2017年山西省晉中市高二(上)期末數(shù)學(xué)文科試卷((含答案))

2016-2017學(xué)年山西省晉中市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.1．（5分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）圓x2+y2﹣4x﹣4y=0上的點(diǎn)到直線x+y﹣6=0的最大距離和最小距離的差是（）A． B． C． D．3．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線BC1與EF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．4．（5分）已知a、b、c為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c則b∥c；②若a⊥b，a⊥c則b⊥c；③若a∥b，b⊥c則a⊥c．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)5．（5分）若直線y=kx+2k與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，則a的取值范圍是（）A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）7．（5分）如果圓（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3） C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）8．（5分）已知三棱錐P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．16π B．32π C．64π D．128π9．（5分）已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P（不在x軸上）為橢圓上的一點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（5分）已知橢圓x2+2y2=8的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓上的任意一點(diǎn)，AP是∠F1AF2的外角平分線，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．11．（5分）已知點(diǎn)F為拋物線y2=﹣8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為（）A．6 B． C． D．4+212．（5分）設(shè)奇函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（2，7），則a=．14．（5分）某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積的最大值為．15．（5分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣2+a有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．16．（5分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB斜傾角分別為α，β，則|tanα﹣tanβ|的最小值為．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面為BC上一點(diǎn)，且．（1）證明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱錐P﹣ABCD的體積．19．（12分）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），端點(diǎn)A在圓C：（x+1）2+y2=4上運(yùn)動(dòng)．（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡；（2）過(guò)B點(diǎn)的直線L與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A，D．當(dāng)CA⊥CD時(shí)，求L的斜率．20．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在與x=1處都取得極值．（1）求a，b的值；（2）若對(duì)x∈R，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．21．（12分）已知橢圓的離心率為，又點(diǎn)在該橢圓上．（1）求橢圓E的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，求△ABC的最大面積．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函數(shù)g（x）的極大值；（3）若a=﹣2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，證明：．

2016-2017年山西省晉中市高二上期末數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.1．（5分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：因?yàn)閍，b都是實(shí)數(shù)，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分條件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要條件．故選D2．（5分）圓x2+y2﹣4x﹣4y=0上的點(diǎn)到直線x+y﹣6=0的最大距離和最小距離的差是（）A． B． C． D．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y=0的圓心（2，2），半徑是2，圓心到直線x+y﹣6=0的距離：d==＜2∴圓x2+y2﹣4x﹣4y=0上的點(diǎn)到直線x+y﹣6=0的最大距離和最小距離的差是3﹣0=3．故選B．3．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線BC1與EF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，則E（2，1，0），F(xiàn)（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），設(shè)直線BC1與EF所成角為θ，則cosθ=|cos＜，＞|===．∴直線BC1與EF所成角的余弦值是．故選：B．4．（5分）已知a、b、c為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c則b∥c；②若a⊥b，a⊥c則b⊥c；③若a∥b，b⊥c則a⊥c．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解答】解：兩條直線都與第三條直線垂直，只兩條直線之間的位置關(guān)系不能確定，故①②不正確，若a∥b，b⊥c則a⊥c，這里符合兩條直線的關(guān)系，是我們求兩條直線的夾角的方法，故③正確，綜上可知有一個(gè)正確的說(shuō)法，故選B．5．（5分）若直線y=kx+2k與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：由得x2+y2=1，（y≥0），對(duì)應(yīng)的軌跡為上半圓，直線y=kx+2k過(guò)定點(diǎn)A（﹣2，0），由圓心到直線的距離d==1，可得k=±，若直線y=kx+2k與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則0≤k＜，故選B．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，則a的取值范圍是（）A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）【解答】解：對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立則當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立則a≥（2x﹣x2）max=1故選D．7．（5分）如果圓（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3） C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為圓（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圓x2+y2=2相交，兩圓圓心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故選A．8．（5分）已知三棱錐P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．16π B．32π C．64π D．128π【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圓半徑r==2，所以三棱錐外接球的半徑R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱錐P﹣ABC外接球的表面積S=4πR2=64π．故選：C．9．（5分）已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P（不在x軸上）為橢圓上的一點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)P（x0，y0），（﹣a＜x0＜a），則+=1，∴=．則c2==（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+，∴2c2=+，化為：3c2=a2+，∴=∈[0，1），解得：，解得≤e．故選：C．10．（5分）已知橢圓x2+2y2=8的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓上的任意一點(diǎn)，AP是∠F1AF2的外角平分線，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．【解答】解：∵橢圓x2+2y2=8的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓上的任意一點(diǎn)，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，F(xiàn)1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），可設(shè)A（0，2），P（x，y），則=（x，y﹣2），=（2，﹣2），=（2，2），=（x﹣2，y），∵AP是∠F1AF2的外角平分線，且，∴?=（x，y﹣2）?（x﹣2，y）=x2﹣2x+y2﹣2y=0，①cos＜＞=cos＜，＞，即=，②①②聯(lián)立，解得x=y=2．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足x2+y2=8．故選：A．11．（5分）已知點(diǎn)F為拋物線y2=﹣8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為（）A．6 B． C． D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由拋物線的定義得，∴A到準(zhǔn)線的距離為4，即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，又點(diǎn)A在拋物線上，∴從而點(diǎn)A的坐標(biāo)A（﹣2，4）；坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B（4，0）則|PA|+|PO|的最小值為：|AB|==故選C．12．（5分）設(shè)奇函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【解答】解：令，∵，∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，∵x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）為減函數(shù)，又由題可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函數(shù)g（x）在R上為減函數(shù)，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故選B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（2，7），則a=1．【解答】解：函數(shù)f（x）=ax3+x+1的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切線方程為：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因?yàn)榍芯€方程經(jīng)過(guò)（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案為：1．14．（5分）某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積的最大值為2．【解答】解：由三視圖知該幾何體為棱錐S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面體S﹣ABD的四個(gè)面中SBD面的面積最大，三角形SBD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以此四面體的四個(gè)面中面積最大的為=2．故答案為2．15．（5分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣2+a有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜2．【解答】解：函數(shù)g（x）=ex﹣2函數(shù)是增函數(shù)，g（x）＞﹣2，函數(shù)f（x）=ex﹣2+a有零點(diǎn)，可得a=2﹣ex，可得a＜2．故答案為：a＜2．16．（5分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB斜傾角分別為α，β，則|tanα﹣tanβ|的最小值為1．【解答】解：∵離心率e===，∴=．設(shè)P（x0，y0），橢圓頂點(diǎn)A（﹣a，0），B（a，0），kPA=，kPA?kPB=，又=1，∴，∴kPA?kPB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1．當(dāng)且僅當(dāng)|tanα|=|tanβ|=1時(shí)取等號(hào)．∴|tanα﹣tanβ|的最小值為1，故答案為：1．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：對(duì)于A：，f（x）=y=+，=2，f（2）=2，∴f（x）∈=A．對(duì)于B：x≥1+m或x≤m﹣1．即B=（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）．∵t∈A是t∈B的充分不必要條件，∴≥m+1，或2≤m﹣1，解得m≤﹣，或m≥3．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪[3，+∞）．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面為BC上一點(diǎn)，且．（1）證明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】（1）證明：如圖所示，△ABD為正三角形，∴OB=BD=1．在△OBM中，由余弦定理可得：OM2=×=，∴OM2+BM2=OB2=1，∴OM⊥BC．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC．由PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（2）解：由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，∴MP2=OP2+，AP2=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=22+﹣=．∵M(jìn)P⊥AP，∴AP2+MP2=+OP2+=AM2=，∴OP=．SABCD===2．∴VP﹣ABCD==×=1．19．（12分）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），端點(diǎn)A在圓C：（x+1）2+y2=4上運(yùn)動(dòng)．（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡；（2）過(guò)B點(diǎn)的直線L與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A，D．當(dāng)CA⊥CD時(shí)，求L的斜率．【解答】解（1）設(shè)A（x1，y1），M（x，y），由中點(diǎn)公式得x1=2x﹣1，y1=2y﹣3因?yàn)锳在圓C上，所以（2x）2+（2y﹣3）2=4，即x2+（y﹣1.5）2=1．點(diǎn)M的軌跡是以（0，1.5）為圓心，1為半徑的圓；（2）設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0因?yàn)镃A⊥CD，△CAD為等腰直角三角形，由題意知，圓心C（﹣1，0）到L的距離為．由點(diǎn)到直線的距離公式得=，∴4k2﹣12k+9=2k2+2∴2k2﹣12k+7=0，解得k=3±．20．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在與x=1處都取得極值．（1）求a，b的值；（2）若對(duì)x∈R，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2+2ax+b由已知有，解得a=﹣，b=﹣2；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣，由f'（x）＜0得﹣＜x＜1，故當(dāng)x=﹣時(shí)，f（x）有極大值c+，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值c﹣，若對(duì)x∈R，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得：﹣＜c＜．21．（12分）已知橢圓的離心率為，又點(diǎn)在該橢圓上．（1）求橢圓E的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，求△ABC的最大面積．【解答】解：（1）依題意，得，解得，∴橢圓的方程為+=1．（2）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程為y=x+m，則有，整理，得4x2+2mx+（m2﹣4）=0，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）=﹣8m2+64＞0，解得﹣2＜m＜2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：x1+x2=﹣m，x1x2=，|BC|==|x1﹣x2|=，設(shè)d為點(diǎn)A到直線BC的距離，則d==|m|，∴S△ABC=|BC|?d=．∵≤=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=±2時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)m=±2時(shí)，