2017年江蘇省揚州市高二(上)期末數(shù)學試卷((含答案))

2016-2017學年江蘇省揚州市高二（上）期末數(shù)學試卷一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．（5分）命題“?x＞0，”的否定為．2．（5分）根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的S的值為．3．（5分）如圖，四邊形ABCD是一個5×4的方格紙，向此四邊形內(nèi)拋撒一粒小豆子，則小豆子恰好落在陰影部分內(nèi)的概率為．4．（5分）拋物線y2=4x上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為．5．（5分）將參加環(huán)保知識競賽的學生成績整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a的值為．6．（5分）函數(shù)的圖象在x=1處的切線方程為．7．（5分）若雙曲線的一條漸近線方程為，則m=．8．（5分）“a=3”是“直線2x+ay+1=0和直線（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的條件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）9．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣m有3個零點，則m的取值范圍是．10．（5分）圓心在x軸上且與直線l：y=2x+1切于點P（0，1）的圓C的標準方程為．11．（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，則不等式f（x）＜2x+7的解集為．12．（5分）若直線與圓x2+y2=1沒有公共點，則此直線傾斜角α的取值范圍是．13．（5分）已知函數(shù)（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，則a的最小值為．14．（5分）如圖，橢圓的右焦點為F，過F的直線交橢圓于A，B兩點，點C是點A關(guān)于原點O的對稱點，若CF⊥AB且CF=AB，則橢圓的離心率為．二、解答題（本大題共6小題，共計90分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（14分）已知命題p：?x∈R，x2+1≥m；命題q：方程表示雙曲線．（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．16．（14分）某學校為了解學生的學習、生活等情況，決定召開一次學生座談會．此學校各年級人數(shù)情況如表：年級性別高一年級高二年級高三年級男520y400女x610600（1）若按年級用分層抽樣的方法抽取n個人，其中高二年級22人，高三年級20人，再從這n個人中隨機抽取出1人，此人為高三年級的概率為，求x、y的值．（2）若按性別用分層抽樣的方法在高三年級抽取一個容量為5的樣本，從這5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．17．（14分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左焦點為F（﹣1，0），左頂點為A，上、下頂點分別為B，C．（1）若直線BF經(jīng)過AC中點M，求橢圓E的標準方程；（2）若直線BF的斜率為1，BF與橢圓的另一交點為D，求點D到橢圓E右準線的距離．18．（16分）某公園內(nèi)直線道路旁有一半徑為10米的半圓形荒地（圓心O在道路上，AB為直徑），現(xiàn)要在荒地的基礎(chǔ)上改造出一處景觀．在半圓上取一點C，道路上B點的右邊取一點D，使OC垂直于CD，且OD的長不超過20米．在扇形區(qū)域AOC內(nèi)種植花卉，三角形區(qū)域OCD內(nèi)鋪設(shè)草皮．已知種植花卉的費用每平方米為200元，鋪設(shè)草皮的費用每平方米為100元．（1）設(shè)∠COD=x（單位：弧度），將總費用y表示為x的函數(shù)式，并指出x的取值范圍；（2）當x為何值時，總費用最低？并求出最低費用．19．（16分）若圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半徑為r，圓心C到直線l：Dx+Ey+F=0的距離為d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的取值范圍；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圓M既與直線l相切又與圓C相離？若存在，請寫出定圓M的方程，并給出證明；若不存在，請說明理由．20．（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當a=1時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，e]上的值域；（3）若a＞0，過原點分別作曲線y=f（x）、y=g（x）的切線l1、l2，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：．

2016-2017學年江蘇省揚州市高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．（5分）命題“?x＞0，”的否定為?x＞0，．【解答】解：命題是特稱命題，則命題的否定是全稱命題，即?x＞0，，故答案為：?x＞0，2．（5分）根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的S的值為15．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件S=1+2+3+4+5的值；∵S=1+2+3+4+5=15，故輸出的S值為15．故答案為：15．3．（5分）如圖，四邊形ABCD是一個5×4的方格紙，向此四邊形內(nèi)拋撒一粒小豆子，則小豆子恰好落在陰影部分內(nèi)的概率為．【解答】解：由四邊形ABCD是一個5×4的方格紙，知基本事件總數(shù)n=5×4=20個小方格，小豆子恰好落在陰影部分內(nèi)包含怕小方格的個數(shù)m=4，∴小豆子恰好落在陰影部分內(nèi)的概率p=．故答案為：．4．（5分）拋物線y2=4x上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為4．【解答】解：物線y2=4x上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為，就是這點到拋物線的準線的距離．拋物線的準線方程為：x=﹣1，所以拋物線y2=4x上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為=3﹣（﹣1）=4．故答案為：45．（5分）將參加環(huán)保知識競賽的學生成績整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a的值為0.028．【解答】解：根據(jù)頻率和為1，得（0.006+0.01+a+0.034+0.022）×10=1，解得a=0.028．故答案為：0.028．6．（5分）函數(shù)的圖象在x=1處的切線方程為y=x+1．【解答】解：f′（x）=2x﹣，f（1）=2，f′（1）=1，故切線方程是：y﹣2=x﹣1，即：y=x+1，故答案為：y=x+1．7．（5分）若雙曲線的一條漸近線方程為，則m=．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為y=±，由一條漸近線方程為，可得m=，故答案為：．8．（5分）“a=3”是“直線2x+ay+1=0和直線（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的充分不必要條件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）【解答】解：a=3時，2x+3y+1=0和2x+3y﹣2=0平行，是充分條件，若直線2x+ay+1=0和直線（a﹣1）x+3y﹣2=0平行，則=≠﹣，解得：a=3或a=﹣2，不是必要條件，故答案為：充分不必要．9．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣m有3個零點，則m的取值范圍是（﹣，0）．【解答】解：函數(shù)g（x）=f（x）﹣m有3個零點，即為f（x）=m有3個不同實數(shù)根．當x≥0時，f（x）=﹣2x≤0；當x＜0時，f（x）=xex，導數(shù)f′（x）=（1+x）ex，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．可得f（x）在x＜0時由最小值，且為﹣．畫出f（x）的圖象，可得當﹣＜m＜0，函數(shù)f（x）和直線y=m有3個交點，函數(shù)g（x）=f（x）﹣m有3個零點．故答案為：（﹣，0）．10．（5分）圓心在x軸上且與直線l：y=2x+1切于點P（0，1）的圓C的標準方程為（x﹣2）2+y2=5．【解答】解：設(shè)圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圓心在x軸上，∴b=0，（1）∵與直線l：y=2x+1切于點P（0，1），∴=﹣，（2），由（1）、（2），得a=2，b=0，又∵P點在圓上，代入圓的方程得r2=5，∴所求圓的標準方程為（x﹣2）2+y2=5．故答案為（x﹣2）2+y2=5．11．（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，則不等式f（x）＜2x+7的解集為（﹣∞，﹣3）．【解答】解：設(shè)F（x）=f（x）﹣（2x+7）=f（x）﹣2x﹣7，則F′（x）=f′（x）﹣2，∵f′（x）＞2，∴F′（x）=f′（x）﹣2＞0，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上遞增，∵f（﹣3）=1，∴F（﹣3）=f（﹣3）﹣2×（﹣3）﹣7=0，∵f（x）＜2x+7，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7＜0，∴x＜﹣3，故答案為：（﹣∞，﹣3）．12．（5分）若直線與圓x2+y2=1沒有公共點，則此直線傾斜角α的取值范圍是[0，）∪（，π）．【解答】解：∵直線與圓x2+y2=1沒有公共點，∴＞1，∴k∈（﹣1，1），∴α∈[0，）∪（，π）．故答案為：[0，）∪（，π）．13．（5分）已知函數(shù)（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，則a的最小值為16．【解答】解：若存在x0，使得f（x0）≥0成立，即存在x0∈（0，]，使得≥0時成立，即存在x0∈（0，]，使得﹣3x4+ax3﹣a2≥0成立，則函數(shù)g（x）=﹣3x4+ax3﹣a2（a＞0）的x∈（0，]最大值大于等于0，∵g′（x）=﹣12x3+3ax2當x∈（0，）時，g′（x）＞0當x∈（，]時，g′（x）＜0當x=時，函數(shù)f（x）取最大值a﹣4，故a﹣4≥0，解得：a≥16，故答案為：1614．（5分）如圖，橢圓的右焦點為F，過F的直線交橢圓于A，B兩點，點C是點A關(guān)于原點O的對稱點，若CF⊥AB且CF=AB，則橢圓的離心率為．【解答】解：作另一焦點F′，連接AF′和BF′和CF′，則四邊形FAF′C為平行四邊形，∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，則三角形ABF′為等腰直角三角形，設(shè)AF′=AB=x，則，即，∴，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，∴．則e=．故答案為：．二、解答題（本大題共6小題，共計90分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（14分）已知命題p：?x∈R，x2+1≥m；命題q：方程表示雙曲線．（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）對于任意x∈R，x2+1≥1，若命題p為真命題，則（x2+1）min≥m，所以m≤1；…（5分）（2）若命題q為真命題，則（m﹣2）（m+2）＜0，所以﹣2＜m＜2，…（8分）因為命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則p，q至少有一個假命題，所以p，q一個為真命題，一個為假命題．…（10分）當命題p為真命題，命題q為假命題時，，則m≤﹣2，當命題p為假命題，命題q為真命題時，，則1＜m＜2，綜上，m≤﹣2或1＜m＜2．…（14分）16．（14分）某學校為了解學生的學習、生活等情況，決定召開一次學生座談會．此學校各年級人數(shù)情況如表：年級性別高一年級高二年級高三年級男520y400女x610600（1）若按年級用分層抽樣的方法抽取n個人，其中高二年級22人，高三年級20人，再從這n個人中隨機抽取出1人，此人為高三年級的概率為，求x、y的值．（2）若按性別用分層抽樣的方法在高三年級抽取一個容量為5的樣本，從這5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．【解答】解：（1）依題意得：，解得n=66．…（2分）所以高一年級被抽取的人數(shù)為66﹣22﹣20=24．所以，解得x=680，y=490．…（6分）（2）若用分層抽樣的方法在高三年級抽取一個容量為5的樣本，設(shè)抽取男生的人數(shù)為m，則，解得m=2，所以應抽取男生2人，女生3人，分別記作A1、A2；B1、B2、B3．…（8分）記“從中任取2人，至少有1人是男生”為事件A．從中任取2人的所有基本事件共10個：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．其中至少有1人為男生的基本事件有7個：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）．所以從中從中任取2人，至少有1人是男生的概率為．…（13分）∴至少有1人是男生的概率．…（14分）17．（14分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左焦點為F（﹣1，0），左頂點為A，上、下頂點分別為B，C．（1）若直線BF經(jīng)過AC中點M，求橢圓E的標準方程；（2）若直線BF的斜率為1，BF與橢圓的另一交點為D，求點D到橢圓E右準線的距離．【解答】解：（1）由題意，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b），又F（﹣1，0），∴c=1，直線BF：y=bx+b．∵M為AC的中點，∴，代入直線BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴橢圓E的標準方程是；（2）∵直線BF的斜率為1，則，∴橢圓，又直線BF：y=x+1，聯(lián)立，解得x=0（舍），或，∵右準線的方程為x=2，∴點D到右準線的距離為．18．（16分）某公園內(nèi)直線道路旁有一半徑為10米的半圓形荒地（圓心O在道路上，AB為直徑），現(xiàn)要在荒地的基礎(chǔ)上改造出一處景觀．在半圓上取一點C，道路上B點的右邊取一點D，使OC垂直于CD，且OD的長不超過20米．在扇形區(qū)域AOC內(nèi)種植花卉，三角形區(qū)域OCD內(nèi)鋪設(shè)草皮．已知種植花卉的費用每平方米為200元，鋪設(shè)草皮的費用每平方米為100元．（1）設(shè)∠COD=x（單位：弧度），將總費用y表示為x的函數(shù)式，并指出x的取值范圍；（2）當x為何值時，總費用最低？并求出最低費用．【解答】解：（1）因為扇形AOC的半徑為10m，∠AOC=π﹣x（rad），所以扇形AOC的面積為，；…（3分）在Rt△COD中，OC=10，CD=10tanx，所以△COD的面積為S△COD=?OC?CD=50tanx；…（5分）所以y=100S△COD+200S扇形AOC=5000（tanx+2π﹣2x），；…（8分）（注：沒有x的范圍，扣1分）（2）設(shè)，則，，令f'（x）=0，解得，…（11分）從而當時，f'（x）＜0；當，f′（x）＞0；因此f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，f（x）取得最小值，且；…（14分）所以y的最小值為（5000+7500π）元；…（15分）答：當時，改造景觀的費用最低，最低費用為（5000+7500π）元．…（16分）19．（16分）若圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半徑為r，圓心C到直線l：Dx+Ey+F=0的距離為d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的取值范圍；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圓M既與直線l相切又與圓C相離？若存在，請寫出定圓M的方程，并給出證明；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓，則D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，所以中F2＞4F，且F＞0，解得F＞4；…（3分）（2）圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心為C（﹣，﹣），半徑r==，圓心C到直線l的距離為d==||，所以d2﹣r2=﹣=1；…（8分）（3）存在定圓M：x2+y2=1滿足題意，下證之：…（10分）1°因為M（0，0）到直線l的距離為=1=R，所以圓M與直線l相切；2°因為CM==，且R+1=+1，而＞+1，即＞，即4＞0，故CM＞R+1，所以圓M與圓C相離；由1°、2°得，存在定圓M：x2+y2=1滿足題意．…（16分）20．（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當a=1時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)y=f（x