中考數(shù)學總復習提升專項突破：幾何最值問題之胡不歸模型、阿氏圓模型與梯子滑行模型（含答案及解析）

第四章三角形

重難點16幾何壓軸突破四幾何最值問題之

胡不歸模型、阿氏圓模型與梯子滑行模型

(3種類型7種題型詳解+專題訓練)

【題型匯總】

類型一胡不歸模型

【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學習，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子

略懂數(shù)學常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，雖然他求學的地方與家之間布滿了砂石，但他還是

義無反顧的踏上了歸途.當他趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老

人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當時先沿著驛道

走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應該沿著驛道走多遠再通

過砂石區(qū)域回家呢？雖然走的路多了，但總用時變少了，如果真有這種情況，那么在驛道和砂礫地帶之間的

拐點就尤為重要了，請問如何確定這個點呢?這就是流傳千百年的“胡不歸問題.

【模型詳解】

條件：已知A,B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB(k<l)的最小值.

BB

解題步驟：

1）作射線AM使sin/PAM=k（k<l）,且點M與點B位于直線m的兩側.

2）過點P作PC_LAM于點C,則PC=k?PA,此時k?PA+PB=PC+BP.

3）過點B作BDLAM于點D,該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的

解題大招：即當B,P,C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.

模型總結：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與k?PA相等的線段，將“HPA+PB”型

問題轉化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數(shù)得到k?PA

的等線段

注意：若k>l,則提取系數(shù)，轉化為小于1的形式解決即可.

【模型拓展】

對形如a?PA+b?PB（a〉b）的式子，可以先將式子變形為aP.A^-PB；,再求出,翩那上稽的最小值，此時

只需要構造工，一尸5.”=2,作垂線即可求出最小值.

a

題型01已有相關角直接作垂線

1.（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，。。是等邊三角形4BC的外接圓，其半徑為4.過點8作BE1AC于

點E,點尸為線段8E上一動點（點尸不與E重合），則CP+^BP的最小值為.

2.（21-22八年級下?浙江寧波?開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=R久-百分別交x軸、

y軸于A、B兩點,若C為x軸上的一動點，則22C+AC的最小值為.

y

3.（2020?陜西?模擬預測）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=8,且zABC=60。，M為對角線BD（不含8

點）上任意一點，則的最小值為.

4.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，乙48c=30。，AC=4,按下列步驟作

圖：①在4C和4B上分別截取力0、AE,使②分別以點D和點E為圓心，以大于|。石的長為半徑

作弧，兩弧在48AC內(nèi)交于點③作射線AM交BC于點?若點尸是線段4F上的一個動點，連接CP,則

CP+的最小值是.

5.（22-23九年級上?廣東茂名?期末）如圖，AB=AC,4（0,V15）,C（1,0）,力為射線4。上一點，一動

點尸從A出發(fā)，運動路徑為4-D-C,在上的速度為4個單位/秒，在CO上的速度為1個單位/秒，則

整個運動時間最少時，。的坐標為.

6.(2023?河北保定?一模)如圖，在矩形力BCD中，對角線AC,BD交于點O,AB=OB=3,點M在線段AC

上，且4M=2.點尸為線段OB上的一個動點.

(1)/.OBC=°；

(2)MP+^PB的最小值為.

7.(2022?廣西梧州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-梟-4分別與尤，y軸交于點A,B,

(1)求此拋物線的解析式；

⑵若點C的坐標是(0,6),將AAC。繞著點C逆時針旋轉90。得到AECF,點A的對應點是點E.

①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；

②若點尸是y軸上的任一點，求|BP+EP取最小值時，點尸的坐標.

8.(2024?山東淄博?一模)如圖，在邊長為6的菱形力BCD中，Z.BCD=60°,連接BD,點E,尸分別是邊4B,

BC上的動點，S.AE=BF,連接DE,DF,EF.

用②都川圖

(1)如圖①，當點E是邊力B的中點時，求NEDF的度數(shù)；

(2)如圖②，當點E是邊4B上任意一點時，NED尸的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明：若發(fā)生改變,

請說明理由；

（3）若點P是線段BD上的一個動點，連接PF,求PF+與DP的最小值.

9.（22-23九年級下?江蘇宿遷?階段練習）如圖，二次函數(shù)y=a久2+2ax-3a與x軸交于點A,B,對稱軸

為直線/,頂點C到x軸的距離為2次.點尸為直線/上一動點，另一點從C出發(fā)，先以每秒2個單位長度

的速度沿CP運動到點尸，再以每秒1個單位長度的速度沿P4運動到點A停止，則時間最短為秒.

題型02構造相關角再作垂線

10.（22-23九年級上?四川樂山?期末）如圖，在AABC中，ZBXC=90°,ZB=60°,AB=4,若D是8C邊上

的動點，貝眨AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

11.（2024?四川德陽.二模）如圖，已知拋物線？=￡1/+故+（:與工軸交于4（1,0）,C（一3,0）兩點，與y

軸交于點B（0,3）.若尸為y軸上一個動點，連接AP,則^BP+AP的最小值為（）

12.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖，在A4BC中，AB=AC=4,zCAB=30°,ADVBC,垂足為

產(chǎn)為線段AD上的一動點，連接尸8、PC.則B4+2PB的最小值為

A

13.（21-22九年級下?湖北武漢?階段練習）如圖，在AACE中，CA=CE,^CAE=30°,半徑為5的。。經(jīng)

過點C,CE是圓。的切線，且圓的直徑4B在線段4E上，設點D是線段4c上任意一點（不含端點），則。

的最小值為

14.（2020九年級?新疆?學業(yè)考試）如圖，在△ABC中，Z/1=90°,=60°,AB=4,若。是BC邊上的動點,

則24。+DC的最小值為.

15.（2021九年級?全國?專題練習）如圖，矩形ABCD中A8=3,BC=V3,E為線段A8上一動點，連接CE,

則/E+CE的最小值為

16.（2023?福建泉州?模擬預測）如圖，已知拋物線y=￡（久+2）（x—4）（k為常數(shù)，且k>0）與％軸從左至

8

右依次交于4B兩點，與y軸交于點C,經(jīng)過點8的直線y=-fx+b與拋物線的另一交點為D.

(2)在(1)條件下，設F為線段BD上一點(不含端點)，連接4F,一動點M從點4出發(fā)，沿線段4尸以每秒1

個單位的速度運動到F,再沿線段尸。以每秒2個單位的速度運動到。后停止.當點F的坐標是多少時，點M在

整個運動過程中用時最少？

17.(23-24九年級下?江蘇南通?階段練習)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a與x軸交于

A,B兩點，若AB=函數(shù)y=a/—2a比一3a的最小值為n,且m+n=。.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如果將該拋物線在久軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G.當函數(shù)為=

kx-l+2k的圖象與圖形G的公共點的個數(shù)大于2時，求k的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當k取最大值時，函數(shù)為=kx-l+2k的圖象與圖形G的對稱軸交于點P,若過P作平

行于久軸的直線交圖形G于點Q,過點。乍7軸的平行線交函數(shù)月=kx+1—2k的圖象于點R,。為線段RQ上

的一點，動點C從點R出發(fā)，沿RD-DP運動到點P停止，已知點C在RD上運動的速度為s單位長度每秒，

在DP上運動的速度為1單位長度每秒.求當點C運動的時間最短時，對應的點。的坐標.

18.(2024?四川成都?模擬預測)探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

【嘗試初探】

(1)如圖①，在四邊形4BCD中，若"IBC=4WC=90。，ABAD=5,ABAD=120°,求4C的長；

【深入探究】

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，若N4BC=N4DC=90。，NBCD=45。，AC=8V2,求BD的長；

【拓展延伸】

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，若N4BC+N力DC=180°,AADC=60°,AD=AB=2百，延長相

交于點E,DE1CE,P是線段4C上一動點，連接PD,求2DP+CP的最小值.

D

DD

B

圖①圖②

19.(2024?四川廣元.二模)如圖，在等腰三角形2BC中,CA=CB,C(3,0),點4(2即)、B(n,l)在反比例函

數(shù)y=(的圖象上.

圖1

⑴求反比例函數(shù)的解析式，并證明△ABC為直角三角形;

(2)在x軸上求作一點P,使PB+^PC的值最小，寫出點P的坐標并求出最小值.

類型二阿氏圓模型

使用場景己知兩個定點A,B,動點P在定圓上，求PA+kPB的最小值

第二步：由母子相似模型可得△PODs^BOP,第二步：由母子相似模型可得△PODs^BOP,則

則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;

第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的最第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的最小

小值.值

大招結論AD的長即為PA+kPB的最小值

【模型總結】

對于阿氏圓而言：當系數(shù)k<l的時候，一般情況下，考慮向內(nèi)構造.

當系數(shù)k>l的時候，一般情況下，考慮向外構造.

【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；

當軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.

題型01兩點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）

20.（2024?山東泰安?二模）如圖，在Rt△力BC中，^ACB=90°,CB=242,AC=9,以C為圓心，3為半

徑作OC,P為OC上一動點，連接4P、BP,則JP+BP的最小值為（）

21.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，矩形4BCD中AB=8,AD=6,點E是矩形4BCD內(nèi)部一個動點，且EB=4,

連接CE,則DE+三分之二CE的最小值為（）

A.8B.gC.fD.9

22.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，在矩形4BCD中，已知=3,BC=6,E為4D邊上一動點，ABE

沿BE翻折到AFBE的位置，點A與點/重合，連接DF,CF,貝UDF+犯產(chǎn)的最小值為（）

AC.4D.字

-12

23.（2020?廣西?中考真題）如圖，在RS4BC中，A8=AC=4,點E,尸分別是AB,AC的中點，點尸是扇

形AEF的座上任意一點，連接8尸，CP,貝吟BP+CP的最小值是.

24.（2022九年級上.浙江?專題練習）如圖所示的平面直角坐標系中，2（0,4）,B（4,0）,P是第一象限內(nèi)一動

點，OP=2,連接4P、BP,則的最小值是.

25.（2021九年級?全國?專題練習）如圖1,在RTAABC中，zACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,

點尸為圓上一動點，連接AP,BP,求：

?AP+^BP,

@2AP+BP,

③豺P+BP,

④力P+3BP的最小值.

26.（2023?山東煙臺?中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于4,8兩點，與y軸交于點&AB=4.拋

物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點力的直線y=kx-1交于點D,與x軸交于點E.

(1)求直線4。及拋物線的表達式；

(2)在拋物線上是否存在點M,使得AADM是以4D為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為OB上一個動點，請求出PC+1P4的最小值.

27.(2024?浙江?模擬預測)如圖，在RtA4BC中,27cB=90。,4c=6,BC=8,,D,E為BC,4c上的動點,

且DE=4,尸為DE的中點.

(1)若DEII4B,求CD的長.

(2)在線段DE的運動過程中，CD的長由2到2B，求這一變化過程中，點尸運動的路程.

(3)連結PA,PB,求P4+；PB的最小值.

28.(2021九年級?全國?專題練習)如圖，RtLABC,zACB=90°,AC=BC=2,以C為頂點的正方形CDEF

(C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列)可以繞點C自由轉動，且CD=e，連接ARBD

(1)求證：ABDUAAFC

(2)當正方形CDEF有頂點在線段A8上時，直接寫出爭4D的值;

（3）直接寫出正方形COEF旋轉過程中，2。十爭的最小值.

29.（2024廣東廣州?三模）已知，如圖1,24B為O。的割線，直線PC與O。有公共點C,且PC?=p&xPB.

W

（1）求證：①NPCA=乙PBC；

②直線PC是。。的切線；

（2）如圖2,作弦CD,使CD1AB,連接A。、BC,,若4。=2,BC=6,求。。的半徑；

（3）如圖3,若O。的半徑為魚，PO=V10,M0=2,Z.P0M=90°,O。上是否存在一點。，使得PQ+芋QM

有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由.

題型02兩點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）

30.（2020?江蘇常州.一模）如圖，在O。中，點A、點B在。。上，乙4OB=90。，。4=6,點C在。4上，

且。C=24C,點。是。B的中點，點M是劣弧A8上的動點，貝！JCM+2DM的最小值為

31.（20-21九年級上?江蘇宿遷?期末）問題提出：如圖①，在RtAABC中，z_C=90。，CB=4,C4=6,OC的

半徑為2,P為圓上一動點，連接2P、BP,求AP+^BP的最小值.

圖①圖①備用圖圖②

（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在C8上取一點。，使CD=1,

則冬=於=/又上PCD=LBCP,所以△PCDFBCP.所以署=冬=|.所以PD=|PS,所以4P+抑P=

4P+PD.請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+（8P的最小值為一

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求［2P+8P的最小值；

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形CO。中，NCOD=90。，0C=6,0A=3,0B=5,P是CD上一點，

求2P4+PB的最小值.

32.（2020?江蘇常州?一模）如圖，在O。中，點4點B在。。上，乙40B=90。，。4=6,點C在。4上，

且。C=24C,點。是。8的中點，點M是劣弧48上的動點，則CM+2DM的最小值為

33.（2024?浙江?模擬預測）已知扇形C。。中，ZCOD=90°,0C=6,。4=3,OB=5,點尸是弧CD上一

點，2P4+PB的最小值為—

34.（2022.廣西?一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，ABAC=60。，點。，E分別在半徑AB,

AC上，且8O=CE=2,點尸是弧BC上的動點，連接OHEF,則。尸十|EF的最小值為.

35.（2025九年級下?全國?專題練習）如圖，在A4BC中，乙4BC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以B為

圓心3為半徑的圓上，貝U2P+6PD的最小值為

題型04隱圓+阿氏圓

36.（2023?陜西咸陽?三模）如圖，在菱形4BCD中，對角線4C、8。相交于點。，點E、尸分別是。。、。。上

的兩個動點，且EF=4,尸是EF的中點，連接。P、PC.PD,若AC=12,BD=16,貝UPC+工PD的最小值

4

為.

37.（21-22九年級下?湖北武漢?階段練習）如圖，在邊長為6的正方形ABC。中，M為48上一點，且BM=2,

N為邊BC上一動點.連接MN,將4BMN沿MN翻折得到小PMN,點P與點B對應,連接P4PC,貝UP4+2PC

的最小值為.

38.如圖，在RtA48c中，乙4cB=90°,AC=6,BC=8,D、E分別是邊8C、AC上的兩個動點，且OE=4,

「是DE的中點，連接P4PB,則P4+通的最小值為一

B

39.(2021?廣西南寧?一模)如圖，在平面直角坐標系中，A(2,0)、B(O,2)、C(4,0)、D(3,2),PMAAOB

外部的第一象限內(nèi)一動點，且ABB4=135。，則2尸。+PC的最小值是.

40.(2023?江蘇宿遷?三模)如圖，在平面直角坐標系中，4(2,0)、B(0,2)、C(5,2)、。(4,4),點尸在第一象

限，且乙4PB=135°,則+4PC的最小值為.

類型三梯子滑行模型

模型的概述：如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當梯子底端滑動時，探究梯子上某點(如

【考查方向】已知一條線段的兩個端點在坐標軸上滑動，求線段最值問題。

模型一：如圖所示，線段AC的兩個端點在坐標軸上滑動，ZACB=ZAOC=90°,

AC的中點為P,連接OP、BP、OB,則當O、P、B三點共線時,此時線段OB

C

最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的長，就可求出梯子模型中0B的最值。

模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當點A在

邊OM上運動時，點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保

持不變，AB的中點為P,連接OP、PD、OD,則當O、P、D三點共線時,此時

線段OD取最大值。

即已知矩形ABCD中AB、AD的長，就可求出梯子模型中0D的最值。

41.（2020?山東泰安.中考真題）如圖，點42的坐標分別為4（2,0）,8（0,2）,點C為坐標平面內(nèi)一點，BC=1,

點M為線段4C的中點，連接0M,貝UOM的最大值為（）

A.V2+1B.V2+iC.2V2+1D.2V2-|

42.（2024.山東泰安.二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，。4=8,點8在x軸上，0B=6.點

〃是平面內(nèi)的一點，2M=6.將線段力M繞點A按順時針方向旋轉一周，連接取BM的中點N,連接ON,

C.2V10+3D.8

43.（2023?廣西南寧?一模）如圖，已知NMON=90。，線段4B長為6,48兩端分別在。M、ON上滑動，以2B

為邊作正方形力BCD,對角線力C、BD相交于點P,連接。C.貝I0C的最大值為（）

C.3+3V5D.9

44.（2024.江蘇揚州?三模）如圖，在平面直角坐標系中，4（0,4）,8為x軸正半軸上的動點，以4B為邊在第

一象限內(nèi)作△力BC使得NB4C=90。，S^ABC=8,連結。C,貝UOC長的最大值為.

45.（22-23九年級上?全國?期末）如圖，等邊△力BC的頂點A,8分別在x軸，y軸的正半軸上滑動，點C在

第一象限，連接。C,若等邊AZBC的邊長為2,則線段。C長的最大值是

46.（2022?安徽淮北?模擬預測）請解答下列各題:

⑴已知邊長為“的正方形4BCD,兩頂點A,8分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C、

點Z）在第一象限，點E為正方形A8CD的對稱中心，連接OE,貝UOE的長的最大值是

(2)已知機，w是方程/+2016%+7=0的兩根，貝1](62+2015m+6)(4+201771+8)=

第四章三角形

重難點16幾何壓軸突破四幾何最值問題之

胡不歸模型、阿氏圓模型與梯子滑行模型

(3種類型7種題型詳解+專題訓練)

【題型匯總】

類型一胡不歸模型

【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學習，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子

略懂數(shù)學常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，雖然他求學的地方與家之間布滿了砂石，但他還是

義無反顧的踏上了歸途.當他趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老

人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當時先沿著驛道

走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應該沿著驛道走多遠再通

過砂石區(qū)域回家呢？雖然走的路多了，但總用時變少了，如果真有這種情況，那么在驛道和砂礫地帶之間的

拐點就尤為重要了，請問如何確定這個點呢?這就是流傳千百年的“胡不歸問題.

【模型詳解】

條件：已知A,B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB(k<l)的最小值.

BB

解題步驟：

2）作射線AM使sin/PAM=k（k<l）,且點M與點B位于直線m的兩側.

2）過點P作PC_LAM于點C,則PC=k?PA,此時k?PA+PB=PC+BP.

3）過點B作BDLAM于點D,該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的

解題大招：即當B,P,C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.

模型總結：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與k?PA相等的線段，將“HPA+PB”型

問題轉化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數(shù)得到k?PA

的等線段

注意：若k>l,則提取系數(shù)，轉化為小于1的形式解決即可.

【模型拓展】

對形如a?PA+b?PB（a〉b）的式子，可以先將式子變形為aP.A^-PB；,再求出,翩那上稽的最小值，此時

只需要構造工，一尸5.”=2,作垂線即可求出最小值.

a

題型01已有相關角直接作垂線

1.（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，。。是等邊三角形4BC的外接圓，其半徑為4.過點8作BE1AC于

點E,點尸為線段8E上一動點（點尸不與E重合），則CP+^BP的最小值為.

【答案】6

【分析】過點尸作PD14B,連接C。并延長交4B于點R連接4。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形

的性質(zhì)得到。4=OB=4,CF14B,然后利用含30。角直角三角形的性質(zhì)得到。E==2,進而求出BE=

BO+EO=6,然后利用CP+(BP=CP+PD<CF代入求解即可.

【詳解】如圖所示，過點P作力B,連接C。并延長交4B于點凡連接4。

是等邊三角形，BEVAC

1

???乙4BE=乙CBE=-Z.ABC=30°

2

???O。是等邊三角形的外接圓，其半徑為4

-.OA=。8=4,CFJ.AB,

.-./.OBA=Z.OAB=30°

.^OAE=AOAB=-Z.BAC=30°

2

??,BE1AC

■.OE=-OA=2

2

；.BE=BO+EO=6

???PD1血Z.ABE=30°

■.PD-PB

2

:.CP+-BPCP+PD<CF

2

■■-CP+|BP的最小值為CF的長度

???△ABC是等邊三角形，BE1AC,CF1AB

：.CF=BE=6

??CP+^BP的最小值為6.

故答案為：6.

【點睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的

關鍵是熟練掌握以上知識點.

2.（21-22八年級下?浙江寧波?開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=舊分別交x軸、

y軸于A、8兩點，若C為彳軸上的一動點，則28C+AC的最小值為.

【答案】6

【分析】先求出點A，點3坐標，由勾股定理可求的長，作點2關于的對稱點次，可證A2B9是等

邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH=/C,貝眨BC+2C=2（夕C+CH）,即當點夕，點C,點X三點

共線時，B￡+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：,?,一?次函數(shù)丫=gx-百分別交x軸、y軸于A、8兩點，

.?.點A（3,0）,點B（0,-V3）,

.?4。=3,BO=V3,

■■.AB=yJOA2+OB2=心+（V3）2=2痔

作點8關于OA的對稱點夕，連接AB',B'C,過點。作（7m于如圖所示：

■■.OB=OB'=V3,

：.BB'=2V3,AB=AB'=2g

■■.AB=AB'=BB',

??.△ABB'是等邊三角形，

-AO1BB',

=-^BAB'=30°,

2

-CH1AB,

i

：.CH=-AC,

2

：.2BC+AC=2(BC+^AC^=2(B'C+CH),

???當點夕，點C,點X三點共線時，B，C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，

此時，B'HLAB,A4BB'是等邊三角形，

:.BH=AH=V3,乙BB'H=30°,

22

J(2V3)-(V3)=3,

.?.28C+AC的最小值為6.

故答案為：6.

【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確

定點C的位置是解題的關鍵.

3.(2020?陜西?模擬預測)如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=8,且zABC=60。，〃為對角線BQ(不含8

【答案】4V3

【分析】如圖，過點A作ATLBC于T,過點M作⑼于X,根據(jù)菱形的性質(zhì)和30。角的直角三角形的

性質(zhì)可得于是可得AM+扭M的最小值即為AT的長，再利用解直角三角形的知識求解即可.

【詳解】解：如圖，過點A作AT1BC于T,過點M作MH1BC于H.

???四邊形ABCQ是菱形，ZABC=60°,

1

.-.ADBC=-^ABC=30O,

2

■■.AM+-BM=AM+MH,

2

■■■AT1BC,."18=90°,

.?.AT=AB?sin60°=4V3,

■■■AM+MH>AT,

■.AM+MH>4V3,

.-.AM+^BM>4y/3,

的最小值為4V3,

故答案為：4V3.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、30。角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短以及解直角三角形等知識，屬于

?？碱}型，熟練掌握上述知識、明確解答的方法是解題關鍵.

4.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在RtzXABC中，AACB=90°,AABC=30°,AC=4,按下列步驟作

圖：①在4C和4B上分別截取40、AE,使②分別以點。和點E為圓心，以大于|。石的長為半徑

作弧，兩弧在48AC內(nèi)交于點③作射線AM交BC于點?若點尸是線段4F上的一個動點，連接CP,則

【分析】過點尸作PQ，力B于點Q,過點C作CH14B于點”，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出

^BAF=30°,然后利用含30。的直角三角的性質(zhì)得出PQ=14P,貝UCP+=CP+PQ2CH,當C、P、

。三點共線，且與4B垂直時，CP+（4P最小，CP+^AP最小值為CH,利用含30。的直角三角的性質(zhì)和勾股

定理求出AB,BC,最后利用等面積法求解即可.

【詳解】解：過點尸作PQ,4B于點Q,過點C作CH14B于點H,

A

由題意知：4尸平分2B4C,

-L.ACB=90°,Z.ABC=30°,

^Z.BAC=60°,

i

.'.^BAF=-Z.BAC=30°,

2

：.PQ=^AP,

.?.CP+^AP=CP+PQ>CH,

???當C、P、。三點共線，且與ZB垂直時，CP+:/尸最小，CP尸最小值為CH,

?：^ACB=90°,乙ABC=30°,AC=4,

'-AB—2AC—8,

：.BC=y]AB2-AC2=4V3,

?^BC=\AC-BC=\ABCH,

.-.CH="=山=/3,

AB82A

即CP+34P最小值為2次.

故答案為：2E

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意掌握利用等

積法求三角形的高或點的線的距離的方法.

5.（22-23九年級上?廣東茂名?期末）如圖，AB=AC,X（0,V15）,C（1,0）,。為射線A。上一點，一動

點尸從A出發(fā)，運動路徑為2-D-C,在AD上的速度為4個單位/秒，在8上的速度為1個單位/秒，則

整個運動時間最少時，D的坐標為.

【答案】（0,誓）

【分析】如圖，作。于HCAflAB于跖交AO于。.運動時間t="+皮=絲+CD,由AAHD-^AOB,

414

推出?？?工4￡）,可得工4D+CD=CD+DH,推出當C,D,H共線且和CM重合時，運動時間最短.

44

【詳解】如圖，作DH-L4B于H,CM1AB于M,交A。于

??,運動時間t=----1=FCD,

414

,''AB=AC,AO±BC,

??BO=OC=1,

?M(0,V15),C(1,0),AB=ACfAOIBC,

'.AB=AC=y/OA2+OB2=“5+1=4,

-^LDAH=/LBAO,乙DHA=AAOB=90°,

.,.AAHDAOB,

AD_DH

,?=,

ABOB

1

=-AD,

4

■--AD+CD=CD+DH,

4

.?.當C,D,H共線且和CM重合時，運動時間最短,

.：IBC.AO=IAB.CM,

CM

.-.=2

-9-AM=y/AC12—CM2=J42—=p

?：AD'=4MO',設=m,貝Ij/D'=4m,

則有：16m2—m2=—

4

空或一甯（舍去），

：.AD'=生空

15

皿唔，

故答案為（0,譽）.

【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的

思想思考問題.

6.（2023?河北保定?一模）如圖，在矩形力BCD中，對角線4C,BD交于點。，AB=0B=3,點M在線段AC

上，且力"=2.點尸為線段0B上的一個動點.

（1）/.OBC=°；

（2）MP+^PB的最小值為.

【答案】302

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到。4=0B=0C=0D,4ABC=90°,又由=0B得到△O4B是等邊三角

形，貝IJ乙48。=60°,即可得到答案；

（2）過點尸作PE1BC于點E,過點“作MFJ.BC于點尸，證明MP+=MP+PE2MF,進一求解MF

即可得到答案.

【詳解】解：⑴???四邊形力BCD是矩形，

：.0A=0B=0C=0D,4ABC=90°,

'-'AB=OB,

-'-AB=OB=OA,

OZB是等邊三角形，

??Z-ABO=60°,

：/OBC=(ABC-Z.ABO=90°-60°=30°,

故答案為：30.

(2)過點P作PE18C于點E,過點M作MF于點八

BEFC

在RtABPE中，

由（1）知：乙PBE=30°,

1

???PE=±PB,

2

.'.MP-^-PB=MP+PE>MF,

2

在矩形/BCD中，

AC=2OA=2OB=6,

-AM=2,

?.CM=AC-AM=6-2=4,

在中，Z.MCF=/.OBC=30°,

i

：.MF=-CM=2,

2

.?.MP+2PB的最小值為2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握

矩形的性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

7.（2022?廣西梧州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-gx-4分別與尤，y軸交于點A,B,

拋物線y=^X2+bx+c恰好經(jīng)過這兩點.

⑵若點C的坐標是(0,6),將4ACO繞著點C逆時針旋轉90。得到△ECF,點A的對應點是點E.

①寫出點￡的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；

②若點P是y軸上的任一點，求|8P+EP取最小值時，點尸的坐標.

【答案】(l)y=^-x2-|x-4

loZ

(2)①點E在拋物線上；②尸(0,-|)

【分析】(1)先求出A、8坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)①根據(jù)旋轉的性質(zhì)求出所=A0=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標，然后把E的坐標代入(1)的函

數(shù)解析式中，從而判斷出點E是否在拋物線上；

②過點E作交了軸于P,垂足為H,sinZTlBO=絲=更=三，則HP=三BP,得三BP+EP=HP+PE,

ABBP555

可知HP+PE的最小值為的長，從而解決問題.

【詳解】(1)解：當x=0時，y=-4,

當y=0時，—4=0,

???x=-3,

M(-3,0),B(0,-4),

把A、B代入拋物線y=三%2+匕％+c,

得牌(-3)2-3b+c=。，

Ic=-4

(b=--

.H2,

Ic=-4

.??拋物線解析式為y=2/一1_4.

182

(2)解：①rA(-3,0),C(0,6),

??.AO=3,CO=6,

由旋轉知：EF=AO=3,CF=C0=6,zFCO=90°

：.E到x軸的距離為6-3=3,

???點E的坐標為（6,3）,

當時，2

x=3zy=—18x6--2x6-4=3,

???點E在拋物線上；

垂足為H,

??.0A=3,08=4,

..A3=5,

AO_HP3

乙。

???sin48AB-BP

3

：,HP=”P,

.^BP+EP=HP+PE,

?.HP+PE的最小值為EH的長,

作EGD軸于G,

?.乙GEP=^ABO,

.,.tanzGEP=tanzABO,

PG_AO

,,二,

EGBO

.PG_3

,

64

??.PG=2,

2

Q7

??.OP=M-3=t

22

：.p(0,-

2

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩點之

間、線段最短等知識，利用三角函數(shù)將(BP轉化為HP的長是解題的關鍵.

8.(2024?山東淄博?一模)如圖，在邊長為6的菱形48CD中，4BCD=60°,連接BD,點E,尸分別是邊力B,

BC上的動點，S.AE=BF,連接DE,DF,EF.

(1)如圖①，當點E是邊力B的中點時，求NEDF的度數(shù)；

(2)如圖②，當點E是邊4B上任意一點時，NED尸的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明：若發(fā)生改變，

請說明理由；

(3)若點尸是線段上的一個動點，連接PF,求PF+^DP的最小值.

【答案】(1)60。

(2)不改變，見解析

(3)373

【分析】(1)由菱形4BCD可得4B=BC=CD=4D=6,ABAD=ABCD=60°,從而△ABD,△BCD是等

邊三角形，根據(jù)“三線合一”可得NEOB=30。，AE=^AB,進而證得點F是邊BC的中點，從而

Z.BDF=|zB￡)C=30°,根據(jù)NEDF=4EDB+48。尸即可解答；

(2)由(1)得到△48。，△BCD是等邊三角形，從而/.DAB=/.DBC=60°,進而證得△ADE三

△BDF(SAS),得至IJ/ZDE=4BDF,從而NEDF=乙ADB=60°；

(3)過點P作PG14D于點G,連接PF,過點P作FG'1AD于點G，，交BD于點P,貝UGP=DP-sin^ADB=

^-DP,因此PF+乎DP=PF+GP,當點RP,G三點共線，且時，PF+GP有最小值，最小值

為FG的長，過點。作于點H,PF+苧DP的最小值即為的長，在Rt△CD”中通過解直角三角形

即可解答.

【詳解】(1)?.?四邊形4BCD是菱形，邊長為6,

：.AB=BC=CD=AD=6,^BAD=4BCD=60°,

??.△ABD,△BCD是等邊三角形，

■■Z.ADB—60°,

■.?點E是邊2B的中點，

111

：/EDB=-Z.ADB=-x60°=30°,AE=-AB,

222

'-'AE=BF,

ii

'.BF=-AB=-BC

22

??.點/是邊BC的中點，

?ZBDF=乙乙BDC=ix60°=30°,

22

：^EDF=(EDB+乙BDF=30°+30°=60°；

(2)4EDF的度數(shù)不改變，證明如下：

由(1)得到△BCD是等邊三角形，

.??/0=BD,^LDAB=乙DBC=60°,

???/￡*=BF,

/.AADE三△BOF(SAS),

'-Z-ADE=Z-BDF,

?-Z-EDF=Z-BDE+乙BDF=Z-BDE+Z.ADE=乙ADB=60°；

(3)如圖，過點尸作PGJ.AO于點G,連接PF,過點尸作FG，于點G，，交BD于點口,

BFHC

■■■^ADB=60°,

.?.在Rt△DPG中，GP=DP-sm^ADB=DP-sin60°=^DP

■■.PF+—2DP=PF+GP

二當點F,P,G三點共線，且FG14D時，PF+GP有最小值，最小值為FG的長，過點。作1BC于點H,

,??四邊形4BCD是菱形，

：.DH=FG',

+當DP的最小值即為DH的長，

■：DH1BC,ABCD是等邊三角形,

：.DH=CD-sinC=CD-sin60°=3V3,

■-PF+fDP的最小值為3H.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，垂線段最短，解直

角三角形.正確作出輔助線，綜合運用相關知識，采用轉化思想是解題的關鍵.

9.（22-23九年級下?江蘇宿遷?階段練習）如圖，二次函數(shù)y=a/+2ax-3a與x軸交于點A,B,對稱軸

為直線/,頂點C到x軸的距離為2舊.點尸為直線/上一動點，另一點從C出發(fā)，先以每秒2個單位長度

的速度沿CP運動到點P,再以每秒1個單位長度的速度沿P4運動到點A停止，則時間最短為秒.

【答案】2V3

【分析】如圖，連接4C,BC,作AD1BC于點。，4。與EC交點即為符合題意的點P,可得力B=4C=BC,

利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得到動點運動的時間為殍+4P解題即可.

【詳解】如圖，連接作4D18C于點￡）,力。與EC交點即為符合題意的點尸，

令y=0,貝ija/+2ax-3a=0,

解得％=-3或%=1,

.?.A