2023年小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和總結(jié)

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和總結(jié)

二年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類:

-、運(yùn)算符號(hào)類

二、規(guī)律填數(shù)類

三、規(guī)律畫圖類

四、年齡問題類

五、間隔問題類（含值樹問題及智力計(jì)數(shù)）

六、周期問題類

七、有序思索類

八、時(shí)鐘問題類

九、推理及思維訓(xùn)練類（包括算式類）

十、和差問題類

十一、和倍問題類

十二、差倍問題類

十三、一筆畫類

十四、移動(dòng)變換類

十五、智力趣味類（包括巧切西瓜）

十六、雞兔同籠類

十七、盈虧問題類

十八、應(yīng)用類（含數(shù)量關(guān)系、重疊問題、）

三年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：

一、計(jì)算類

計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)口勺基本知識(shí)，也是學(xué)好奧數(shù)的基礎(chǔ)。能否又快又準(zhǔn)時(shí)算出答案，是歷年

數(shù)學(xué)競(jìng)賽考察的一種基本點(diǎn)。三年級(jí)日勺計(jì)算包括：速算與巧算、數(shù)列規(guī)律、數(shù)列求和、等

差數(shù)列的和等。

二、應(yīng)用題類

從三年級(jí)起，大量的奧數(shù)專題知識(shí)都是所有年級(jí)所有競(jìng)賽考試中必考的重點(diǎn)知識(shí)。學(xué)生們

一定要在各個(gè)應(yīng)用題專題學(xué)習(xí)的初期打下良好的基礎(chǔ)。（1）和倍、差倍問題：

用線段標(biāo)識(shí)等措施揭示這兩類問題中多種數(shù)量關(guān)系，和倍問題：小數(shù)=和：（倍數(shù)+1）,

三、差倍問題：

小數(shù)=差+（倍數(shù)-1）

（2）年齡問題：

專家處理年齡問題U勺重要措施：和倍、差倍措施;畫圖線段標(biāo)示法。

（3）盈虧問題：

簡介盈虧問題的重要形式（雙盈、雙虧、一盈一虧）

分派總?cè)藬?shù)=盈虧總額+兩次分派數(shù)之差。

（4）植樹問題：

總長、株距、棵樹三要素之間的數(shù)量關(guān)系：總長=株距X段數(shù)，封閉圖形：棵數(shù)=段

數(shù)不封閉圖形：

兩頭都栽：棵數(shù)=段數(shù)+1兩頭都不栽：棵數(shù)=段數(shù)-1一頭栽一頭不栽：棵數(shù)=段數(shù)

⑸雞兔同籠問題:

簡介雞兔同籠問題H勺由來和重要形式，揭示雞兔同籠問題中日勺數(shù)量關(guān)系，假設(shè)法

⑹行程問題：

相遇問題、追及問題等，相遇時(shí)間=總旅程?速度和，追及時(shí)間=距離+速度差。

(7)周期問題

(8)還原問題

(9)歸一問題

(10)體育比賽中的數(shù)學(xué)、趣題巧解幾何類

三年級(jí)學(xué)校的學(xué)習(xí)中就會(huì)波及到某些簡樸的圖形求周K和面積了，那么在奧數(shù)中圖形問題

波及到的是巧求周長、巧求矩形面積數(shù)論類

目前三年級(jí)也開始波及到了數(shù)論了，是比較簡樸的能被2、3、5整除的性質(zhì)、奇數(shù)和偶

數(shù)、余數(shù)與周期問題。

四年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：

1.圓周率常取數(shù)據(jù)

3.14X1=3.14

3.14X2=6.28

3.14X3=9.42

3.14X4=12.56

3.14X5=15.7

3.15X6=18.84

3.14X7=21.98

3.14X8=25.12

1立方米=27立方尺=1.308立方碼=35.3147立方英尺

1噸=1000公斤=100。千克

1公斤=1000克=2斤（市制）=2.2046磅

5.加減法運(yùn)算性質(zhì)：

同級(jí)運(yùn)算時(shí)，假如互換數(shù)的I位置，應(yīng)注意符號(hào)搬家。加、去括號(hào)時(shí)要注意如下幾

點(diǎn)：括號(hào)前面是加號(hào)，去掉括號(hào)不變號(hào)：加號(hào)背面添括號(hào)，括號(hào)里面不變號(hào)；括號(hào)前面是

減號(hào)，去掉括號(hào)要變號(hào)；減號(hào)背面添括號(hào)，括號(hào)里面要變號(hào)。

6.乘除法運(yùn)算性質(zhì)

乘法中性質(zhì)：（1）乘法互換律（2）乘法結(jié)合律（3）乘法分派律（4）乘法性質(zhì)

（5）積的變化規(guī)律：一擴(kuò)一縮法。

除法中性質(zhì)：當(dāng)被除數(shù)為幾種數(shù)字之和或者差時(shí)才可以用除法分派律積的變化規(guī)

律：同擴(kuò)同縮法。同級(jí)運(yùn)算時(shí)，假如有互換數(shù)的位置，應(yīng)當(dāng)注意符號(hào)搬家。力口、去括號(hào)時(shí)

注意如下幾點(diǎn)：括號(hào)前面是乘號(hào)，去掉或加上括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前面是除號(hào)，去掉或加上

括號(hào)要變號(hào)；

7.等差數(shù)列

數(shù)列是指按一定規(guī)律次序排列成一列數(shù)。假如一種數(shù)列中從第二個(gè)數(shù)開始，相鄰兩

個(gè)數(shù)II勺差都相等，我們就把這樣II勺一列數(shù)叫做等差數(shù)列，等差數(shù)列中"勺每一種數(shù)都叫做

項(xiàng)，第一種數(shù)叫第一項(xiàng)，一般也叫“首項(xiàng)”，第二個(gè)數(shù)叫第二項(xiàng)，第三個(gè)數(shù)叫第三項(xiàng)……

最終一項(xiàng)叫做“末項(xiàng)”。等差數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差叫做“公差”，等差數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫

做“項(xiàng)數(shù)”。公式：和二（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2項(xiàng)數(shù)二（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+公差+1第n項(xiàng):

首項(xiàng)+（n-1）義公差

8.和倍問題

己知幾種數(shù)口勺和及這幾種數(shù)之間H勺倍數(shù)關(guān)系，求這幾種數(shù)的應(yīng)用題叫和倍問題。解

答和倍問題，一般是先確定較小的數(shù)為原則數(shù)（或稱一倍數(shù)），再根據(jù)其他幾種數(shù)與較小

數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，確定總和相稱于原則數(shù)的多少倍，然后用除法求出原則數(shù)，再求出其他各

數(shù)，最佳采用畫線段圖的措施。和倍公式：和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)

9.差倍問題

已知兩個(gè)數(shù)日勺差及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫差倍問題。解答差

倍問題，一般以較小數(shù)作為原則數(shù)（?倍數(shù)），再根據(jù)大小兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，確定差

是原則數(shù)的多少倍，然后用除法先求出較小數(shù)，再求出或大數(shù)。解答此類問題，先畫線段

圖，協(xié)助分析數(shù)量關(guān)系。差倍公式：差+（倍數(shù)一1）二小數(shù)

10.和差問題

和差問題是根據(jù)大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)H勺差求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。解

答和差問題的I基本公式是：（和一差）?2二較小數(shù)（和+差）+2=較大數(shù)九、

11.年齡問題

己知兩個(gè)人或幾種人I月年齡，求他們年齡之間的某種數(shù)量關(guān)系；或己知某些人年齡

之間U勺數(shù)量關(guān)系，求他們U勺年齡等，這種題稱為年齡問題。年齡問題的特點(diǎn)是：一般用和

差或者和倍問題的措施解答。（1）兩人的年齡之差是不變的，稱為定差。（2）兩個(gè)人U勺

年齡同步都增長同樣的數(shù)量。（3）兩個(gè)年齡之間的倍數(shù)關(guān)系，伴隨年齡的增長，也在發(fā)牛.

變化。年齡問題的解題措施是：幾年后二大小年齡之差?倍數(shù)差一小年齡幾年前二小年齡一

大小年齡差?倍數(shù)差

12.平均數(shù)

求平均數(shù)必須懂得總數(shù)和份數(shù)，常用公式：平均數(shù)=總數(shù)+份數(shù)總數(shù)=平均數(shù)X份數(shù)

份數(shù)=總數(shù)+平均數(shù)相遇問題行程問題又分為相遇問題、

13.相遇與追及問題

旅程=速度X時(shí)間時(shí)間=旅程+速度速度=旅程+時(shí)間。

相遇問題它的I特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體或人，同步或不一樣步從兩地相向而行，或同步

同地相背而行，要解答相遇問題，掌握如卜數(shù)量關(guān)系：

速度和X相遇時(shí)間=旅程旅程4?速度和=相遇時(shí)間速度+相遇時(shí)間=速度和

追及問題運(yùn)動(dòng)的物體或人同向而不?樣步出發(fā)，后出發(fā)的速度快，通過?段時(shí)間追

上先出發(fā)的，這樣H勺問題叫做追及問題，解答追及問題的基本條件是“追及旅程”和“速

度差”。追及問題的基本數(shù)量關(guān)系是：

追及時(shí)間;追及旅程?速度差追及旅程;速度差X追及時(shí)間速度差=追及旅程

+追及時(shí)間

14.行船問題

船在江河里航行，前進(jìn)日勺速度與水流動(dòng)的I速度有關(guān)系。船在流水中行程問題，叫做行

船問題（也叫流水問題），船順流而下的速度和逆流而上的速度與船速、水速的關(guān)系是：

順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速一水速

由于順?biāo)俣仁谴倥c水速的和，逆水速度是船速與水速的差，因此行船問題就是和

差問題，因此解答行船問題有時(shí)需要駝?dòng)煤筒顔栴}的數(shù)量關(guān)系。

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）:2水速=（順?biāo)俣纫荒嫠俣龋?-2

由于行船問題也是行程問題，因此在行船問題中也反應(yīng)了行程問題的旅程、速度與時(shí)

間的關(guān)系。

順?biāo)贸?順?biāo)俣萖時(shí)間逆水旅程=逆水速度X時(shí)間

15.過橋問題

過橋問題口勺一般數(shù)量關(guān)系是：

旅程=橋長+車長車速=（橋長+車長）子通過時(shí)間通過時(shí)間=（橋長+車長）+車

速車長=車速X通過時(shí)間一橋長橋長=車速X通過時(shí)間一車長

16.植樹問題

在首尾不相接日勺路線上植樹，段數(shù)與棵數(shù)關(guān)系可分為三類：

（1）兩端都種樹段數(shù)=棵數(shù)一1（2）一端種一端不種段數(shù)=棵數(shù)（3）兩端都不種段數(shù)

=棵數(shù)十1（4）在首尾相接H勺路線上種樹（如圓、正方形、閉合曲線等）段數(shù)=棵數(shù)

17.還原問題

還原問題又叫逆推問題。已知一種數(shù)H勺成果，再通過逆運(yùn)算反求原數(shù)，叫做還原問

題。處理此類題要從成果出發(fā)，逐漸向前一步一步推理，每一步運(yùn)算都是本來運(yùn)算的逆運(yùn)

算（即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）。

18.方陣問題

諸多的人或物按一定條件排成正方形（簡稱方陣），再根據(jù)己知條件求總?cè)藬?shù)，此類

題叫方陣問題。在處理方陣問題時(shí)，要弄清方陣中某些量（如層數(shù)，最外層人數(shù)，最里層

人數(shù)，總?cè)藬?shù)）之間的關(guān)系。方陣問題的基本特點(diǎn)是：

（1）方陣不管在哪一層，每邊的人數(shù)都相似，每向里面一層，每邊上的人數(shù)減少2,

每一層就少8。

（2）每層人數(shù)=（每邊人數(shù)一1）X4

（3）每邊人數(shù)=每層人數(shù)+4+1

（4）實(shí)心方陣人數(shù)=每邊人數(shù)X每邊人數(shù)

19.幻方與數(shù)陣

幻方H勺特點(diǎn)：一種幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的幾種數(shù)日勺和都相等。這相相等的

和叫“幻和”。

兩種措施：

奇階：1、九子排列法2、羅伯法，3、巴舍法。

偶階：1、對(duì)稱互換法2、圓心方陣法。數(shù)陣有三種基本類型：（1）封閉型，（2）輻

射型（3）綜合型解數(shù)陣問題?般思緒是從和相等入手，確定重處長使用的中心數(shù)，是解答

解數(shù)陣類型題的解題關(guān)鍵，?般答案不唯%

20.奇數(shù)與偶數(shù)

加法：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)

減法：偶數(shù)一偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)一奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)一奇數(shù)=奇數(shù)

乘法：偶數(shù)義偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)盈虧問題解

21.盈虧問題

一般是比較法和對(duì)應(yīng)法結(jié)合使用。公式是：（同盈同虧用減法，一虧一盈用加法）

即：兩次分派成果差?兩次分派數(shù)差=人數(shù)

22.牛吃草問題

牛吃草問題波及三種數(shù)量：A.原有的草。B.新長出時(shí)草。C.牛吃掉的草。

牛吃草問題解法一般分為三步：一、求每天新生的草量；二、求原有草量；三、求出

最終的問題。（類似于行程問題中II勺追及問題）

23.還原問題

解題關(guān)鍵：在從后往前推算的過程中，每一步都是做同本來相反的運(yùn)算，本來加H勺，

運(yùn)算時(shí)用減；本來減的I,運(yùn)算時(shí)用加：本來乘時(shí)，運(yùn)算時(shí)用除；本來除口勺，運(yùn)算時(shí)用乘。

24.假設(shè)問題

假設(shè)法是解答應(yīng)用題時(shí)常常用到H勺一種措施。所謂“假設(shè)法”就是依據(jù)題目中的己知

條件或結(jié)論作出某種設(shè)想，然后按照已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，再合適

調(diào)整，從而找到對(duì)的答案。

25.余數(shù)問題

一?種帶余數(shù)除法算式包括4個(gè)數(shù)：被除數(shù)?除數(shù)=商””余數(shù)。它們的J關(guān)系也可表達(dá)

為：被除數(shù)=除數(shù)X商十余數(shù)，或（被除數(shù)一余數(shù)）+除數(shù)=商。

26.?筆畫和多筆畫

（1）但凡由偶點(diǎn)構(gòu)成的連通圖，一定可以一筆畫成；畫時(shí)可以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最終能

以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖，

（2）但凡只有兩個(gè)奇點(diǎn)［其他均為偶點(diǎn)）的連通圖，一定可以一筆畫完；畫時(shí)必須以一種

奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一種奇點(diǎn)為終點(diǎn)。

（3）多筆畫定理有2n（n>l）個(gè)奇點(diǎn)I向連通圖形，可以用n筆畫完（彼此無公共線），

并且至少要n次畫完.

27.抽屜原理

抽屜原則一：把n+1（或更多）個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一種抽屜里有兩個(gè)或

兩個(gè)以上的蘋果。

抽屜原則二：把（mXn+1）個(gè)（或更多種）蘋果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，必須一種抽屜里有

（m+1）個(gè)（或更多U勺）蘋果。

闡明：應(yīng)用抽屜原則解題，要從最壞H勺狀況去思索

28.分解因式把一種合數(shù)寫成幾種質(zhì)數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)。一種自然數(shù)的約數(shù)的

個(gè)數(shù)，恰為各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1后的乘積。一種數(shù)的完全平方數(shù)，各個(gè)質(zhì)因數(shù)H勺個(gè)數(shù)，

恰好是平方前這個(gè)數(shù)各個(gè)質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)的2倍。一種完全平方數(shù)各個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶

數(shù)。

29.最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

求兩個(gè)數(shù)口勺最大公約數(shù)一般有三種措施：（1）分解質(zhì)因數(shù)法（2）短除法（3）輾轉(zhuǎn)相除

法

30.分?jǐn)?shù)的比較

分母相似日勺分?jǐn)?shù)比較大小，分子大的分?jǐn)?shù)比較大。分子相似的分?jǐn)?shù)比較大小，分母大的分

數(shù)反而小。分子和分母都不相似的I分?jǐn)?shù)比較大小，可以把它們轉(zhuǎn)化成分母相似的分?jǐn)?shù)比較

大??；也可以把它們轉(zhuǎn)化成分子相似口勺分?jǐn)?shù)比較大小。

性質(zhì)：

1.一種真分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上同一種自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。

2.一種真分?jǐn)?shù)日勺分子、分母都減去同一種自然數(shù)（這個(gè)自然數(shù)不不小于真分?jǐn)?shù)的分子），

所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小。

3.一種假分?jǐn)?shù)日勺分子、分母都減去同一種自然數(shù)（這個(gè)自然數(shù)不不小于假分?jǐn)?shù)分母），所

得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。

4.一種假分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一種自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小。

31.剪紙問題

公式：2對(duì)折后剪的次數(shù)+1=段數(shù)。

32.最大最小

1、解答最大最小日勺問題，可以進(jìn)行枚舉比較。在有限的狀況下，通過計(jì)算，將所有狀況日勺

成果列舉出來，然后比較出最大值或最小值。

2、運(yùn)用規(guī)律。（1）兩個(gè)數(shù)日勺和一定，則它們的差越靠近，乘積越大；當(dāng)它們相等（差為

0）時(shí)，乘積最大。

3、考慮極端狀況。如“連接兩點(diǎn)間的線段最短”、“作對(duì)稱點(diǎn)”、“聯(lián)絡(luò)實(shí)際考慮問

題”等。

33.比較大小

估算最常用的技巧是“放大縮小”，即先對(duì)杲個(gè)數(shù)或算式進(jìn)行合適的I“放大”或“縮

小”，確定它的取值范圍，再根據(jù)其他條件得出成果，調(diào)整放縮幅度日勺措施有兩條：一是

分組（分段），并盡量使每組所對(duì)應(yīng)的原則相似：另一種措施是按近似數(shù)乘除法計(jì)算法

則，比規(guī)定的精確度多保留一位，進(jìn)行計(jì)算。

34.鐘表問題

解答鐘表問題，我們首先想措施把有些能轉(zhuǎn)化成相遇或追及問題日勺轉(zhuǎn)化為相遇或追及問題

來解答。需記住如下常用數(shù)據(jù)：鐘表上有12大格，60小格，每大格30度，每小格6

度。，分針每分鐘走：6度；時(shí)針每分鐘走：0.5度；速度差：5.5度2解答鐘表上的時(shí)間

快慢問題，關(guān)鍵是抓住單位時(shí)間內(nèi)的誤差，然后根據(jù)某一時(shí)間段內(nèi)含多少個(gè)單位時(shí)間，就

可以求出這一時(shí)間段內(nèi)的誤差。

35.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的計(jì)算

解答較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，一定要找準(zhǔn)單位“1”，假如單位“1”11勺量是變化U勺，就要從

題目中找出不變II勺量，把不變的量看作單位“1”，將己知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出所求數(shù)量相

稱于單位“1”的J幾分之幾，再列式解答。2還可以借助線段圖來協(xié)助理解題意，列式解

答。3對(duì)較更雜H勺分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，還可以列方程來解答。

36.利潤問題

解答利潤問題你必須理解如下的關(guān)系式。

（1）利潤=賣價(jià)一成本

（2）利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)一成本）?成本X100%

（3）賣價(jià)=成本X（1+利潤率）

（4）成本=賣價(jià)+（1+利潤率）

（5）折扣=實(shí)際售價(jià)+原售價(jià)X100%（折扣VI）

（6）利息=本金X利率X時(shí)間

（7）稅后利息=本金X利率X時(shí)間X（l—20%）

37.濃度問題

溶質(zhì)的重量+溶劑E向重量=溶液日勺重量溶質(zhì)H勺重量+溶液的重量X100%=濃度溶液

的重量X濃度=溶質(zhì)的J重量

五年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件：幾種數(shù)的和與差幾種數(shù)的和與倍數(shù)幾種數(shù)的差與倍數(shù)

公式合用范圍：已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式：①（和-差）+2二較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù)和-較小數(shù)二較大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)較大數(shù)-差二較小數(shù)和-較大數(shù)=較小數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)和-小數(shù)=大數(shù)

差?（倍數(shù)T）=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)+差=大數(shù)

關(guān)鍵問題：求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2.年齡問題的三個(gè)基本特性：

①兩個(gè)人H勺年齡差是不變的J；

②兩個(gè)人H勺年齡是同步增長或者同步減少的；

③兩個(gè)人H勺年齡的J倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3.歸一問題的基本特點(diǎn):

問題中有一種不變?nèi)丈琢?，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣日勺速度”……等詞

語來表達(dá)。

關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4.植樹問題

基本類型：在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉日勺曲線上

植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上

植樹

基本公式：棵數(shù)二段數(shù)+1

棵距X段數(shù)二總長棵數(shù)二段數(shù)T

棵距X段數(shù)二總長棵數(shù)二段數(shù)

棵距X段數(shù)二總長

關(guān)犍問題：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)I內(nèi)關(guān)系

5.雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；

基本思緒：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙同樣或者乙和甲同樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不一樣的差，找出這個(gè)差是多少；

③每個(gè)事物導(dǎo)致時(shí)差是固定H勺，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

④再根據(jù)這兩個(gè)差作合適口勺調(diào)整，消去出現(xiàn)歐I差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)二（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+（兔腳數(shù)-雞腳

數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)二（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）-?（兔腳數(shù)一雞腳

數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量時(shí)差與單位量日勺差。

6.盈虧問題

基本概念：一定量的I對(duì)象，按照某種原則分組，產(chǎn)生一種成果：按照另一種原則分組，又

產(chǎn)生一種成果，由于分組的原則不一樣，導(dǎo)致成果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組

數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

基本思緒：先將兩種分派方案進(jìn)行比較，分析由于原則的差異導(dǎo)致成果的變化，根據(jù)這個(gè)

關(guān)系求出參與分派的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量。

基本題型:

①一次有余數(shù)，另一次局限性;

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+局限性數(shù)）+兩次每份數(shù)的J差

②當(dāng)兩次均有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)二（較大余數(shù)一較小余數(shù)）:兩次每份數(shù)日勺差

③當(dāng)兩次都局限性；

基本公式：總份數(shù)二（較大局限性數(shù)一較小局限性數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總?cè)丈捉M數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總?cè)丈捉M數(shù)。

7.牛吃草問題

基本思緒：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不?樣的吃法，求出具中的總草量

的差;再找出導(dǎo)致這種差異日勺原因，即可確定草日勺生長速度和總草量。

基本特點(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長量二（較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間又短時(shí)間牛頭數(shù)）+（長時(shí)間-短

時(shí)間）；

總草量二較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間X生長量；

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特性有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把持續(xù)兩次出現(xiàn)所通過的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期，

閏年：一年有366天;

①年份能被4整除;②假如年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除;②假如年份能被100整除，但不能被400整除；

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量4■平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一種數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差時(shí)和+總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，運(yùn)用基本公式①進(jìn)行計(jì)算。

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出日勺數(shù)之間日勺關(guān)系，確定?種基準(zhǔn)數(shù)；?般選與所有數(shù)比較

靠近的,數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為原則，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有

差日勺和；再求出這些差的平均數(shù)；最終求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均

數(shù)，詳細(xì)關(guān)系見基本公式②。

10.抽屜原理

抽屜原則一：假如把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一種抽屜中至少放有2個(gè)物

體。

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有如

下四種狀況：

①4=4+0+0②43+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

觀測(cè)上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一種共同特點(diǎn)：總有那么一種抽屜里有

2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一種抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：假如把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n》m,那么必有一種抽屜至少有：

①k二[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②女二門/田個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解知識(shí)點(diǎn)：[X]表達(dá)不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜H勺量，而后根據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)

算

11.定義新運(yùn)算

基本概念：定義?種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包具々多種基本（混合）運(yùn)算。

基本思緒：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除日勺運(yùn)算，然后

按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問題：對(duì)的理解定義時(shí)運(yùn)算符號(hào)的意義。

注意事項(xiàng)：①新日勺運(yùn)算不?定符合運(yùn)算規(guī)律，尤其注意運(yùn)算次序。

②個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

12.等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的J,這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)

列。

基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一種數(shù)，一般用al表達(dá)；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表達(dá)；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表達(dá)；

通項(xiàng)：表達(dá)數(shù)列中每一種數(shù)的公式，一般用an表達(dá)；

數(shù)列的和：這一數(shù)列所有數(shù)字的和，一般用Sn表達(dá)。

基本思緒：等差數(shù)列中波及五個(gè)量：al,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中波及四個(gè)量，假

如己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè);求和公式中波及四個(gè)量，假如己知其中三個(gè)，就可以求

這第四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式：an=al+(n-l)d;

通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一1)X公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)Xn-r2;

數(shù)列和二(首項(xiàng)+末項(xiàng))X項(xiàng)數(shù)+2;

項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+al)-rd+1;

項(xiàng)數(shù)二(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1；

公差公式：d=(an-al))4-(n-l);

公差二(末項(xiàng)-首項(xiàng))+(項(xiàng)數(shù)T);

關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13.二進(jìn)制及其應(yīng)用

十進(jìn)制：用。?9十個(gè)數(shù)字表達(dá)，逢10進(jìn)1;不一樣數(shù)位上的數(shù)字表達(dá)不一樣的含義，十位

上的2表達(dá)20,百位上的2表達(dá)200。因此234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX10n-l+An-lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+/\n-4X10n-5+An-6X10n-

7+...+A3X102+A2X101+A1X100

注意：NO=1;N1=N(其中N是任意自然數(shù))

二進(jìn)制：用0?1兩個(gè)數(shù)字表達(dá)，逢2進(jìn)1;不一樣數(shù)位上的數(shù)字表達(dá)不一樣的含義。

(2)=AnX2n-1+An-1X2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7

+A3X22+A2X21+A1X20

注意：An不是。就是1。

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1H勺特點(diǎn)，用2持續(xù)清除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次

所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不不小于該數(shù)日勺2時(shí)n次方，再求它們的差，再找不不小于這個(gè)差的2

的n次方，依此措施一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

加法原理：假如完畢一件任務(wù)有n類措施，在第一類措施中有ml種不一樣措施，在第二類

措施中杓m2種不一樣措施……，在第n類措施中杓mn種不一樣措施，那么完畢這件任務(wù)

共有：ml+m2,o..o..+mn種不一樣日勺措施。

關(guān)鍵問題：確定工作的分類措施。

基本特性：每一種措施都可完畢任務(wù)。

乘法原理：假如完畢一件任務(wù)需要提成n個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行，做第1步有ml種措施，不管第1步

用哪一種措施，第2步總有m2種措施……不管前面步用哪種措施，第n步總有mn種

措施，那么完畢這件任務(wù)共有：mlXm2.o..o..Xmn種不一樣的措施。

關(guān)鍵問題：確定工作的完畢環(huán)節(jié)。

基本特性：每一步只能完畢任務(wù)的一部分。

直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。

線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。

射線：把直線打勺一端無限延長。

射線特點(diǎn)：只有一種端點(diǎn);沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點(diǎn)數(shù)—1);

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1);

③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1乂1+2乂2+3義3+???+行數(shù)乂列數(shù)

15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一種數(shù)除了1和它自身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素

數(shù)。

合數(shù)：一種數(shù)除了1和它自身之外，尚有別R勺約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：假如某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)口勺質(zhì)因數(shù)，

分解質(zhì)因數(shù)：把一種數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘口勺形式表達(dá)出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。一般用短

除法分解質(zhì)因數(shù)。任何?種合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的J成果是唯?的。

分解質(zhì)因數(shù)的原則表達(dá)形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的J質(zhì)因

數(shù)，且al《……《p》

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X……X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：假如兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16.約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a可以被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：幾種數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一種，叫做這

幾種數(shù)的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾種數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得口勺幾種商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾種數(shù)口勺最大公約數(shù)都是這幾種數(shù)的)約數(shù)。

3、幾種數(shù)的公約數(shù)，都是這幾種數(shù)的最大公約數(shù)日勺約數(shù)。

4、幾種數(shù)都乘以一種自然數(shù)m,所得H勺積的最大公約數(shù)等于這幾種數(shù)的最大公

約數(shù)乘以限

例如：12的約數(shù)有如2、3、4、6、12;

18日勺約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6;

求最大公約數(shù)基本措施：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相似的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有日勺約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每?次都用除數(shù)和余數(shù)相除，可以整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求

的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾種數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一種，叫做這

幾種數(shù)的最小公倍數(shù)。

12II勺倍數(shù)有：12、24、36、48……;

181付倍數(shù)有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……;

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作［12,18］那6;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)日勺乘枳等于這兩個(gè)數(shù)日勺乘積。

求最小公倍數(shù)基本措施：1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的J措施

17.數(shù)H勺整除

一、基本概念和符號(hào)：

1、整除：假如一種整數(shù)a,除以一種自然數(shù)b,得到一種整數(shù)商c,并且沒有余

數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“I”,不能整除符號(hào)"“；由于符號(hào)"I’,因此的符

號(hào)“J”；

二、整除判斷措施：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所構(gòu)成時(shí)數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位日勺數(shù)字所構(gòu)成日勺數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所構(gòu)成11勺數(shù)與末三位此前的數(shù)字所構(gòu)成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字及I2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所構(gòu)成的數(shù)與末三位此前的數(shù)字所構(gòu)成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和I內(nèi)差能被11整除。

③逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所構(gòu)成日勺數(shù)與末三位此前日勺數(shù)字所構(gòu)成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除H勺性質(zhì)：

1.假如a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.假如a能被3整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.假如a能被3整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.假如a能被3、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18.余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,假如使得a+b=q.......r,且0《p》

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)不不小于除數(shù)。

②若a、b除以?？谏子鄶?shù)相似，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c日勺余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)附和除以c

的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以cW、J

余數(shù)。

19.余數(shù)、同余與周期

一、同余打勺定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相似，則稱a、b對(duì)于模m同余。

②己知三個(gè)整數(shù)a、b、m,假如m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a三b

(modm),讀作a同余于b模m。

二、同余H勺性質(zhì)：

①自身性：a=a(modm);

②對(duì)稱性：若a三b(modm),則b=a(modm);

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm);

④和差性：若a=b(modm),c=d(modm)?則a+c=b+d(modm),arc三

b-d(modm);

⑤相乘性：若a三b(modm)?c=d(modm),貝UaXc三bXd(modm);

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm);

⑦同倍性：若a三b(modm),整數(shù)c,則aXc三bXc(modmXc);

三、有關(guān)乘方的預(yù)備知識(shí)：

①若A=aXb,fflM/\=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d則M3=Mc+d=MeXUd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特性：

①一種自然數(shù)M,n表達(dá)M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod

3);

②一種自然數(shù)M,X表達(dá)M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表達(dá)Ml對(duì)各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上

數(shù)字的和，則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11);

五、費(fèi)爾馬小定理：假如P是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，

則apT三1(modp)。

20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)日勺應(yīng)用

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均提成幾份，表達(dá)這樣的一份或幾份口勺數(shù)。

分?jǐn)?shù)的I性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同步乘以或除以相似口勺數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的J大

小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均提成幾份，表達(dá)這樣一份日勺數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)百分之幾歐I數(shù)。

常用措施：

①逆向思維措施：從題目提供條件的反方向（或成果）進(jìn)行思索。

②對(duì)應(yīng)思維措施：找出題目中詳細(xì)的量與它所占日勺率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維措施：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換

成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不一樣的原則（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成

同一條件下的分率。常見的處理措施是確定不?樣的I原則為一倍量。

④假設(shè)思維措施：為理解題時(shí)以便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假

設(shè)某種狀況成立，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的成果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最終成果。

⑤量不變思維措施：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一種量是不變的，不管其他量怎

樣變化，而這個(gè)量是一直固定不變的。有如下三種狀況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。

B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量

不變化。

⑥替代思維措施：用一種量替代另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明

朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化日勺規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的I狀況。

21.分?jǐn)?shù)大小的J比較

基本措施：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相似，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比

較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相似，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比

較。

⑤基準(zhǔn)數(shù)法：確定?種原則，使所的的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母日勺差一定期，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值

越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同步變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上措

施外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（詳細(xì)運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較措施：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一種數(shù)除以另一種數(shù)，成果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一種分?jǐn)?shù)減去另一種分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：運(yùn)用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一種基準(zhǔn)數(shù)，每一種數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.分?jǐn)?shù)拆分

一、將一種分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：

①=+；

②=+（d為自然數(shù)）；

23.完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特性：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余?；蛴?;反之不成立。

3.除以4余?；蛴?;反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)日勺平方之間不也許再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)背面的數(shù)叫比

的后項(xiàng)。

比值：比U勺前項(xiàng)除后來項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同步乘以或除以相似的數(shù)（零除外），比值不變，

比例：表達(dá)兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad二be。

正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與

B成正比。

反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（ABH勺積不變時(shí)），則A與

B成反比。

比例尺：圖上距離與實(shí)際距離口勺比叫做比例尺。

按比例分派：把幾種數(shù)按一定比例提成幾份，叫按比例分派。

25.綜合行程

基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)歐J,它研究的是物體速度、時(shí)間、旅程三者

之間的關(guān)系。

基本公式：旅程;速度義時(shí)間;旅程彳時(shí)間二速度;旅程小速度二時(shí)間

關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中H勺位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時(shí)間;相遇旅程（請(qǐng)寫出其他公式）

追及問題：追及時(shí)間;旅程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）X順?biāo)畷r(shí)間

逆水行程;（船速-水速）X逆水時(shí)間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度二船速-水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速二（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的旅程，參照以上公式。

重要措施：畫線段圖法

基本題型：已知旅程（相遇旅程、追及旅程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、

速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

26.工程問題

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時(shí)間

②工作效率=工作總量+工作時(shí)間

③工作時(shí)間=工作總量+工作效率

基本思緒：

①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一種以便時(shí)數(shù)為工作總量（一般是它們完畢工作總量所用時(shí)間的最小公倍

數(shù)），運(yùn)用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡樸地表達(dá)出工作效率及工作時(shí)間。

關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間日勺兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

經(jīng)驗(yàn)簡評(píng)：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

基本措施簡介：

①條件分析一假設(shè)法：假設(shè)也許狀況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，

假如有與題設(shè)條件矛盾歐I狀況，闡明該假設(shè)狀況是不成立的，那么與他II勺相反狀況是成立

的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完畢時(shí)，就需要進(jìn)

行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的I條件所有表達(dá)在一種長方形表格中，表格的行、

列分別表達(dá)不一樣口勺對(duì)象與狀況，觀測(cè)表格內(nèi)的題設(shè)狀況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。

③條件分析一一圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表達(dá)兩個(gè)

對(duì)象之間歐I關(guān)系，有連線則表達(dá)“是，有”等肯定H勺狀態(tài)，沒有連線則表達(dá)否認(rèn)的狀態(tài)。

例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表達(dá)認(rèn)識(shí)，沒有表達(dá)不認(rèn)識(shí)。

④邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行對(duì)應(yīng)時(shí)

計(jì)算，根據(jù)計(jì)算H勺成果為推理提供一種新的判斷篩選條件。

⑤簡樸歸納與推埋：根據(jù)題目提供的特性和數(shù)據(jù)，分析具中存在H勺規(guī)律和措施，

并從特殊狀況推廣到一般狀況，并遞推出有關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題日勺處理。

28.幾何面枳

基本思緒：

在某些面積的I計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式H勺狀況下，?般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，

平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算;此外

需要掌握和記憶某些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用措施：

1.連輔助線措施

2.運(yùn)用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特

殊位置上）。

4.運(yùn)用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等

腰直角三角形口勺面積）

②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面枳相等。

③圓口勺面積占外接正方形面積口勺78.5%o

29.立體圖形

名稱圖形特性表面積體積

長方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對(duì)日勺面相等；12條楂；相對(duì)H勺棱相等；S=2

（ab+ah+bh）V=abh=Sh

正方體8個(gè)頂,也;6個(gè)面；所的面相等；12條棱:所有棱相等；S=6a2V=a3

圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開后是長方形；S=S側(cè)+2S底

Sft（=ChV=Sh

圓錐體下底是圓；只有一種頂點(diǎn)；1：母線，頂點(diǎn)究竟圓周上任意一點(diǎn)的距離；

S=S側(cè)+S底

Sffi]=rlV=Sh

球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球U勺半徑。S=4r2V=r3

30.時(shí)鐘問題一快慢表問題

基本思緒：

1、