為凌晨3點06分）

時刻：X（時）03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)y=Asin（ox+e）+00〉0,@|<|來近似描述這一天內(nèi)港口水深與

時間的關(guān)系，求出這個函數(shù)的解析式；

（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米.安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？?/p>

時，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時間

及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r長.

【答案】（1）y=2.4sin首x+5,0<x<24

（2）最早可行的進(jìn)港時間為1時2分，5時10分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中停靠的總時

長為8小時16分.

【解析】

【分析】（1）由公式A=max1nm力=max+min可求,由表格可得周期丁=12.4—0=12.4,進(jìn)而求

22

代入最高點（3.1,7.4）可求。；

（2）由題意可知進(jìn)港條件為y>6.2,解不等式即可.

【小問1詳解】

由表格可知y的最大值為7.4,最小值為2.6,

7.4-2.674+2.6

所以A==2A,b=二5，

2-2-

由表格可知T=12.4—0=12.4，

2兀_2兀—571

所以刃二

T-12.4—31

(

所以y=2.4sin131x+cp+5,

將點(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sinx3.1+。J+5,

5117T

所以一x3.1+/=—+24兀,keZ,

312

解得0=0+2也左￡Z,

因為憫〈方，所以。=0,

5兀

所以y=2.4sin——%+5,0<%<24.

’31

【小問2詳解】

貨船需要的安全水深為4.2+2=6.2米,

所以進(jìn)港條件為y>6.2.

5兀

令2.4sin—x+5>6.2,

31

.5兀1

即sin—%>—,

312

TT57rSir

所以+fxVf+2E,左eZ,

6316

3162k3162k

解得H--------<X<-------1--------，女eZ,

30565

因為0Wx<24,

3131

所以左=0時，—<%<—,

306

403527

k=1時,---<%<----

3030

3131

因為一（時）=1時2分，一（時）=5時10分.

306

403

---（時）=13時26分，（時）=17時34分.

30

因此，貨船可以在1時2分進(jìn)港,早晨5時10分出港；或在下午13時26分進(jìn)港，下午17時34分

出港.

則該貨船最早進(jìn)港時間1時2分，?？靠倳r長為8小時16分鐘.

已知鴻

19.在VA3C中，角A5C的對邊分別為。，b,csinC+cosC.

（1）求角3；

BABDBDBC

（2）若。是VA5C邊AC上的一點，且滿足-------=--------9a+4c=25,求的最大值.

7T

【答案】（1）B=—

3

（2）73

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得a=lysine+匕cosC，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得tan§=6,

3

即可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意結(jié)合向量夾角公式可得NABD=CBD=巴，利用面積關(guān)系可得正=,+工，利用乘“1”

6BDac

法結(jié)合基本不等式運算求解.

【小問1詳解】

因為@=^-sinC+cosC，即。=^-bsinC+bcosC，

b33

由正弦定理可得sinA=^-sinBsinC+sinBcosC>

3

且sinA=sin（3+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，可得cos^sinC=—sinBsinC，

33

且Ce(O,7i),則sinCwO,可得tan5=若,

71

又因為0<5<兀，所以3=

【小問2詳解】

BABD_BD-BCBABDBDBC

因為|BA|一|BC|‘即卜小卜⑷一

可得cosZABD=cosZCBD,即ZABD=NCBD,

JT

可知平分/ABC,則/ABD=CBD=—,

6

因為^AABC=^AABD+^ABCD'

即避^=’6。義"工+工瓦”。義工，整理可得^^=工+，,

222222BDac

又因為9Q+4c=25,

當(dāng)且僅當(dāng)4一c=J9a,即〃=5—,。=大5時取等號,

ac32

可得，所以BD的最大值為百.

20.某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上是

指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到

如下的頻率分布直方圖：

入頻率

TW

0.009--------------1~I

0.004-------------

0.00021—

匕+-十-士一上一-1~~?單次最大

O180230280330380430續(xù)航里程/千米

(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值元(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽

車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃近似為樣本平均數(shù)元，。近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)

差￡

(i)利用該正態(tài)分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)航

里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求E(Z)；

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量。服從正態(tài)分布N(〃,b2),則尸(〃—+

P(//-2cr<^</u+2cr)=0.9545,P(//-3cr<^<//+3cr)=0.99731.

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋

擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在x軸上從原點。出發(fā)向右運動，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都上，客

2

戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車

向右移動兩個單位，直到遙控車移到點(59,0)(勝利大本營)或點(60,0)(失敗大本營)時，游戲結(jié)

束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(凡0)的概率為60),

試證明數(shù)列｛5—｝是等比數(shù)列(2W〃W59),求出數(shù)列｛與｝(1W〃W60)的通項公式，并比較￡9和心)

的大小.

【答案】(1)300(2)(i)0.8186；(ii)16.372

21(1丫71“

-----——,l<n<59

(3)證明見解析，匕=36){2；J，匕八>八Eo

11MY0

〔—3H—6U—J,n=60

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)的求法求得正確答案.

(2)(i)根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.

(ii)根據(jù)二項分布的知識求得正確答案.

(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用累加法求得只，利用差比較法比較己9和的大小?

【小問1詳解】

x?205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

【小問2詳解】

(i)P(250.25<X<399.5)=0.6827+0~9545"0-6827=0.8186.

(ii))服從二項分布5(20,0.8186),；.E(Z)=20x0.8186=16.372.

【小問3詳解】

當(dāng)3<〃<59時，Pn=1^-i=-1■(匕T-七2)，

4=通-6=j

-

乙乙乙乙'r

，{匕—々t}(2<〃<59)是以:為首項，—;為公比的等比數(shù)列，

匕—與T=；]—g](2<?<59).

鳥-，月-2…'匕一嘮(2<H<59).

累加得：

58

(2<“<59)然。=44="；

236

>0,P59>P6Q.

注：比較匕和尸6。的另一個過程：/卜。?=1一4＜卜4.

21.已知VABC的三個角A,B,。的對邊分別是。，b,c,且tanC=3tanjB.

(1)若a=2b,求C；

(2)若。=痛，b+c=3,求VABC的面積.

71

【答案】(1)-

3

(2)

4

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，化切為弦，再利用內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和正弦公式化簡求值即可;

(2)法一，由sinA=4sin3cosC利用正、余弦定理化角為邊，聯(lián)立匕+c=3解方程組可得6,。，進(jìn)而求

得cosCsinC,然后由面積公式可得；法二，作輔助線三角形的高，由tanC=3tanB利用直角三角形化

角為邊，再利用勾股定理建立關(guān)于高的方程求解可得，進(jìn)而可求面積.

【小問1詳解】

因為tanC=3tan5,

?,sinC3sinB皿

所以-----=-------,貝UsinCcos5=3sin5cosC.

cosCcosB

因為a=2b,由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC,

所以2sin5=4sin5cosC,由B為三角形內(nèi)角，故sinBwO,

所以cos。二,，又OvCv兀，

2

故。=巴.

3

【小問2詳解】

法一：由(1)知，sinCeosB=3sinBcosC,

則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cos5sinC=4sinBcosC,

由正弦定理可得a=4Z?cosC,

a2+b7-c-6+b2-c1

由4=&，且COSC=代入a=3cosC可得

2ab2病

〃2_26

瓜=4x———，化簡得