2017-2018學(xué)年吉林省長春高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷((含答案))

2017-2018學(xué)年吉林省長春高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）sin210°的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣2．（5分）用二分法研究函數(shù)f（x）=x3+3x﹣1的零點時，第一次經(jīng)計算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應(yīng)計算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為（）A．（0，0.5），f（0.25） B．（0，1），f（0.25） C．（0.5，1），f（0.75） D．（0，0.5），f（0.125）3．（5分）設(shè)都是單位向量，且與的夾角為60°，則=（）A．3 B． C．2 D．4．（5分）已知集合A={x|1＜2x＜8}，集合B={x|0＜log2x＜1}，則A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|0＜x＜2}5．（5分）一扇形的圓心角為60°，所在圓的半徑為6，則它的面積是（）A．6π B．3π C．12π D．9π6．（5分）若，是兩個平面向量，則下列命題中正確的是（）A．若||=||，則=或=﹣B．若與共線，則存在唯一實數(shù)λ，使=λC．若?=0，則=0或=0D．若|﹣|=||+||，則與共線7．（5分）要得到的圖象，只需將y=3cos2x的圖象（）A．右移 B．左移 C．右移 D．左移8．（5分）給出函數(shù)f（x）=則f（log23）等于（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣9．（5分）若θ是△ABC的一個內(nèi)角，且，則cosθ﹣sinθ的值為（）A． B． C．﹣ D．10．（5分）已知O為△ABC內(nèi)一點，且，則△AOC與△ABC的面積之比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：111．（5分）函數(shù)f（x）=lnx+x2+a﹣1在區(qū)間（1，e）內(nèi)有唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣e2，0） B．（﹣e2，1） C．（1，e） D．（1，e2）12．（5分）已知函數(shù)f（x）=若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．0＜k＜1 B．k＞1 C．＜k＜1 D．k＞1或k=二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13．（5分）若tanα=2，則的值為．14．（5分）已知函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為．15．（5分）向量=（2，3）在向量=（3，﹣4）方向上的投影為．16．（5分）已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（）=0，則不等式f（log4x）＞0的解集是．三.解答題：本題共6小題，17題10分，18-22每小題10分.17．（10分）已知函數(shù)f（x）=log2．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性．18．（12分）已知點A（1，﹣2）和向量=（2，3）（1）若向量與向量同向，且||=2，求點B的坐標(biāo)；（2）若向量與向量=（﹣3，k）的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．19．（12分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象的一部分如圖所示：（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及函數(shù)圖象的對稱軸．20．（12分）已知兩個不共線的向量，的夾角為θ，且||=2，||=1．（1）若與垂直，求tanθ；（2）若x+與3平行，求實數(shù)x并指出此時x與3同向還是反向．21．（12分）已知冪函數(shù)f（x）=（m3﹣m+1）x的圖象與x軸和y軸都無交點．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）．22．（12分）已知f（x）=﹣sin2x+m（2cosx﹣1），x∈[]．（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的最小值為﹣1時，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

2017-2018學(xué)年吉林省長春高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）sin210°的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故選B2．（5分）用二分法研究函數(shù)f（x）=x3+3x﹣1的零點時，第一次經(jīng)計算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應(yīng)計算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為（）A．（0，0.5），f（0.25） B．（0，1），f（0.25） C．（0.5，1），f（0.75） D．（0，0.5），f（0.125）【解答】解：由題意可知：對函數(shù)f（x）=x3+3x﹣1，∵f（0）＜0，f（0.5）＞0，且函數(shù)在區(qū)間（0，0.5）上連續(xù)，可得其中一個零點x0∈（0.0.5），使得f（x0）=0，根據(jù)二分法的思想可知在第二次計算時應(yīng)計算f（0.25），所以答案為：（0，0.5），f（0.25）．故選A．3．（5分）設(shè)都是單位向量，且與的夾角為60°，則=（）A．3 B． C．2 D．【解答】解：∵是夾角為60°的單位向量，∴==∴==+2+=1+2×+1=3因此，==故選B4．（5分）已知集合A={x|1＜2x＜8}，集合B={x|0＜log2x＜1}，則A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|0＜x＜2}【解答】解：集合A={x|1＜2x＜8}={x|0＜x＜3}，集合B={x|0＜log2x＜1}={x|1＜x＜2}，則A∩B={x|1＜x＜2}．故選：B．5．（5分）一扇形的圓心角為60°，所在圓的半徑為6，則它的面積是（）A．6π B．3π C．12π D．9π【解答】解：∵α=，r=6，∴由扇形面積公式得：S===6π．故選：A．6．（5分）若，是兩個平面向量，則下列命題中正確的是（）A．若||=||，則=或=﹣B．若與共線，則存在唯一實數(shù)λ，使=λC．若?=0，則=0或=0D．若|﹣|=||+||，則與共線【解答】解：若||=||，說明兩個向量的長度相同，但是方向不一定相同或相反，說=或=﹣，A不正確；若與共線，則存在唯一實數(shù)λ，使=λ，等式成立的條件是，，所以B不正確；若?=0，說明兩個向量垂直，不一定是=0或=0，所以C不正確；若|﹣|=||+||，則與方向相反，所以兩個向量共線，D正確；故選：D．7．（5分）要得到的圖象，只需將y=3cos2x的圖象（）A．右移 B．左移 C．右移 D．左移【解答】解：函數(shù)=3cos[2（x﹣）]，要得到y(tǒng)=3cos（2x﹣）的圖象，只需將y=3cos2x的圖象向右平移個單位．故選：C．8．（5分）給出函數(shù)f（x）=則f（log23）等于（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣【解答】解：∵函數(shù)f（x）=∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）=（）==．故選：A．9．（5分）若θ是△ABC的一個內(nèi)角，且，則cosθ﹣sinθ的值為（）A． B． C．﹣ D．【解答】解：∵θ為△ABC內(nèi)角，且sinθcosθ=﹣＜0，∴cosθ＜0，sinθ＞0，即cosθ﹣sinθ＜0，∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=1+=，∴cosθ﹣sinθ=﹣．故選C10．（5分）已知O為△ABC內(nèi)一點，且，則△AOC與△ABC的面積之比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：1【解答】解：設(shè)AC的中心點為D則，∴，∴即點O為AC邊上的中線BD的中點，∴△AOC與△ABC的面積之比是．故選A11．（5分）函數(shù)f（x）=lnx+x2+a﹣1在區(qū)間（1，e）內(nèi)有唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣e2，0） B．（﹣e2，1） C．（1，e） D．（1，e2）【解答】解：函數(shù)f（x）=lnx+x2+a﹣1在區(qū)間（1，e）內(nèi)有唯一的零點，得lnx+x2+a﹣1=0，又x＞0，函數(shù)f（x）=lnx+x2+a﹣1是增函數(shù)，f（1）f（e）＜0，可得：a（1+e2+a﹣1）＜0，解得a∈（﹣e2，0）．故選：A．12．（5分）已知函數(shù)f（x）=若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．0＜k＜1 B．k＞1 C．＜k＜1 D．k＞1或k=【解答】解：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有二個不同的交點，如圖所示：故實數(shù)k的取值范圍是（，1），故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13．（5分）若tanα=2，則的值為．【解答】解：∵tanα=2，∴==，故答案為：14．（5分）已知函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）．【解答】解：令t=x2﹣1＞0，求得x＞1，或x＜﹣1，故函數(shù)的定義域為{x|x＞1，或x＜﹣1}，且y=，故本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），故答案為：（﹣∞，﹣1）．15．（5分）向量=（2，3）在向量=（3，﹣4）方向上的投影為．【解答】解：根據(jù)投影的定義可得：在方向上的投影為||cos＜，＞===﹣．故答案為：．16．（5分）已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（）=0，則不等式f（log4x）＞0的解集是（，1）∪（2，+∞）．【解答】解：定義域為R的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（）=0，可得f（x）在（﹣∞，0）上是增函數(shù)，且f（）=﹣f（）=0，當(dāng)log4x＞0即x＞1，f（log4x）＞0即為log4x＞，解得x＞2；當(dāng)log4x＜0即0＜x＜1，f（log4x）＞0即為log4x＞﹣，解得＜x＜1．綜上可得，原不等式的解集為（，1）∪（2，+∞）．故答案為：（，1）∪（2，+∞）．三.解答題：本題共6小題，17題10分，18-22每小題10分.17．（10分）已知函數(shù)f（x）=log2．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性．【解答】解：（1）函數(shù)應(yīng)滿足＞0，解得x＞1或x＜﹣1，所以函數(shù)的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．由（1）知定義域關(guān)于原點對稱，又f（﹣x）=log2=log2=﹣log2=﹣f（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．18．（12分）已知點A（1，﹣2）和向量=（2，3）（1）若向量與向量同向，且||=2，求點B的坐標(biāo)；（2）若向量與向量=（﹣3，k）的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)B（x，y），則=（x﹣1，y+2），若向量與向量同向，則有3（x﹣1）=2（y+2），若||=2，則（x﹣1）2+（y+2）2=52，解可得或，當(dāng)時，=（﹣4，﹣6），與向量反向，不合題意，舍去；當(dāng)時，=（4，6），與向量同向，則B的坐標(biāo)為（5，4）；（2）若向量與向量=（﹣3，k）的夾角是鈍角，則有?=﹣6+3k＜0且2k+9≠0，解可得k＜2且k≠﹣，故k的取值范圍是（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）．19．（12分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象的一部分如圖所示：（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及函數(shù)圖象的對稱軸．【解答】解：（1）由圖象可知：A=2，…（1分）=﹣=，解得T=π，∴T==π，解得ω=2；…（3分）∴f（x）=2sin（2x+φ）；又f（）=2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1；0＜φ＜π，∴＜+φ＜，∴+φ=，解得φ=；…（5分）∴f（x）=2sin（2x+）；…（6分）（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；…（9分）令2x+=+kπ，解得x=+，k∈Z；∴f（x）的對稱軸為x=+（k∈Z）…（12分）20．（12分）已知兩個不共線的向量，的夾角為θ，且||=2，||=1．（1）若與垂直，求tanθ；（2）若x+與3平行，求實數(shù)x并指出此時x與3同向還是反向．【解答】解：（1）根據(jù)題意，由于與垂直，則有（）?（）=2﹣2?﹣32=0，即有4﹣4cosθ﹣3=0，解可得cosθ=，又由0≤θ≤π，則sinθ=，則tanθ==；（2）若x+與3平行，則存在實數(shù)λ滿足（x+）=λ（3），又由向量，不共線，則有，解可得λ=﹣，x=﹣，又由λ=﹣＜0，此時x與3反向．21．（12分）已知冪函數(shù)f（x）=（m3﹣m+1）x的圖象與x軸和y軸都無交點．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）．【解答】解：（1）由已知f（x）是冪函數(shù)，由m3﹣m+1=1，解得：m∈{0，±1}，又f（x）的圖象與x軸和y軸都無交點，經(jīng)檢驗m=1，此時f（x）=x﹣4，（2）f（x）=x﹣4是偶函數(shù)且在（0，+∞）遞減，所以要使得f（x+1）＞f（x﹣2）只需|x+1|＜|x﹣2|，解得：x＜，又f（x）的定義域為{x|x≠0}，所以x≠﹣1且x≠2，綜上，不等式的解集為{x|x＜，x≠﹣1}．22．（12分）已知f（x）=﹣sin2x+m（2cosx﹣1），x∈[]．（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的最小值為﹣1時，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．【解答】解：（1）f（x）=﹣sin2x+m（2cosx﹣1），=﹣（1﹣cos2x）+m（2cosx﹣1），=cos2x+2mcosx﹣（m+1）．設(shè)t=cosx，