高中數(shù)學(xué)必修一集合與集合的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修一集合與集合的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)1.2子集、全集、補(bǔ)集一、課本掃描二、基本概念1、子集的概念A(yù)與B對(duì)于兩個(gè)集合(1)如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或說集合BAB,BA,包含集合A，記作或，這時(shí)，集合A叫做集合B的子集。ABAB,,且(2)如果，我們就說集合A是集合B的真子集，記作AB。,AB,BA,(3)如果同時(shí)，那么AB,。AB子集的概念是由討論集合與集合間的關(guān)系引出的，兩個(gè)集合與之間的關(guān)系如下:,ABABBA,,,,且,AB,,,ABAB,,,,,,AB?,AB?BAùABBA其中記號(hào)(或)表示集合不包含于集合(或者集合不包含集合)。2、子集具有以下性質(zhì):AA,?，即任何一個(gè)集合都是它本身的子集。ABBA,,,AB,?如果，那么。ABBC,,,AC,?如果，那么。ABBC刎,AC??如果，那么。?空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3、關(guān)于有限集合子集個(gè)數(shù)的討論。n2?個(gè)元素的集合有個(gè)子集。nn21,?個(gè)元素的集合有個(gè)真子集。nn21,?個(gè)元素的集合有個(gè)非空子集。nn22,?個(gè)元素的集合有個(gè)非空真子集。n4、全集與補(bǔ)集AA設(shè)S是一個(gè)集合，是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做S中的子A集的補(bǔ)集，記作用數(shù)學(xué)式子表示為:CAsCAxxSxA,,,且。,,SSSU如果集合含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，我們稱集合為全集，記作。5、全集與補(bǔ)集的性質(zhì)(1)，(2)，(3)AUCAU,,,CCAA(),CUCU,,,,,UUUUU6、關(guān)于全集與補(bǔ)集的理解(1)全集具有相對(duì)性，是相對(duì)于我們所研究的問題而言的一個(gè)概念。如:小學(xué)數(shù)學(xué)研究的問題常在有理數(shù)集內(nèi)，則有理數(shù)集是全集。初中代數(shù)研究的問題常在實(shí)數(shù)集內(nèi)，則實(shí)數(shù)集就是全集。補(bǔ)集是以全集為前提加以定義的，因此它們是相互依存不可分離的兩個(gè)概念。如:UAB,,,1,2,3,4,1,2，則CACB,,2,3,4,1,3,4。,,,,,,,,,,UU(2)用數(shù)學(xué)的三種語言互澤表示全集與補(bǔ)集:三、基本題型例1、判斷下列關(guān)系是否正確aa,1,2,33,2,1,00,,,0(1);(2);(3),,0;(4);(5);(6),,,,,,,,,,,,,,15,,xx,,0,,0,1,2;(7);(8),,,,,,,,aa,解:(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，因此，正確;,,,,(2)兩個(gè)集合中的元素相同，故用“=”號(hào)正確;(3)空集是任何非空集合的真子集，正確;000,(4)中只有一個(gè)元素0，正確;,,,,0(5),與是兩個(gè)集合，不能用連接;,,,0(6),中沒有任何元素，而中有一個(gè)元素，二者不相等;,,(7)空集是任何非空集合的真子集，正確;15,15,15,？,,？,,xxxx(8)正確。,,,,,,由以上分析可知:(1)(2)(3)(4)(7)(8)正確，(5)(6)錯(cuò)誤。M1,21,2,3,4,5,,MM例2、已知集合滿足，則這樣的集合有多少個(gè),,,,,M分析:由已知集合中至少含有1，2兩個(gè)元素，至多含有1，2，3，4，5五個(gè)元素，故滿足條件的M3,4,5集合的個(gè)數(shù)是的子集個(gè)數(shù)。,,3,4,5,3,4,3,5,4,5,3,4,53,4,5,解:因集合的子集有，共8個(gè)，故滿足,,,,,,,,,,,,,,,,M條件的集合共有8個(gè)。QP3,4,5,評(píng)注:本題易丟掉或兩個(gè)集合，若集合中有個(gè)元素，集合中有個(gè)元素，且mn,,nm,ZP,QPZQ,,，則滿足的集合Z共有個(gè)。2BA,例3、設(shè)，若，求實(shí)數(shù)。AxxxBxax,,,,,,,230,10a,,,,BA,分析:，即B是A的子集，表明集合B的元素都是A的元素。2BA,解:，?，?方程無解或其解為3或,1。ax,,10Axxx,,,,,,2303,1,,,,111或或，或或。？,a0？,a0a,,1,3a,,,1a3aBA,評(píng)注:因?yàn)锳是二元素集，而B的元素最多一個(gè)，所以由可知，B是A的真子集，所以B有三種可能，在做題過程中很容易丟掉的情況。B,,2MabNab,,2,,,2,2,ab,例4、已知，且，求的值。MN,,,,,分析:由可知，兩個(gè)集合中的元素應(yīng)該完全相同，由此，可用集合中元素的性質(zhì)解題。MN,2aa,2,,,ab,,解:根據(jù)集合中元素的無序性，有:或,,2bbba,,;2.,,1,a,,,aa,,0,0,,,,4解方程組得或或,,,bb,,0;1;1,,,b,.,,21,a,,a,0,,4再根據(jù)集合中元素的互異性，得或。,,1b,1,,b,,,2評(píng)注:集合中元素的互異性在解決此類問題時(shí)至關(guān)重要，要引起足夠的重視。U(U,,)MNP,,MP例5、設(shè)集合以及集合，且，則與的關(guān)系MCNCCP,,()UUU是。分析:本題主要考查全集與補(bǔ)集的概念，可選用適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}。MP,解法1:利用補(bǔ)集的性質(zhì)，，故。MCNCCPP,,,()UUU解法2:由圖2-1可知。圖2-1評(píng)注:對(duì)于較抽象的集合之間的關(guān)系，一般用韋恩圖比較簡(jiǎn)單，可達(dá)到變抽象為直觀的目的。22Paa,,,2,2Ua,,2,0,3CP,,1例6、已知全集，子集，且，求。a,,,,,,U分析:要注意到。(),CPUPU,,U2,31,,,,a,解:由補(bǔ)集定義知:解得:。a,2,2aa,,,20,,四、A級(jí)訓(xùn)練1、列舉集合1,2,3的所有子集:,,2、集合0與空集的關(guān)系為:,,,1,,ac,0,1,,1,,3、若，則，，。b,a,c,,,,,b,,4、下列集合中，只有一個(gè)子集的集合是()23A、B、Axx,,0Bxx,,0,,,,23C、D、Cxx,,0Dxx,,0,,,,QU,1,2,0CQ,25、已知全集，且，則集合的真子集共有個(gè)。,,,,UUMN;,6、已知全集是的非空子集，若，則有()UCMN,UA、B、C、D、MN,CMCN,MCN,MCN,UUUU五、發(fā)散思維AxxmnmnZ,,，,1228,、BxxkkZ,,,4,AB,例1、已知，，求證。,,,,xmnmn,，,，12284(37)證明:(1)任取xA,，則,由mnZ、,知37mnZ，,，AB,？,xB，即。xkkk,,,，412(2)28,,？,2,kZxABA,(2)任取xB,，則，由kZ,知，即。AB,由(1)(2)可知。22例2、已知集合，求滿足AxxxBxxxxAPB,,，,,，，,,,,340,(1)(34)0,,,,,P條件的集合。22？,,A解:對(duì)于方程無實(shí)根，。xxxx,，,,,,,,,？,，,340,91670,3402APB,,B,,,4,1,1P，即。，?集合為(1)(34)0,1,1,4xxxx，，,,？,,,,,,,,,,,,,4,1,1,4,1,4,1,1,1,4,1,1。,,,,,,,,,,,,,,AxxxBxxp,,,,,，,1,2,40或AB,p例3、已知集合，當(dāng)時(shí)，求的范圍。,,,,pp,,AB,解:，，?由圖2-2得40,,xpxBxx，,？,,？,,,,,44,,p。,,,？,1,4p4圖2-2評(píng)注:在本書內(nèi)容中，常使用數(shù)軸，韋恩圖這兩類圖形，在與不等式有關(guān)問題中，必須畫出數(shù)軸，有利于快速解題。32SxxxAx,，，,,1,3,32,1,21例4、已知全集，如果CA,0，則這樣的實(shí)數(shù)是否x,,,,,,S存在,若存在，求出;若不存在，說明理由。x322？，，,xxx320解:CAS,？,0,0且。，則，即0,Axxx(32)0，，,,,Sxxxx(1)(2)0,0，，,？,，或，或。x,,1x,,2211x,,A當(dāng)時(shí)，，則中有重復(fù)元素，故;x,0x,0213,1,3xAS,,,,當(dāng)時(shí)，;x,,1,,215,1,5xAS,,,,當(dāng)時(shí)，，故。x,,2x,,2,,由以上可知，所求的實(shí)數(shù)存在，此時(shí)，。x,,1x六、B級(jí)訓(xùn)練2221、，AxyxxByyxxCxxx,,,，,,,，,,，,21,21,210,,,,,,222，DxxxExyyxxFxyxxyR,,，,,,,，,,，,,210,(,)21,(,)210,,,,,,,則下列結(jié)論正確的是()ABCD,,,A、B、DCBA,,,EF,ABE,,C、D、MN,2、設(shè)U是全集，NU,且，則下列各式成立的是()A、B、CMCN,CMN,UUUC、D、CMCN,CNM,UUUURAxaxbCAxxx,,,,,,,,,4,3或3、設(shè)，則，b,。a,,,,,U24、若集合，且AB,，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。AxxaxB,，，,,10,1,2a,,,,七、綜合應(yīng)用與提高2BA,例1、(1)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)組成的集合。AxxxBxax,,，,,,,8150,10a,,,,AxxBxmxm,,,,,，,,,25121BA,(2)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。m,,,,分析:以上兩題，雖然一個(gè)是等式，一個(gè)是不等式，但殊途同歸，解題方法一樣，由于B可能為空集，BA,且時(shí)，仍然有成立，因此，都要分，兩種情況討論。B,,B,,B,,2解:(1)，或，，?時(shí)，？,,ABA3,5,x,5B,,xxx,，,？,8150,3？,,1BA,。?時(shí)，由知，或。將，或代入，得，a,0B,,3,B5,Bx,3x,5ax,,10a,31或。511,,0,,由?、?可知，由組成的集合為。a,,35,,m，,,12,,,BA,2)當(dāng)時(shí)，如圖2-3所示，由得解得。(B,,23,,m215,m,,,,mm，,,121,,圖2-3當(dāng)時(shí)，，解得，由以上可得。B,,mm，,,121m,2m,3BA,BA評(píng)注:(1)說明集合的任何一個(gè)元素都屬于。B(2)集合可能為，這一點(diǎn)在解題時(shí)常常容易忽視，從而致錯(cuò)，在解題時(shí)要特別注意這個(gè)“陷阱”。,A,1,2,3例2、已知集合。,,A(1)寫出的所有子集;A(2)求的所有子集的元素之和;BAB(3)若以這些子集為元素組成集合，判斷與的關(guān)系。分析:第(1)問可以按子集中元素的個(gè)數(shù)分別為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)，進(jìn)行分類討論，寫出所有子集。第(2)問，觀察所有子集的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，求出所有元素的和。BAB第(3)問，用列舉法寫出集合，則、的關(guān)系就會(huì)立即顯露出來。A,,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3解:(1)的所有子集為。,,,,,,,,,,,,,,(2)?元素1出現(xiàn)在四個(gè)子集中，元素2也分別出現(xiàn)在四個(gè)子集中，元素3同樣出現(xiàn)在四個(gè)子集中。(123)424，，，,A?的所有子集的元素之和為。B,,,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3AAB,？,1,2,3,(3)，。,,,,,,,,,,,,,,,,,,八、C級(jí)訓(xùn)練AxkxkBxxAB,，,,,,,,12,13,1、已知，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。,,,,2AxxByyxaaRxA,,,,,,,,,12,2,,2、已知集合，，CzzxxA,,,,,,,,,,CB,是否存在實(shí)數(shù)，使,若存在，求出的范圍;若不存在，說明理由。aa九、高考零距離1、(2002?全國)設(shè)集合A級(jí)訓(xùn)練答案及解析:1、解:含有0個(gè)元素的子集有:;,含有1個(gè)元素的子集有:1,2,3;,,,,,,含有2個(gè)元素有子集有:1,2,2,3,1,3;,,,,,,含有3個(gè)元素的子集有:1,2,3;?共有8個(gè)子集。,,2、解:由于空集是任何非空集事的真子集，因此。,,0,,c,0,a,,1,,1,,3、解:由已知即,1b,1,,b,,c,0,a,,1,,ABCD,,,,,0,,,非正數(shù)負(fù)數(shù)4、C，解:,,,,,,Q,1,01,0,,5、解:，因此有共3個(gè)真子集。,,,,,,6、解:若，則;若，則;所以:，選A。NCM,CNM,NCM,MCN,MCN,UUUUUB級(jí)訓(xùn)練解析及答案:221、解析:的含義是:符合關(guān)系的的值的集合，顯然，可yxx,,，21Axyxx,,,，21xx,,AR,取任意實(shí)數(shù)，所以;222的含義是:符合的y的集合，則yxxx,,，,,,21(1)0Byyxx,,,，21,,Byy,,,0非負(fù)實(shí)數(shù);,,,,22xx,，,210C,1的含義是:方程的根的集合，解得x,1，所以;Cxxx,,，,210,,,,22xx,，,210的含義是:不等式的解集，而Dxxx,,，,210,,22D,,，這樣的不存在，所以;xxx,，,,,21(1)0x22的含義是:拋物線上的所有點(diǎn);yxx,,，21Exyyxx,,,，(,)21,,222xx,，,210的含義是:，即，(1)0,1xx,,？,FxyxxyR,,，,,(,)210,,,xyR,,1()表示直線上的點(diǎn)。答案:B2、解析:作韋恩圖如圖2-4所示，可知答案為A。圖2-4答案:ACCAxx()34,,,3、解析:，而。ACCAab,？,,(),3,4,,UUUU答案:3，42xax，，,104、解析:BAB,,1,2,，？A可以為,,1,2;當(dāng)時(shí)，方程無解，A,,,,,,,,22,,,,a40xax，，,10則，解得;當(dāng)A,1時(shí)，是方程式的根，代入，,,,22ax,1,,得;a,,252xax，，,10當(dāng)A,2時(shí)，是方程式的根，代入，得。x,2a,,,,2522xax，，,10又?方程有且僅有一個(gè)實(shí)根時(shí)，舍去，僅,,,,？,,aa40,2,？,,a2取，由以上可知。a,,2,,,22a2,,,bac4評(píng)注:遇到一元二次方程的根的問題時(shí)，要注意明確判別式的正負(fù)情況，即審清題意，先看方程是否有實(shí)根。答案:,,,22aC級(jí)訓(xùn)練答案及解析k，,11,,,AB,1、解:，？,,A時(shí)，如圖2-5所示，有1123,，,,kk，即21,kk,，,,23,k,,圖2-5,,k,0,,化簡(jiǎn)得k,1,,,3,k,.,23由圖2-6知，使得不等式組同時(shí)成立的的范圍是。k1,,k2圖2-63AB,當(dāng)時(shí)，有，解得。由以上可知，當(dāng)，或時(shí)，都有。A,,kk，,12k,1k,11,,k23由圖2-7可見，這兩部分在數(shù)軸上能連接起來，因此。k,2圖2-722、解:。,,,？,,,,,,,,12,224,04xaxaaxByyxaaRxAyaya,,,,,,,,,,,2,,24即;,,,,2CB,，，?由圖2-8得Czzxx