高考文科數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)　

高考文科數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)一(考綱要求要求層次內(nèi)容4ABC數(shù)列的概念數(shù)列的概念和表示法?等差數(shù)列的概念?數(shù)列等比數(shù)列的概念?等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式?n等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式?n二(知識(shí)點(diǎn)(一)數(shù)列的該概念和表示法、(1)數(shù)列定義:按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列;數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)a記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，??，na序號(hào)為的項(xiàng)叫第項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作;nnnaaaa數(shù)列的一般形式:，，，??，，??，簡(jiǎn)記作。a,,3n12n{a}(2)通項(xiàng)公式的定義:如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那n么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式aa說(shuō)明:?表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，=表示數(shù)列的通項(xiàng)公式;nafn,,，，nnn?同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。?不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，??(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示:序號(hào):123456項(xiàng):456789上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集N的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的，函數(shù)fn()當(dāng)自變量從1開(kāi)始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值nafff(1),(2),(3),fn()??，，??(通常用來(lái)代替，其圖象是一群孤立fn，，n的點(diǎn)(4)數(shù)列分類:?按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分:有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列;?按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分:單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列a(5)遞推公式定義:如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)a,,nna(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的n,1遞推公式(二)等差數(shù)列a,a,d(為常數(shù))();1.等差數(shù)列的定義:dn,2nn,12(等差數(shù)列通項(xiàng)公式:*aa，首項(xiàng):，公差:d，末項(xiàng):aanddnadnN,，,,，,,(1)()1nn11a,anma,a，(n,m)d推廣:(從而d,;nmn,m3(等差中項(xiàng)a，bAA(1)如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)(即:或aaA,bb2A,a，b2,,a,2a,a，a(n,2),2a,a，a(2)等差中項(xiàng):數(shù)列是等差數(shù)列nnn-1n，1n，1nn，24(等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:naa()，nn(1),d1221n,，AnBn,，nadS,,，,nadn()1n12222(其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d?0時(shí)，S是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0)na特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)21n，n，121naa，，，，，，121n，Sna,,，21(項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)，，211nn，，2乘以中間項(xiàng))5(等差數(shù)列的判定方法,,,a,a,da,a,da(1)定義法:若或(常數(shù)),是等差數(shù)列(n,Nnn,1n，1nn,,a,2a,a，a(n,2),2a,a，a(2)等差中項(xiàng):數(shù)列是等差數(shù)列(nnn-1n，1n，1nn，2,,aa,kn，b(3)數(shù)列是等差數(shù)列,(其中是常數(shù))。k,bnn2,,a,(4)數(shù)列是等差數(shù)列,(其中A、B是常數(shù))。SAnBn,，nn6(等差數(shù)列的證明方法,,,a,a,da,a,da,定義法:若或(常數(shù))是等差數(shù)列(n,Nnn,1n，1nn7.等差數(shù)列的性質(zhì):(1)當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函naanddnad,，,,，,(1)d,0n11nndd(1),2數(shù)，且斜率為公差;前n和是關(guān)于n的二次dSnadnan,，,，,()n11222函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.(2)若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，d,0d,0d,0則為常數(shù)列。(3)當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有mnp，,2a，a,a，amnpq，,，mnpq.aaa，,2mnp(4)若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列ab,,,abab，，，,,,,,,,,nnnnn12aSSSSS,,,,(5)若{}是等差數(shù)列，則，?也成等差數(shù)列nnnnnn232*{}aaaaa,,,,,,,(6)數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等差數(shù),Nnmmkmkmk，，，23列,,SaS)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是(7Snn奇偶前n項(xiàng)的和1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，2nnaa，，，121n,Saaaana,，，，,,,，,,13521nn,奇2naa，，，22nSaaaana,，，，,,,，,,，24621nn偶2SSnananaand,,,,,=，，nnnn，，11偶奇Snaa奇nn,,Snaann，，11偶2、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則2n，1,SSSnaSna(21)(1),，,，,，,Sn，1,,21n，n+1n+1奇偶奇奇,,,,,SSaSna,,,Snn+1n+1奇偶偶,偶,,,a(其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng))(n+1{}aSn,Sm,(8)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前m項(xiàng)和，則前m+n項(xiàng)和Smn,,，，，nmnmn，S(9)求的最值n法一:因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要*注意數(shù)列的特殊性。nN,法二:(1)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和na,0,nSa,0，d,0，即當(dāng)由可得達(dá)到最大值時(shí)的值(n,n1a,0n，1,(2)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。na,0,nSa,0，d,0，即當(dāng)由可得達(dá)到最小值時(shí)的n值(,n1a,0n，1,,,a或求中正負(fù)分界項(xiàng)n法三:直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性:由于等差數(shù)列前項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，nS故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，取最大值(或最小值)。若S=S則其對(duì)稱軸pqnpq，為n,2(三)等比數(shù)列a*nq1.等比數(shù)列的定義:,,,,02,且，稱為公比qqnnN，，，，a,n12.通項(xiàng)公式:annn,11,,,,,,,,0,0aqaaqqABaqAB，首項(xiàng):;公比:，，1n11qaanm,nm,nn,nm推廣:，從而得q,或,qaaq,nmaamm3.等比中項(xiàng)2AAab,,(1)如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)(即:或aAb,,aAab,b注意:同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù))2,,a(2)數(shù)列,是等比數(shù)列aaa,,n,，nnn11S4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:nSna,(1)當(dāng)時(shí)，q,1n1naq1,，，aaq,11n(2)當(dāng)時(shí)，q,1S,,n11,,qq5.等比數(shù)列的判定方法an，1{}a,,,或?yàn)槌?shù)，(0),(1)用定義:對(duì)任意的n,都有aqaqqa為等比數(shù)nnnn，1an列2aa{}a,,(2)等比中項(xiàng):(0)為等比數(shù)列aaa,nn，,11n，,nnn11n{}a,(3)通項(xiàng)公式:為等比數(shù)列aABAB,,,,0，，nnnn{}a,(4)前n項(xiàng)和公式:為SAABSABAABAB,,,,,或?yàn)槌?shù)'',,','，，nnn等比數(shù)列6.等比數(shù)列的證明方法a*n{}aaqa,,,,,02,且,qqnnN依據(jù)定義:若或?yàn)榈缺葦?shù)列，，，，nnn，1a,n17.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)當(dāng)時(shí)q,1annn,11,,,,,,0aaqqABAB?等比數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的帶有系數(shù)的類指數(shù)，，n1qq函數(shù)，底數(shù)為公比nnaq1,，，aaqaa,1nnn1111?前n項(xiàng)和，系數(shù)和SqAABABA,,,,,,,,''n1111,,,,qqqqq常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比*nm,,{}a(2)對(duì)任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當(dāng)m=1時(shí),便得到Naaq,nnm等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。*aaaa,,,(3)若m+n=s+t(m,n,s,t),則.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得,Nnmst2aaa,,nmkaaaaaa,,,,,,,注:12132nnn,,akkn{}a{}b{}ka,{}kab,,{}{}(4)列,為等比數(shù)列,則數(shù)列,,,(k為非零{}annnnnnbann常數(shù))均為等比數(shù)列.*{}aaaaa,,,,,,,(5)數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k,)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為Nnmmkmkmk，，，23等比數(shù)列{}a{log}a(6)如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列nan{}aSSS,SS,,,,,(7)若為等比數(shù)列,則數(shù)列，，，成等比數(shù)列nn2nn32nn{}aaaa,,,,,,aaa,,,,,,(8)若為等比數(shù)列,則數(shù)列,,n12nnnn，，122aaa,,,,,,,成等比數(shù)列21223nnn，，(9)?當(dāng)q,