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文檔簡介
空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖:正視圖:從前往后側(cè)視圖:從左往右俯視圖:從上往下2畫三視圖的原則:長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖:斜二測畫法4斜二測畫法的步驟:(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸;(2).平行于y軸的線長度變半,平行于x,z軸的線長度不變;(3).畫法要寫好。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟:(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖1.3空間幾何體的表面積與體積(一)空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積:各個面面積之和2圓柱的表面積3圓錐的表面積4圓臺的表面積5球的表面積(二)空間幾何體的體積1柱體的體積2錐體的體積3臺體的體積4球體的體積DCDCBAα2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.11平面含義:平面是無限延展的2平面的畫法及表示(1)平面的畫法:水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,銳角畫成450,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)(2)平面通常用希臘字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點(diǎn)或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫字母來表示,如平面AC、平面ABCD等。3三個公理:(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為LA·LA·αB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用:判斷直線是否在平面內(nèi)C·C·B·A·α符號表示為:A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個平面α,使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用:確定一個平面的依據(jù)。(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。P·P·αLβ公理3作用:判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:共面直線相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點(diǎn);共面直線平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線:不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為:設(shè)a、b、c是三條直線=>a∥ca∥b=>a∥cc∥b強(qiáng)調(diào):公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn):①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定,與O的選擇無關(guān),為簡便,點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上;②兩條異面直線所成的角θ∈(0,);③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時,我們就說這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b;④兩條直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形;⑤計(jì)算中,通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系:(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點(diǎn)(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點(diǎn)(3)直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外,可用aα來表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。簡記為:線線平行,則線面平行。符號表示:aαbβ=>a∥αA∥b2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理:一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行。符號表示:AβBβa∩b=Pβ∥αA∥αB∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種:(1)用定義;(2)判定定理;(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理:一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為:線面平行則線線平行。符號表示:a∥αaβa∥bα∩β=b作用:利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理:如果兩個平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行。符號表示:α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用:可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線L與平面α互相垂直,記作L⊥α,直線L叫做平面α的垂線,平面α叫做直線L的垂面。如圖,直線與平面垂直時,它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。Lpα2、判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念:表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法:二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個平面互相垂直的判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。概率3.1.1—3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義1、基本概念:(1)必然事件:在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫相對于條件S的必然事件;(2)不可能事件:在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫相對于條件S的不可能事件;(3)確定事件:必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件;(4)隨機(jī)事件:在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫相對于條件S的隨機(jī)事件;(5)頻數(shù)與頻率:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的概率:對于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上,把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率。(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系:隨機(jī)事件的頻率,指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值,它具有一定的穩(wěn)定性,總在某個常數(shù)附近擺動,且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多,這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率,概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念:(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若A∩B為不可能事件,即A∩B=ф,那么稱事件A與事件B互斥;(3)若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件;(4)當(dāng)事件A與B互斥時,滿足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A與B為對立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質(zhì):1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0≤P(A)≤1;2)當(dāng)事件A與B互斥時,滿足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);3)若事件A與B為對立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系,互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生,其具體包括三種不同的情形:(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生;(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生;(3)事件A與事件B同時不發(fā)生,而對立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個發(fā)生,其包括兩種情形;(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生;(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生,對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1—3.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、(1)古典概型的使用條件:試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。(2)古典概型的解題步驟;①求出總的基本事件數(shù);②求出事件A所包含的基本事件數(shù),然后利用公式P(A)=3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念:(1)幾何概率模型:如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型;(2)幾何概型的概率公式:P(A)=;幾何概型的特點(diǎn):1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個;2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.統(tǒng)計(jì)2.1.1簡單隨機(jī)抽樣1.總體和樣本在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體.把每個研究對象叫做個體.把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量.為了研究總體的有關(guān)性質(zhì),一般從總體中隨機(jī)抽取一部分:,,,研究,我們稱它為樣本.其中個體的個數(shù)稱為樣本容量.2.簡單隨機(jī)抽樣,也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等,完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是:每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等),樣本的每個單位完全獨(dú)立,彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時,才采用這種方法。3.簡單隨機(jī)抽樣常用的方法:(1)抽簽法;⑵隨機(jī)數(shù)表法;⑶計(jì)算機(jī)模擬法;⑷使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中,主要考慮:①總體變異情況;②允許誤差范圍;③概率保證程度。4.抽簽法:(1)給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號;(2)準(zhǔn)備抽簽的工具,實(shí)施抽簽(3)對樣本中的每一個個體進(jìn)行測量或調(diào)查例:請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。5.隨機(jī)數(shù)表法:例:利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動。2.1.2系統(tǒng)抽樣1.系統(tǒng)抽樣(等距抽樣或機(jī)械抽樣):把總體的單位進(jìn)行排序,再計(jì)算出抽樣距離,然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K(抽樣距離)=N(總體規(guī)模)/n(樣本規(guī)模)前提條件:總體中個體的排列對于研究的變量來說,應(yīng)是隨機(jī)的,即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布??梢栽谡{(diào)查允許的條件下,從不同的樣本開始抽樣,對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別,說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律,且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2.系統(tǒng)抽樣,即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊筝^低,實(shí)施也比較簡單。更為重要的是,如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用,總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話,使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。2.1.3分層抽樣1.分層抽樣(類型抽樣):先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟?,然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本,最后,將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法:1.先以分層變量將總體劃分為若干層,再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2.先以分層變量將總體劃分為若干層,再將各層中的元素按分層的順序整齊排列,最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2.分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個個同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體,再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體,所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn):(1)以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。(2)以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。(3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3.分層的比例問題:(1)按比例分層抽樣:根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。(2)不按比例分層抽樣:有的層次在總體中的比重太小,其樣本量就會非常少,此時采用該方法,主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時,則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理,調(diào)整樣本中各層的比例,使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1、本均值:2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差:3.用樣本估計(jì)總體時,如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中,這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差,而只是一個估計(jì),但這種估計(jì)是合理的,特別是當(dāng)樣本量很大時,它們確實(shí)反映了總體的信息。4.(1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差不變(2)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍(3)一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響,區(qū)間的應(yīng)用;“去掉一個最高分,去掉一個最低分”中的科學(xué)道理推理與證明一.推理:⑴合情推理:歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,在進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,我們把它們稱為合情推理。①歸納推理:由某類食物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者有個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理,簡稱歸納。注:歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理。②類比推理:由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理,稱為類比推理,簡稱類比。注:類比推理是特殊到特殊的推理。⑵演繹推理:從一般的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,這種推理叫演繹推理。注:演繹推理是由一般到特殊的推理?!叭握摗笔茄堇[推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般結(jié)論;⑵小前提---------所研究的特殊情況;⑶結(jié)論---------根據(jù)一般原理,對特殊情況得出的判斷。二.證明⒈直接證明⑴綜合法一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч?。⑵分析法一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等),這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2.間接證明------反證法一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,這種證明方法叫反證法。排列組合和二項(xiàng)式定理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2方案中有n種不同的方法。那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。
要點(diǎn)詮釋:如果完成一件事有n類辦法,這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的,無論哪一類辦法中哪一種方法都能完成這件事,求完成這件事的方法種數(shù),就用分類加法計(jì)數(shù)原理;在解題時,應(yīng)首先分清楚怎樣才算完成這件事,有些題目在解決時需要進(jìn)行分類討論,分類時要適當(dāng)?shù)卮_定分類的標(biāo)準(zhǔn),按照分類的原則進(jìn)行,做到不重不漏。
2.分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法。
要點(diǎn)詮釋:
如果完成一件事需要分成n個步驟,缺一不可,即需要依次完成所有的步驟,才能完成這件事,而完成每一個步驟各有若干種不同的方法,計(jì)算完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計(jì)數(shù)原理。解題時,關(guān)鍵是分清楚完成這件事是分類還分步,在應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時,各個步驟都完成,才算完成這件事,步驟之間互不影響,即前一步用什么方法,不影響后一步采取什么方法,運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,要確定好次序,還要注意元素是否可以重復(fù)選取
3.兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
(1)在解決實(shí)際問題的過程中,并不一定是單一的分類或分步,而是可能同應(yīng)用計(jì)數(shù)原理,即分類時,每類的方法可能要運(yùn)用分步完成的,而分步時,每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求。另外,具體問題是先分類后分步,還是先分步后分類,應(yīng)視問題的特點(diǎn)而定。解題時經(jīng)常是兩個原理交叉在一起使用,分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”,分類的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序,即合理分類,準(zhǔn)確分步。
(2)對于復(fù)雜問題,只用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理不能解決時,可以綜合應(yīng)用兩個原理,可以先分類,在某一類中再分步,也可先分步,在某步中再分類。要點(diǎn)二、排列與組合基礎(chǔ)知識1.定義、公式排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義1.排列:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。
2.排列數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)。1.組合:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。
2.組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。公式排列數(shù)公式
組合數(shù)公式
性質(zhì)(1)
(2)備注區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題,關(guān)鍵是看所選出的元素與順序是否有關(guān),若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列問題,否則是組合問題。
2.排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算
(1)排列數(shù)公式:右邊第一個因數(shù)為n,后面每個因數(shù)都比它前面那個因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是n-m+1,共m個因數(shù)。公式主要用于含有字母的排列數(shù)的式子的變形與論證;
(2)組合數(shù)公式有乘積形式與階乘形式兩種,與排列數(shù)公式的應(yīng)用一樣,前者多用于數(shù)字計(jì)算,后者多用于對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證。還應(yīng)注意組合數(shù)公式的逆用,即由寫出。
求排列應(yīng)用題的主要方法有:
(1)直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;
(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法,即先排特殊元素或特殊位置;
(3)排列、組合混合問題先選后排的方法;
(4)相鄰問題捆綁處理的方法。即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列;
(5)不相鄰問題插空處理的方法。即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;
(6)分排問題直排處理的方法;
(7)“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法;
(8)
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