軸對(duì)稱易錯(cuò)訓(xùn)練（單元復(fù)習(xí)6類(lèi)易錯(cuò)）解析版-2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

軸對(duì)稱易錯(cuò)訓(xùn)練（6類(lèi)易錯(cuò)）

01易錯(cuò)總結(jié)

目錄

易錯(cuò)題型一線段的垂直平分線與角平分線的判定定理證明易錯(cuò).....................................1

易錯(cuò)題型二求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)............................9

易錯(cuò)題型三當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)...........................13

易錯(cuò)題型四求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)..................................15

易錯(cuò)題型五等腰三角形中與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò).............................22

易錯(cuò)題型六等腰三角形中與新定義型問(wèn)題結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò).............................25

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一線段的垂直平分線與角平分線的判定定理證明易錯(cuò)

例題：（23-24七年級(jí)下?山東威海?期中）如圖，在△48C中，。是8c的垂直平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

DEVAB,DFVAC,垂足為點(diǎn)E,F,BE=CF.求證：點(diǎn)。在//的平分線上.

【分析】本題考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并添加適當(dāng)?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.連接4D,先證明RMOEB之RQD尸C（HL）,可得DE=DF,再根據(jù)角平分線的判定定理求解

即可.

【詳解】證明：連接ND,

A

■：DEYAB,DFLAC,

:./DEB=NDFC=90°,

在RtZ\DEB與RtAZ>^C中,

jDB=DC

'\BECF'

...RtAZ>￡,S^RtAZ）FC（HL）,

DE=DF,

.〔AD平分/B/C,

.?.點(diǎn)。在//的平分線上.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，在△Z3C中，點(diǎn)。在3c邊上，連接ND,有

ZBAD=100°,/ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)、E,過(guò)點(diǎn)E作EFL4B交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且AAEF=50°,

連接DE.求證：平分24DC.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】

此題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平

分線上是解答此題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)E作EG14。于點(diǎn)G,EH1BC千點(diǎn)、H,先通過(guò)計(jì)算得出

ZFAE=ZCAD=40°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得EF=EG,EF=EH,進(jìn)而得EG=EH,據(jù)此根據(jù)角平分線的

性質(zhì)可得出結(jié)論

【詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG，/。于點(diǎn)G,EH上BC于點(diǎn)、H,

■：EF1AB,ZAEF=50°,

=90°-50°=40°,

ABAD=100°,

ACAD=180。-100。-40。=40°,

AFAE=ACAD=40°,即NC為ND4尸的平分線.

又EFLAB,EGVAD,

EF=EG.

BE是N4BC的平分線，

.-.EF=EH,

EG=EH,

點(diǎn)E在ZADC的平分線上，

:.DE平分NADC.

2.（23-24八年級(jí)上?吉林?期中）如圖，在a/BC中，邊AB、ZC的垂直平分線分別交3c于點(diǎn)D、E,直線

(1)試判斷點(diǎn)。是否在8c的垂直平分線上，并說(shuō)明理由;

⑵若NB4c=100°,求AMON的度數(shù).

【答案】(1)點(diǎn)。在8c的垂直平分線上，理由見(jiàn)解析

(2)80°

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

(1)連接/。、BO、CO,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得/。=2。,C。=/。，則8。=。。，根據(jù)垂直平分線

的判定可證明結(jié)論

(2)證明=N4NO=90。，又由Nft4c=100。及四邊形內(nèi)角為360。即可得到乙WON的度數(shù).

【詳解】(1)點(diǎn)。在2c的垂直平分線上，理由如下：

連接/。、BO、CO,

,:邊4B、ZC的垂直平分線分別交8C于點(diǎn)。、E,直線。M、EN交于點(diǎn)O.

：.AO=BO,CO=AO,

：.BO=CO,

.??點(diǎn)。在2C的垂直平分線上；

(2)OM±AB,ON±AC,

.-.ZAMO=ZANO=90°,

???ABAC=100°,

AMOM=360°-ZAMO-ABAC-ZANO=80°

3.(23-24八年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))如圖，A4BC中，點(diǎn)。在邊5c延長(zhǎng)線上，/ACB=96°,NABC

的平分線交4D于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)、E作EH，BD,垂足為且/CE"=48。.

(1)直接寫(xiě)出ZACE的度數(shù)=_；

(2)求證：4E平分/C4F；

(3)^AC+CD=14,/3=8,且SA/CD=21,求ANBE的面積.

【答案】(1)42。

(2)見(jiàn)解析

(3)12

【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和垂直的定義可得乙48=84。、ACHE=90°,進(jìn)而得到NECH=42。,然后根

據(jù)ZACE=ZACD-ZECH即可解答；

（2）如圖：過(guò)E點(diǎn)分別作尸于EN工AC與N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的定義

可得EM=EH、CE平分々CD、EN=EH,最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答；

（3）根據(jù)％少=$.虛+5女助結(jié)合已知條件可得及0=3,最后運(yùn)用三角形的面積公式即可解答.

【詳解】（1）1￥：-.-ZACB=96°,

.?.//CD=180°-96°=84°,

???EHLBD,

：.ACHE=90°,

*/CEH=48°,

.?./EC〃=90°-48°=42°,

."ACE=ZACD-ZECH=84°-42°=42°,

故答案為：42°.

（2）證明：如圖：過(guò)E點(diǎn)分別作尸于Af,EN工AC與N,

?:BE平分NABC,

：.EM=EH,

■：ZACE=ZECH=42°,

；.CE平分NNCD,

EN=EH,

：.EM=EN,

:.AE平分/C4F.

⑶解：?"+314,S.D=21,EM=EN=EH,

.?”D=S^CE+SACED=.EN+；CD.EH=；(AC+CD).EM=21,

即;xl4.EN=21,解得瓦0=3,

??,AB=8,

.■.SAABE=^AB-EM=n.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與判定定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵.

4.(23-24八年級(jí)上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí))【發(fā)現(xiàn)】如圖1,ZABC=/C=90°,E為5c的中點(diǎn)，平分N4DC,

過(guò)點(diǎn)E作斯上4D,垂足為尸，連接NE.

(1)求證：4E■是/D4B的平分線；

(2)連接8尸，求證：4E1垂直平分線段班7；

【拓展】如圖2,AB//DC,/加。和/4DC的平分線4E和?！晗嘟挥邳c(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E的直線與DC

分別相交于點(diǎn)3，C(點(diǎn)3,C在4D的同側(cè)).

圖2

(3)判斷E是否為線段3c的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

(4)若四邊形ABCD的面積為16,的面積為2,則ACAE的面積是.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)￡為線段3c的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；(4)6

【分析】本題主要考查角平分線性質(zhì)定理與判定定理、線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì);

(1)由題意得ER=EC和EB=EC,根據(jù)角平分線的判定定理即可判定；

(2)根據(jù)題意證得ANBE會(huì),得4B=AF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可判定；

(3)過(guò)點(diǎn)￡作48的垂線，交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交8于點(diǎn)G,有尸GLCD.作吩，3于點(diǎn)P,由角

平分線的性質(zhì)可得所=EG,證得△?￡尸名△CEG,即可求證；(4)因?yàn)锳AETWANE尸和

/\DEP=/\DEG,有S^AEF+S&DEG二,S四邊形M7GO，根據(jù)LBEF會(huì)ACEG,得到S“BE+5口口=；S四邊形即

可.

【詳解】證明：(1)vZC=90°,

???ECLCD.

又?：EF_LAD,DE平分NADC,

：.EF=EC.

???￡為的中點(diǎn)，

??.EB=EC,

EF=EB.

???NABC=9。。,

??.EB_LAB.

又:EF，AD,

???/石是N7X45的平分線；

(2)AE平分NDAB,

???/BAE=ZFAE.

在小ABE和AAFE中，

ZABE=ZAFE=90°

</BAE=ZFAE,

EB=EF

,△ABE咨AAFEIAAS),

**.AB=AF>

.??點(diǎn)/,￡都在線段8尸的垂直平分線上，

.??/E垂直平分線段8尸；

(3)￡為線段8C的中點(diǎn)；

理由：過(guò)點(diǎn)E作4B的垂線，交4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)G,如圖，

VAB//CD,

：.FG上CD.

作成于點(diǎn)尸，由角平分線的性質(zhì)可得￡F=￡P(guān)=EG.

在所與^CEG中，

ZEFB=ZEGC=90°

<EF=EG,

ZBEF=ZCEG

.“BEFRCEG(ASA),

??.BE=CE,

.?石為線段3C的中點(diǎn)；

(4)在△/￡1尸和△/￡尸中，

ZEAP=ZEAF

<ZAPE=ZAFE,

EP=EF

.,.△AEP%AEF(A4S),

則S“EP=^AEF

同理可證4DEP2ADEG,則$&DEP=SDEG

**,S4AEF+S^DEG=5S四邊形4/7GZ).

又???￡\BEF四叢CEG,

?'?S&BEF=S&CEG

A=

84ABE+S^DCE3S四邊形4BCD=8,

?*,^ACDE=8—2=6.

易錯(cuò)題型二求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)

例題：（23-24八年級(jí)上?安徽?單元測(cè)試）設(shè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5,另一邊長(zhǎng)為10,則其周長(zhǎng)為（）

A.15B.20C.25D.20或25

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義

【分析】本題主要考查等腰三角形的定義以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等邊三角形的定義是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)等腰三角形的定義得到三邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷是否成立即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得：當(dāng)5為腰長(zhǎng)時(shí)，

三角形的三邊長(zhǎng)為5,5,10,

,.-5+5=10,不能構(gòu)成三角形，故舍去，

當(dāng)10為腰長(zhǎng)時(shí)，

三角形的三邊長(zhǎng)為5,10,10,符合三角形的三邊關(guān)系，

故周長(zhǎng)為：5+10+10=25,

故選C

鞏固訓(xùn)練

,2x-y=6

1.（23-24七年級(jí)下?山東泰安?期末）若方程組/的解恰為等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，則等腰三角形的

[x+3.y=10

周長(zhǎng)為（）

A.8B.10C.8或10D6或12

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、加減消元法

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，利用分類(lèi)討論的思

想求解是解題的關(guān)鍵.

先求方程組的解，再分腰長(zhǎng)為2,底邊長(zhǎng)為4時(shí)，腰長(zhǎng)為4,底邊長(zhǎng)為2時(shí)，兩種情況結(jié)合構(gòu)成三角形的條

件進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：■:\2x-/y=皿6

[x+3y=10

fx=4

"1^=2'

當(dāng)腰長(zhǎng)為2,底邊長(zhǎng)為4時(shí)，則三角形三邊為2,2,4,不能組成三角形，不符合題意；

當(dāng)腰長(zhǎng)為4,底邊長(zhǎng)為2時(shí)，則三角形三邊為4,4,2,能組成三角形，符合題意，

???三角形的周長(zhǎng)為4+4+2=10,

故選8.

2.(23-24七年級(jí)下?陜西渭南?期末)等腰三角形的一邊長(zhǎng)是10cm,另一邊長(zhǎng)是4cm,則它的周長(zhǎng)是cm.

【答案】24

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

分①腰長(zhǎng)為10cm和②腰長(zhǎng)4cm為兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系即可得.

【詳解】解：①當(dāng)腰長(zhǎng)為10cm時(shí)，

則這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4cm,10cm,10cm,

因?yàn)?0-4<10<10+4,

所以滿足三角形的三邊關(guān)系，

所以此時(shí)它的周長(zhǎng)為4+10+10=24(cm)；

②當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm時(shí)，

則這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4cm,4cm,10cm,

因?yàn)?+4<10,

所以不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形；

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為24(cm),

故答案為：24.

3.(23-24八年級(jí)下?江西九江?期中)已知一等腰三角形的兩邊x,v滿足|》-4|+77/=0,則該等腰三角

形的周長(zhǎng)為.

【答案】20

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、絕對(duì)值非負(fù)性

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0,則每一個(gè)

算式都等于0求出x、y的值是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.

先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出無(wú)、了的值，再分4是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，x-4=0,y-8=0,

解得x=4/=8,

4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、8,

■.-4+4=8,

???不能組成三角形；

4是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為4、8、8,能組成三角形，

周長(zhǎng)=4+8+8=20.

所以，三角形的周長(zhǎng)為20.

故答案為：20.

4.(22-23八年級(jí)上?河南商丘?期中)一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是12cm,且底邊、腰長(zhǎng)相差3cm,求這個(gè)三角

形的各邊長(zhǎng).

【答案】2cm,5cm,5cm

【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)腰長(zhǎng)為xcm,則底邊長(zhǎng)(12-2x)cm,

根據(jù)“底邊、腰長(zhǎng)相差3cm”，列出方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)腰長(zhǎng)為xcm,則底邊長(zhǎng)(12-2x)cm,

根據(jù)題意得：x-(12-2x)=3或12-21=3,

解得：x=5或x=3,

當(dāng)x=5時(shí)，這個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)分別為5cm,5cm,2cm；

當(dāng)x=3時(shí)，這個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)分別為3cm,3cm,6cm,此時(shí)3+3=6,不能夠成三角形，舍去；

綜上所述，這個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)分別為5cm,5cm,2cm.

m?cFx-y-3

—x+2ny=2

5.(23-24七年級(jí)下?山東荷澤?期末)若關(guān)于x,y的兩個(gè)方程組2-與“，有相同的解.

,-x+my=-3

[x+y=l[2

(1)求這個(gè)相同的解；

(2)若小,〃是一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng).

fx=2

【答案】(1)I

⑵9

【知識(shí)點(diǎn)】加減消元法、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值.

(1)聯(lián)立兩方程組中不含加，"的方程組成方程組，求出方程組的解即可;

(2)把x與了的值代入含加，〃的方程求出加，"的值，即可求出周長(zhǎng).

x+y=l

【詳解】(1)解：聯(lián)立得:

x-y=3"

x=2

解得:

J=T

x=2m-2n=2

(2)把I代入得:

y=-in-m=-3

加二4

解得:

n=l

若根為腰，”為底，則三角形三邊長(zhǎng)為4,4,1,周長(zhǎng)為9,

若優(yōu)為底，力為腰，則三角形三邊長(zhǎng)為1,1,4,由于1+1<4,故不能構(gòu)成三角形,

綜上，等腰三角形的周長(zhǎng)為9.

6.⑵-23七年級(jí)下仞川眉山?期末)已知關(guān)于…的方程組o!x—+2y=14與《x-y二=213的解相同.

⑴求.、6的值；

(2)如果a、6是等腰三角形的兩邊，求該等腰三角形的周長(zhǎng).

【答案】(l)a=4,b=10

(2)24

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、構(gòu)成三角形的條件、同解方程組

fax+2y-14[x—y—2[x—y-2

【分析】(1)由題意/與:□的解相同，可得方程組解出X和丹即可求出

[x+y=4[x+勿=13[%+>=4

a,b的值；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及構(gòu)成三角形的條件即可求解.

[?x+2y=14[x-y=2

【詳解】(1)解：?.?關(guān)于x,V的方程組/與；口的解相同，

[x+y=4[x+勿=13

x-y-2ax+2y=14x-y=2

???方程組的解相同,

x+y=4x+y=4x+by=13

x-y=2x=3

解方程組得:

x+y=4J=1

\x=3

將〈代入辦+2y=14,得：3。+2=14,

b=i

解得：a=4.

「x=3

將彳，代入x+力=13,得：3+6=13,

［尸1

解得：6=1。.

a=4,6=10.

（2）當(dāng)a、6分別是等腰三角形的底和腰時(shí)，a=4,b=10,

此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為：a+2b=24,

當(dāng)a、b分別是等腰三角形的腰和底時(shí)，a=4,b=W,

2a=8<10=Z>,

此時(shí)無(wú)法構(gòu)成三角形，此種情況舍去，

即等腰三角形的周長(zhǎng)為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解、解二元一次方程組、等腰三角形的性質(zhì)以及構(gòu)成三角形的條件等

知識(shí)，掌握二元一次方程組解相同的含義構(gòu)成新的二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)題型三當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)

例題：（23-24八年級(jí)上?江蘇常州?期中）已知一個(gè)等腰三角的兩個(gè)角度數(shù)分別是（2尤-2）。，（3x-5）。，則這

個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為.

【答案】172?；?6?；?6。

【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】（2》-2）。和（3%-5）。有可能是兩個(gè)底角，即2x-2=3x-5,也有可能是一個(gè)底角，一個(gè)頂角.因此

分三種情況討論，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程求解即可.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】①當(dāng)（2》-2）。和（3x-5）。是兩個(gè)底角時(shí)，

2x—2—3x—5,

解得x=3,

則底角為（2x-2）。=4。，

頂角為：180。-2*4。=172。；

②當(dāng)（2x-2）。是頂角，（3x-5）。是底角時(shí)，

2x-2+2（3x-5）=180,

解得x=24,

貝l|（2x-2）o=46。，

???頂角為46。；

③當(dāng)（3x-5）。是頂角，（2尤-2）。是底角時(shí)，

（3x-5）+2（2x-2）=180,

解得x=27,

則（3%-5）。=76。，

???頂角為76。.

綜上，這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為172?；?6?；?6。，

故答案為：172?；?6?；?6°

鞏固訓(xùn)練

1.等腰三角形有一內(nèi)角為80。，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為.

【答案】50。或80。

【分析】由于不明確80。的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分80。的角是頂角和底角兩種情況討論.

【詳解】分兩種情況：

①當(dāng)80。的角為等腰三角形的頂角時(shí)，

底角的度數(shù)=（180。-80。）+2=50。；

②當(dāng)80。的角為等腰三角形的底角時(shí)，其底角為80。，

故它的底角度數(shù)是50°或80。.

故答案為:50°或80。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解答此題時(shí)要注意80。的角是頂角和底角兩

種情況，不要漏解，分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

2.等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少20。，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】設(shè)另一個(gè)角是x,表示出一個(gè)角是2x-20。，然后分①x是頂角，2x-20。是底角，②x是底角，

2x-20。是頂角，③x與2x-20。都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。與等腰三角形兩底角相等列出方程

求解即可.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是》,表示出一個(gè)角是2x-20。，

①x是頂角，2x-20。是底角時(shí)，x+2（2x-20°）=180°,

解得x=44。,

所以，頂角是44。；

②x是底角，2x-20。是頂角時(shí)，2苫+（2>20。）=180。，

解得x=50。，

所以，頂角是2x50°-20°=80°；

③x與2x-20°都是底角時(shí)，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，頂角是180°-20°x2=140°；

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是44。或80。或140。.

故答案為：44?；?0。或140°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是

這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò).

易錯(cuò)題型四求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)

例題：（2024八年級(jí)上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，ZAOB=60°,0c平分/NO2,如果射線。/上的點(diǎn)E滿足

△OCE是等腰三角形，ZAEC的度數(shù)為.

【答案】60?；?05?；?50。

【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，用了分類(lèi)討論思想.求

出N/OC,根據(jù)等腰得出三種情況，OE=CE,OC=OE,OC=CE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角

和定理求出即可.

【詳解】解：如圖,

AAOB=60°,OC平分

.-.ZAOC=30°,

①當(dāng)E在4時(shí)，OE=CE,

???NAOC=ZOCE=30°,

NOEC=180°-30°-30°=120°,

NAEC=180。-ZOEC=60°；

②當(dāng)E在點(diǎn)時(shí)，OC=OE,

則ZOEC=NOCE=1(180°-30°)=75°

ZAEC=180°-ZOEC=105°；

③當(dāng)E在4時(shí)，OC=CE,

則NOEC=ZAOC=30°

ZAEC=180°-ZOEC=150°；

故答案為：60?；?05?；?50。.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4L0)、8(0,1),在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)

P，使A/BP為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)尸有個(gè).

y八

0\AX

【答案】7

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、坐標(biāo)與圖形

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì).根據(jù)等腰三角形兩腰相等，分別以A、8為圓

心以N8的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也可以滿

足AABP是等腰二角形.

【詳解】解：如圖，使得A/3尸是等腰三角形，這樣的點(diǎn)尸可以找到7個(gè).

故答案為：7.

2.（23-24八年級(jí)上?重慶渝北?期中）如圖，在△ABC中，zB=9Q°,AB=16cm,SC=12cm,AC=20cm

點(diǎn)。是△4BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0從點(diǎn)2開(kāi)始沿87C-?4方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)

間為［秒.當(dāng)點(diǎn)。在邊。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)秒后，△BC。是以C0為腰的等腰三角形.

【答案】22或24

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義

【分析】題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：當(dāng)C0=C5時(shí)；當(dāng)0C="時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算即

可解答.

【詳解】解：分兩種情況:

當(dāng)CQ=C8時(shí)，如圖:

■.■CB=CQ=ncm,

當(dāng)時(shí)，如圖:

NC=NCBQ,

/ABC=90°,

.?./C+/4=90。，NCBQ+/QBA=90。,

NQBA=ZA,

?.BQ=QA,

CQ=QA=^AC=10（cm）,

…丁=22（秒）；

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)。在邊C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)22或24秒后，ABC。是以C。為腰的等腰三角形，

故答案為：22或24.

3.（23-24八年級(jí)上?重慶銅梁?階段練習(xí)）如圖，ZBOC=60°,/是2。的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CU=10cm,動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿以3cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以2cm/s的速度移動(dòng)，若點(diǎn)尸、Q

同時(shí)出發(fā)，當(dāng)△。尸0是等腰三角形時(shí)，移動(dòng)的時(shí)間是s.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、行程問(wèn)題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】分點(diǎn)P在。點(diǎn)左邊及右邊兩類(lèi)討論，根據(jù)等腰列式求解即可得到答案;

【詳解】解:①當(dāng)點(diǎn)尸在。點(diǎn)左邊時(shí)，設(shè)時(shí)間為

ZBOC=60°,

.?./尸。。=180°-60°=120°,

???△OP。是等腰三角形，

PO=QO,

.?■10—3/=2t,解得t=2,

當(dāng)點(diǎn)尸在。點(diǎn)右邊時(shí)，設(shè)時(shí)間為3

■.-ZBOC=60°,△。尸。是等腰三角形，

PO=QO=PQ,

.?.310=2/,解得：f=10

故答案為：2s或10s；

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)圍城等腰三角形問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是注意分類(lèi)討論列等式求解.

4.（2023八年級(jí)上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線。，b交于點(diǎn)O,/a=40。，點(diǎn)A是直線。上的一個(gè)定點(diǎn),

點(diǎn)3在直線b上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線。的上方，若以點(diǎn)。，A,B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則

/OAB=_。.

【答案】40或70或100

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意，分三種情況討論，①當(dāng)。4=盟時(shí)，②當(dāng)。/=/當(dāng)時(shí)，③當(dāng)。4=。自時(shí)，根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，要使AQ"為等腰三角形需分三種情況討論:

①當(dāng)=AB1時(shí)，AOAB=/I=40°；

②當(dāng)。/=/與時(shí)，/0/5=180°-2x40°=100°；

③當(dāng)O/=OB3時(shí)，ZOAB=AOBA=|x(180°-40°)=70°；

綜上，NO48的度數(shù)是40?；?0。或100。.

故答案為：40或70或100.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

5.在RtA/5C中，ZC=90°,有一個(gè)銳角為60。，48=6,若點(diǎn)尸在直線48上(不與點(diǎn)A,B重合)，且

NPCB=30°,則4P的長(zhǎng)為.

【答案】1或9或3

【分析】分乙48c=60、乙43c=30。兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)乙43。=60。時(shí)，貝！kA4c=30。，

BC=—AB=3,

2

???AC=ylAB2-BC2=373，

當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，如圖,

VZPCB=30°,

.ZBPC=9O。,BPPCLAB,

???AP=AC-cosZBAC=3y/3x—=~；

22

當(dāng)點(diǎn)尸在45的延長(zhǎng)線上時(shí)，

vZPC5=30°,2PBC=2PCB+乙CPB,

?,?4CPB=3。。,

:.乙CPB=^PCB,

；,PB=BC=3,

：.AP=AB+PB=9；

當(dāng)乙45C=30。時(shí)，貝此氏4060。，如圖,

vZPC5=30°,

山尸。=60。，

“C尸=60。，

山PC=dAC=，4CP,

???A4PC為等邊三角形，

：.PA=AC=3.

9

綜上所述，4尸的長(zhǎng)為:或9或3.

9

故答案為：:或9或3

【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質(zhì)等，分類(lèi)求解是本題解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)題型五等腰三角形中與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)

例題：（22-23八年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為16。，則頂角的度數(shù)為一.

【答案】74?；?06°

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、三角形的外角的定義及性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g

角或銳角兩種情況分析即可，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及理解分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】①當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殇J角時(shí)，過(guò)8作3D_L4c于點(diǎn)。，如圖所示，

ABDA=90°,

：.乙4=74°；

②當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殁g角時(shí)，過(guò)8作交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，如圖所示,

ABDA=90°,

■：AABD=\60,

ABAC=ZBDA+ZABD=90°+16°=106°,

故答案為：74?；?06°.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?河南商丘?階段練習(xí)）在某等腰三角形中，一條腰上的中垂線與另一條腰所在直線的夾

角為40。，則該等腰三角形頂角的度數(shù)為.

【答案】50?；?30。

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三角形的外角的定義

及性質(zhì)

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等，理解圖形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論求解即可.

【詳解】解：①如圖1所示，當(dāng)頂角為銳角時(shí)，

由題意，NADE=90°,ZAED=40°,

N4=180°-90°-40°=50°；

②如圖2所示，當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，

由題意，N4DE=90°,NAED=40°,

ABAC=NAED+ZADE=90°+40°=130°；

故答案為：50?；?30。.

圖1圖2

2.（23-24八年級(jí)下?四川成都?階段練習(xí)）在U5c中，AB=AC,42的垂直平分線與/C所在的直線相交

所得的銳角為52。，則頂角//的大小為.

【答案】38。或142。

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

【分析】本題考查線段垂直平分線的定義、直角三角形的兩銳角互余，分為銳角和//為鈍角兩種情況,

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用直角三角形的兩銳角互余分別求解即可.

【詳解】解：若/N為銳角，的垂直平分線交48于交/C于N,如圖，

則N㈤W=52。，ZAMN=90°,

ZA=90°-ZANM=90°-52°=38°；

若//為鈍角，48的垂直平分線交48于交/C延長(zhǎng)線于N,如圖,

N

A

羋j

B\C

則N/2W=52。，ZAMN=9QP,

：.2MAN=90°-ZANM=90°-52°=38°,

ABAC=180°-AMAN=180°-38°=142°,

綜上，頂角-4的大小為38?；?42。.

故答案為：38。或142。.

3.（23-24八年級(jí)上?湖北武漢?期中）若等腰三角形的兩條高所在直線形成的角中有一個(gè)為45。，則其頂角的

度數(shù)為.

【答案】45。或90°或135。

【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的有關(guān)概念，三角形的內(nèi)角和定理，分三種情況討論即可,

熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】分情況討論：

①如圖，AB=AC,NBFE=45°,

???CE1AB,BD1AC,

：.ZBEC=ZADB=NBDC=90°,

ZABD=ZA=45°,即頂角為45。,

②如圖，AB=AC,ABAD=45°,

A

B

DC

???ADIBC,

:./ADB=/ADC=90°,

ABAD=NB=45°,

.?.ZS=ZC=45°,

ABAC=90°,即頂角為90。,

③如圖，

同①理可得NPBN=NBAM=45°,

ABAC=135°,即頂角為135°,

綜上可知：頂角度數(shù)為45?；?0?；?35。.

易錯(cuò)題型六等腰三角形中與新定義型問(wèn)題結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)

例題：（23-24七年級(jí)下?上海普陀?期末）如果等腰三角形的周長(zhǎng)等于16厘米，一條邊長(zhǎng)等于6厘米，那么

這個(gè)等腰三角形的底邊與其一腰的長(zhǎng)度的比值等于.

【答案】:或5

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩

種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

依題意，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，已知一條邊長(zhǎng)為6厘米，不明確具體名稱，故可分情況討論腰長(zhǎng)的值，

還要依據(jù)三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)腰為6厘米時(shí)，三邊為6,6,4,能構(gòu)成三角形；

當(dāng)?shù)诪?厘米時(shí)，腰為5,5,能構(gòu)成三角形，

所以這個(gè)等腰三角形的底邊與其一腰的長(zhǎng)度的比值等于24=92或6

635

小田0工2-6

故答案為：§或

鞏固訓(xùn)練

1.定義：在一個(gè)等腰三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角

形”.“倍角等腰三角形”的頂角度數(shù)是（）

A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°

【答案】D

【分析】設(shè)等腰三角形的頂角為x。，則底角為:（180。-苫。）=90。-；》。，分兩種情況：當(dāng)頂角為底角的2倍

時(shí)，當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時(shí)，分別列出方程求出x的值即可.

【詳解】解：設(shè)等腰三角形的頂角為尤°,則底角為，180。-》。）=90。-；/，

當(dāng)頂角為底角的2倍時(shí)，x=2（90，；x1

解得：x=90；

當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時(shí)，2x=90°-1x,

解得：x=36；

綜上分析可知，“倍角等腰三角形”的頂角度數(shù)是90?；?6。，故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類(lèi)討論.

2.（23-24九年級(jí)下?遼寧沈陽(yáng)?期中）經(jīng)過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成

兩