2017-2018學年西藏拉薩高二(上)期末數(shù)學試卷((含答案))-(新課標人教版)

2017-2018學年西藏拉薩高二（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，則M∩N=（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）2．（5分）“a≠2”是直線ax+2y=3與直線x+（a﹣1）y=1相交的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）已知命題p：?x，y∈Z，x2+y2=2015，則?p為（）A．?x，y∈Z，x2+y2≠2015 B．?x，y∈Z，x2+y2≠2015C．?x，y∈Z，x2+y2=2015 D．不存在x，y∈Z，x2+y2=20154．（5分）已知α為銳角，且sinα=，則cos（π+α）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．5．（5分）已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．26．（5分）已知平面向量和的夾角等于，，，則=（）A．2 B． C． D．7．（5分）已知某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+8．（5分）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x軸上方），l為C的準線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A． B．2 C．2 D．39．（5分）在區(qū)間[0，π]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“﹣1≤tanx≤”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．10．（5分）過點A（2，1）的直線交圓x2+y2﹣2x+4y=0于B，C兩點，當|BC|最大時，直線BC的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+5=011．（5分）在空間，下列命題正確的是（）A．如果平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，則α⊥β．B．如果直線a與平面β內(nèi)的一條直線平行，則a∥βC．如果直線a與平面β內(nèi)的兩條直線都垂直，則a⊥βD．如果平面α內(nèi)的兩條直線都平行于平面β，則α∥β12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D為AC的中點，點M是線段AB1上的動點，則關(guān)于點M到平面C1BD的距離說法正確的是（）A．點M運動到點A時距離最小B．點M運動到線段AB1的中點時距離最大C．點M運動到點B1時距離最大D．點M到平面C1BD的距離為定值二、填空題13．（3分）若40個數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的方差是．14．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知是雙曲線的一條漸近線方程，則此雙曲線的離心率為．15．（3分）已知直線l1：ax+3y﹣1=0與直線l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，則實數(shù)a=．16．（3分）給出下列四個命題：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；②a，b，c是空間中的三條直線，a∥b的充要條件是a⊥c且b⊥c；③命題“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆命題為假命題；④有些向量的坐標等于其起點的坐標，其中的真命題是．（寫出所有真命題的編號）三、解答題17．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一個球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率也為，試求得黑球、黃球、綠球的概率分別為多少？18．已知圓C：（x﹣1）2+y2=1．（1）若直線與圓C相切且斜率為1，求該直線的方程；（2）求與直線x+y﹣1=0平行，且被圓C截得的線段長為的直線的方程．19．（100分）我校舉行的“青年歌手大選賽”吸引了眾多有才華的學生參賽．為了了解本次比賽成績情況，從中抽取了50名學生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計．請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：（1）求出a，b，x，y的值；（2）在選取的樣本中，從成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學參加元旦晚會，求所抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組[50，60）80.16第2組[60，70）a▓第3組[70，80）200.40第4組[80，90）▓0.08第5組[90，100]2b合計▓▓20．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．21．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，（1）證明：AD⊥D1F；（2）求異面直線AE與D1F所成的角；（3）證明：平面AED⊥平面A1FD1．22．已知橢圓的一個頂點為A（0，﹣1），焦點在x軸上，若右焦點到直線x﹣y+2=0的距離為3．（I）求橢圓的標準方程；（II）設(shè)直線l：y=x+m，是否存在實數(shù)m，使直線l與（1）中的橢圓有兩個不同的交點M、N，且|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．2017-2018學年西藏拉薩高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，則M∩N=（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）【解答】解：∵集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，∴M={x|﹣2＜x＜1}，∵N={x|x+1＜0}，∴N={x|x＜﹣1}，∴M∩N={x|﹣2＜x＜﹣1}故選C．2．（5分）“a≠2”是直線ax+2y=3與直線x+（a﹣1）y=1相交的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若直線ax+2y=3與直線x+（a﹣1）y=1平行，則a（a﹣1）﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，若直線ax+2y=3與直線x+（a﹣1）y=1相交，則a≠2且a≠﹣1，所以“a≠2”是直線ax+2y=3與直線x+（a﹣1）y=1相交必要不充分條件，故選：B．3．（5分）已知命題p：?x，y∈Z，x2+y2=2015，則?p為（）A．?x，y∈Z，x2+y2≠2015 B．?x，y∈Z，x2+y2≠2015C．?x，y∈Z，x2+y2=2015 D．不存在x，y∈Z，x2+y2=2015【解答】解：由特稱命題的否定為全稱命題，可得命題p：?x，y∈Z，x2+y2=2015，則?p為?x，y∈Z，x2+y2≠2015．故選：A．4．（5分）已知α為銳角，且sinα=，則cos（π+α）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．【解答】解：∵α為銳角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故選A．5．（5分）已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}是公比為q的遞增的等比數(shù)列，由a2a4=16，可得a1a5=16，又a1+a5=17，解得或（不合題意，舍去），即有q4=16，解得q=2（負的舍去）．故選：D．6．（5分）已知平面向量和的夾角等于，，，則=（）A．2 B． C． D．【解答】解：=2×=1，∴（）2=+4﹣4=4，∴=2．故選A．7．（5分）已知某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+【解答】解：由題意：可知該幾何體是一個以底面為正方形其邊長AB=1的三棱錐，高AS為2，（如圖）AS⊥平面ABCD，∴AC=，SD=SB=，∵AD⊥CD，∴SD⊥CD（三垂線定理）∴△SDC是直角三角形．同理：SB⊥CB，∴△SBC是直角三角形．平面SDC的表面積為：AD×SD=，平面ABS的表面積為：AS×AB=1，平面ABD的表面積為：AS×AD=1，平面SBC的表面積為：BS×CB=．平面ABCD表面積為：AB×BC=1所以該幾何體的表面積為：3+．故選D．8．（5分）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x軸上方），l為C的準線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A． B．2 C．2 D．3【解答】解：拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），且斜率為的直線：y=（x﹣1），過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x軸上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程為：y=﹣（x﹣1），即，則M到直線NF的距離為：=2．故選：C．9．（5分）在區(qū)間[0，π]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“﹣1≤tanx≤”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：∵0≤x≤π，﹣1≤tanx≤∴0≤x≤或，則事件“﹣1≤tanx≤”發(fā)生的概率P==，故選：A．10．（5分）過點A（2，1）的直線交圓x2+y2﹣2x+4y=0于B，C兩點，當|BC|最大時，直線BC的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+5=0【解答】解：把圓的方程x2+y2﹣2x+4y=0化為標準方程為（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圓心坐標為（1，﹣2），設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，又A（2，1），把圓心坐標和A的坐標代入得：，解得，則直線BC的方程為y=3x﹣5，即3x﹣y﹣5=0．故選A11．（5分）在空間，下列命題正確的是（）A．如果平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，則α⊥β．B．如果直線a與平面β內(nèi)的一條直線平行，則a∥βC．如果直線a與平面β內(nèi)的兩條直線都垂直，則a⊥βD．如果平面α內(nèi)的兩條直線都平行于平面β，則α∥β【解答】解：在A中，如果平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，則由面面垂直的判定理得α⊥β，故A正確；在B中，如果直線a與平面β內(nèi)的一條直線平行，則a∥β或a?β，故B錯誤；在C中，如果直線a與平面β內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則a⊥β，故C錯誤；在D中，如果平面α內(nèi)的兩條相交直線都平行于平面β，則α∥β，故D錯誤．故選：A．12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D為AC的中點，點M是線段AB1上的動點，則關(guān)于點M到平面C1BD的距離說法正確的是（）A．點M運動到點A時距離最小B．點M運動到線段AB1的中點時距離最大C．點M運動到點B1時距離最大D．點M到平面C1BD的距離為定值【解答】解：連接B1C交BC1于O，連接OD，則OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1，∴M到平面C1BD的距離為定值．故選：D．二、填空題13．（3分）若40個數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的方差是．【解答】解：由方差的計算公式可得：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=（x12+x22+…+xn2）﹣2=﹣=，∴這組數(shù)據(jù)的方差是．故答案為：．14．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知是雙曲線的一條漸近線方程，則此雙曲線的離心率為2．【解答】解：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，y=x是其中一條漸近線，∴=，又b2=c2﹣a2，∴=3，∴e2==4，∴e=2．故答案為：2．15．（3分）已知直線l1：ax+3y﹣1=0與直線l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，則實數(shù)a=．【解答】解：∵直線l1：ax+3y﹣1=0與直線l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，∴斜率之積等于﹣1，他們的斜率分別為和，∴×=﹣1，∴a=，故答案為．16．（3分）給出下列四個命題：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；②a，b，c是空間中的三條直線，a∥b的充要條件是a⊥c且b⊥c；③命題“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆命題為假命題；④有些向量的坐標等于其起點的坐標，其中的真命題是①④．（寫出所有真命題的編號）【解答】解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；故①正確，②在空間中，當a⊥c且b⊥c時，a∥b不成立，故②錯誤③命題“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆命題為若sinA＞sinB，則A＞B，為真命題，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，則A＞B成立，即命題為真命題，④設(shè)向量的起點坐標為（x1，y1），終點坐標為（x2，y2），若向量坐標為（x1，y1），則（x1，y1）=（x2，y2）﹣（x1，y1），即2（x1，y1）=（x2，y2），則x2=2x1，y2=2y1，即有些向量的坐標等于其起點的坐標，正確故正確的命題是①④，故答案為：①④三、解答題17．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一個球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率也為，試求得黑球、黃球、綠球的概率分別為多少？【解答】解：袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一個球，設(shè)事件A表示“取到紅球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黃球”，事件D表示“取到綠球”，∵得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率也為，∴，解得P（B）=P（D）=，P（C）=，∴取得黑球、黃球、綠球的概率分別為．18．已知圓C：（x﹣1）2+y2=1．（1）若直線與圓C相切且斜率為1，求該直線的方程；（2）求與直線x+y﹣1=0平行，且被圓C截得的線段長為的直線的方程．【解答】解：（1）設(shè)所求的切線方程為：y=x+b，∴圓心C（1，0）到切線的距離，∴，即或．∴切線方程為或．（2）設(shè)所求直線方程為x+y+k=0．∴圓心C到所求直線的距離為=．即：，∴k=0或k=﹣2．∴所求直線方程為x+y=0或x+y﹣2=0．19．（100分）我校舉行的“青年歌手大選賽”吸引了眾多有才華的學生參賽．為了了解本次比賽成績情況，從中抽取了50名學生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計．請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：（1）求出a，b，x，y的值；（2）在選取的樣本中，從成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學參加元旦晚會，求所抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組[50，60）80.16第2組[60，70）a▓第3組[70，80）200.40第4組[80，90）▓0.08第5組[90，100]2b合計▓▓【解答】解：（1）由題意可知，=，解得b=0.04；∴[80，90）內(nèi)的頻數(shù)為2×2=4，∴樣本容量n==50，a=50﹣8﹣20﹣4﹣2=16；又[60，70）內(nèi)的頻率為=0.32，∴x==0.032；[90，100]內(nèi)的頻率為0.04，∴y==0.004；…（4分）（2）由題意可知，第4組共有4人，記為A、B、C、D，第5組共有2人，記為X、Y；從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學有AB、AC、AD、BC、BD、CD、AX、AY、BX、BY、CX、CY、DX、DY、XY共15種情況；…（6分）設(shè)“隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組”為事件E，有AX、AY，BX、BY、CX、CY、DX、DY、XY共9種情況；…（7分）所以隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率是P（E）==；…（8分）（3）根據(jù)頻率分布直方圖知，眾數(shù)為×（70+80）=75；…（9分）中位數(shù)為；…（10分）平均數(shù)0.16×55+0.32×65+0.4×75+0.08×85+0.04×95=70.2．…（12分）20．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）根據(jù){an}為等差數(shù)列，d≠0．前n項和為Sn，且S10=110，即110=10a1+45d，…①∵a1，a2，a4成等比數(shù)列．可得：a22=a1?a4．∴（a1+d）2=a1?（a1+3d）…②由①②解得：，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n（2）由bn=，即bn==．那么：數(shù)列{bn}的前n項和Tn=b1+b2+…+bn=（1﹣++…+）=（1﹣）21．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，