2024屆北京市某中學高考數學三模試卷含解析

2024屆北京市師大附中高考改學三模試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.“cos2a="”是“a=%乃+工，%￡2”的（）

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.在復平面內，復數Z=4+加（。，對應向量OZ（。為坐標原點），設OZ二一，以射線Ox為始邊，OZ

為終邊旋轉的角為凡則z=〃（cos，十isin"）,法國數學家棣莫弗發(fā)現了棣莫弗定理：4=Mcosa+isina）,

z2=A；(cosft+zsin<92),則z,=%[cos(q)+zsin(<91+幻]，由棣莫弗定理可以導出復數乘方公式:

[r(cosO+isin。)]"=r"(cos〃O+isin〃0,已知z=+,則z=()

A.2>/3B.4C.86D.16

3.如圖所示的程序框圖輸出的S是126,則①應為（）

〃=1,S=O

A.n<5?B.7?<6?C.;?<7?D.n<8?

4.已知數列｛?｝是公差為或…）的等差數列，且4必，4成等比數列，則?。ǎ?/p>

A.4B.3C.2D.1

5.已知集合4=｛1,2,3,4,5,6｝的所有三個元素的子集記為隹，鳥,3一.,紇,〃￡'*.記〃為集合B,中的最大元素,

則偽+&+4+...+a=()

A.45B.105C.15()I).210

6.空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距

離.己知平面,%兩兩互相垂直，點AE。，點A到/，/的距離都是3,點P是a上的動點，滿足P到4的

距離與P到點A的距離相等，則點尸的軌跡上的點到夕的距離的最小值是()

7.已知向量a=(T,2),Z?=(x,x-1),若僅一則，=()

12

A.-B.-C.1D.3

33

8.已知斜率為2的直線/過拋物線C：)，2=2〃x(〃>0)的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點，若線段AB的中點

M的縱坐標為1,則p=()

A.1B.V2C.2D.4

9.某中學有高中生1500人，初中生10D0人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中

抽取一個容量為〃的樣本.若樣本中高中生恰有30人，則〃的值為()

A.20B.50C.40D.60

10.設等差數列｛4｝的前〃項和為s“，若S?=3,S4=l(),則S6=()

A.21B.22C.11D.12

fix

11.已知a>(),若對任意〃?￡(0,+8卜關于x的不等式(x-l)e'--(e為自然對數的底數)

e

至少有2個正整數解，則實數。的取值范圍是()

12.如區(qū)，在棱長為4的正方體5GQ中，￡F，G分別為梭人"，BC,的中點，"為棱AD的中

點，設尸，。為底面ABC。內的兩個動點，滿足平面E尸G,RQ=J萬，則尸歷+尸。的最小值為()

4E3

A.3>/2-lB.3V2-2C.25/5-1D.2>/5-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果是____.

14.在平面直角坐標系X。），中，已知圓T）2=I及點46刀），設點〃是圓C上的動點，在△ACP中，

若44"的角平分線與AP相交于點&〃?,〃），則jY+if的取值范圍是______.

15.命題“對任意x>l,f>］,,的否定是.

16.若點N為點M在平面。上的正投影，則記N=力（加）.如圖，在棱長為1的正方體A8CO-4g中，記平

面A3Q為4，平面A8CO為九點P是線段上一動點，2=〃［乃（2）］,。2=介/。）］.給出下列四個結論：

①。2為AABIR的重心;

②QQ工BD；

4

③當C?二不時，PQJ平面"；

④當三棱錐APB.的體積最大時，三棱錐D,-APB.外接球的表面積為2〃.

其中，所有正確結論的序號是________________.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四面體D4BC中，ABLBC,DA=DC=DB.

（1）求證:平面ABCJ_平面AC。；

（2）若NC4O=30。，二面角C-A3-。為60,求異面直線與8。所成角的余弦值.

r*VZ~

⑻⑴分）已知實數X,-Z滿足.+而+.=2’證明:22

1+X1+），1+2

19.（12分）已知橢圓C：W+的離心率為自，右焦點為拋物線），2=4%的焦點產.

（1）求橢圓。的標準方程；

4

（2）O為坐標原點，過。作兩條射線，分別交橢圓于M、N兩點，若OM、ON斜率之積為求證：AMON

的面積為定值.

20.（12分）已知橢圓。的焦點在x軸上，且順次連接四個頂點恰好構成了一個邊長g為且面積為2&的菱形.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設”（-3,0）,過橢圓。右焦點尸的直線/交于A、8兩點，若對滿足條件的任意直線/,不等式MA-MB<2（2eR）

恒成立，求4的最小值.

21.（12分）如圖，已知橢圓Zh弓+^=人11為其右焦點，直線二二二二二一二1二二橢圓交于二（二〃二卜）,二（匚.二.

兩點，點二二在I：上，且滿足二二二|二二二二二|二二二二二|二二.（點二.二.二二從上到下依次排列）

⑺試用二表示二二:

(〃)證明：原點二到直線/的距離為定值.

22.(10分)如圖，在四棱錐中底面48co是菱形，N4AO=60°,△%￡>是邊長為2的正三角形,

PC=Ji6,E為線段A力的中點.

(1)求證：平面P8C_L平面P8E；

(2)是否存在滿足P/%尸。(％>0)的點/，使得%打8?若存在，求出4的值；若不存在，請說明理

由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

先求出滿足cos2。=-:的a值，然后根據充分必要條件的定義判斷.

2

【詳解】

I27r7[|兀

由cos2a=——得2a=22〃士——，即a=Avr士一，keZ,因此“cos2a=——”是“。二左乃+二，&wZ”的必要

23323

不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考杳充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎.解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷.

2、D

【解析】

根據復數乘方公式：[Ncose+isine)]"=/'(cos〃e+isin〃e),直接求解即可.

【詳解】

、4

71..萬

Z=16cos--f-zsin—

=(6+4=2臣］66J

LV/

IA乃］.?

=16cos4x—H-zsin4x-=-8+8>/3z,

6；k6)

Fl=J(-8)2+(8廚=16.

故選：D

【點睛】

本題考查了復數的新定義題目、同時考查了復數模的求法，解題的關鍵是理解棣莫弗定理，將復數化為棣莫弗定理形

式，屬于基礎題.

3、B

【解析】

試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n

的值，并輸出滿足循環(huán)的條件.

解：分析程序中各變量、各語句的作用，

再根據流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并輸出濮足循環(huán)的條件.

VS=2+22+...+2,=121,

故①中應填n<l.

故選B

點評：算法是新課程中的新增加的內容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視.程序填空也是重要的考試題型,

這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題

型的易忽略點是：不能準確埋解流程圖的含義而導致錯誤.

4、A

【解析】

根據等差數列和等比數列公式直接計算得到答案.

【詳解】

由成等比數列得即(q+2d『=q(q+5d),已知dwO,解得,=4.

故選：4.

【點睛】

本題考查了等差數列，等比數列的基本量的計算，意在考查學生的計算能力.

5、B

【解析】

分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數，即可得解.

【詳解】

集合”含有3個元素的子集共有盤=20,所以Z=20.

在集合g(i=l,2,3,…次)中：

最大元素為3的集合有C；=l個；

最大元素為4的集合有C；=3；

最大元素為5的集合有C：=6；

最大元素為6的集合有盤=10；

所以仇+4+a+2+々=3x1+4x3+5x6+6x10=105.

故選：B.

【點睛】

此題考查集合相關的新定義問題，其本質在于弄清“數原理，分類討論，分別求解.

6、D

【解析】

建立平面直角坐標系，將問題轉化為點尸的軌跡上的點到x軸的距離的最小值，利用戶到工軸的距離等于2到點A的

距離得到P點軌跡方程，得到6)，=(x-3/+929,進而得到所求最小值.

【詳解】

如圖，原廄等價于在直角坐標系xQy中，點4(3,3),尸是第一象限內的動點，滿足尸到％軸的距離等于點尸到點A的

距離，求點尸的軌跡上的點到工軸的距離的最小值.

設P(x,y),則y=J(j_3)2+(y_3)2,化簡得：(％-3『一6)，+9=0,

則6y=(%—3)~+9之9,解得：y-^f

3

即點尸的軌跡上的點到夕的距離的最小值是］.

故選：

【點睛】

本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關鍵是能夠準確求得動點軌跡方程，進而根據軌跡方程構造不等關系求得

最值.

7、A

【解析】

利用平面向量平行的坐標條件得到參數x的值.

【詳解】

由題意得，Z?-2a=(2+冗,工一5),

v{b-2a^lfd,

.-.2(2+x)+x-5=0,

解得x=

故選A.

【點睛】

本題考查向量平行定理，考查向量的坐標運算，屬于基礎題.

8、C

【解析】

設直線/的方程為工=j：，與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得P.

【詳解】

由已知得尸（§,0）,設直線/的方程為x=；），+§,并與V=2px聯(lián)立得V?p）,-p2=0,

設A（X1,Ji）,B（X2,J2）,的中點C（xo,jo）＞

.*.J1+J2=P，

又線段AB的中點M的縱坐標為1,則w=g（J1+J2）=5=1，所以P=2,

故選C

【點睛】

本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題，利用韋達定理是解題的關鍵，屬中檔題.

9、B

【解析】

利用某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比計算即可.

【詳解】

tl

由題意，30=1500X--——,解得〃=50.

1500+1000

故選：B.

【點睛】

本題考杳簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比，本題是一道基礎題.

10、A

【解析】

由題意知Sz'Sq-Sz.Ss-Sj成等差數列，結合等差中項，列出方程，即可求出§6的值.

【詳解】

解：由｛飆｝為等差數列，可知S2，S?-S2，S6-S4也成等差數列，

所以20—S2）=S2+S6—S4，即2x（10—3）=3+56—10,解得4=21.

故選:A.

【點睛】

本題考查了等差數列的性質，考查了等差中項.對于等差數列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和

公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結合等差數列性質，可使得計算量大大減少.

11、B

【解析】

構造函數/（〃2）=〃2-ln（〃z+l）-l（加＞0）,求導可得/（咐在（0,+?）上單調遞增，則/（/%）＞/（（））=-1,問題

zyyzjVzyv

轉化為(x—l)e、一一二<-l,即(xT)eY絲-1至少有2個正整數解，構造的數8(%)=(%-1)吟力(力=絲-1,通過

eee

導數研究單調性，由g(0)=/7(0)可知，要使得g(x)W"(x)至少有2個正整數解，只需g(2)W%(2)即可,代入可求得結

果.

【詳解】

構造函數〃〃?)=機一皿帆+1)-1(,H>0),則:("?)=1一6=、^(機>0),所以〃⑹在(0,+?)上單

調遞增，所以/(〃?)>/(())=—1,故問題轉化為至少存在兩個正整數X,使得(x-l)e'?-—1成立，設

e

^(x)=(x-l)ev,/z(x)=--1,則g'(x)=xe',當工>0時g")>0,g(x)單調遞增；當x>0時，力⑴單

e

調遞增.晨2)4〃(2),整理得〃之日薩.

故選:B.

【點睛】

本題考查導數在判斷函數單調性中的應用，考查不等式成立問題中求解參數問題，考查學生分析問題的能力和邏輯推理

能力，難度較難.

12、C

【解析】

把截面EFG畫完整，可得。在AC上，由QQ=J萬知。在以。為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得

PM+PQ的最小值.

【詳解】

如圖，分別取CQ，OA，AA的中點月,/，，連接易證石,￡6,〃,/,/共面，即平面EFG為截面

EFGHIJ,連接AR,RC,AC,由中位線定理可得AC//￡F,4。仁平面瑁七，EFu平面EFG,則AC//平

面E尸G,同埋可得AR〃平面所G,由ACIAR=A可得平面ARC//平面E尸G,又RP〃平面必'G,P在

平面A8CD上，???P￡AC.

正方體中DR_L平面ABC。，從而有。2_LOQ,：.DQ=^D.Q1-DD；=1,工Q在以。為圓心1為半徑的四

分之一圓（圓在正方形A3CQ內的部分）上，

顯然M關于直線AC的對稱點為E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2>/5-b當且僅當￡P，。，0共線時取等號,

???所求最小值為26-1.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間距離的最小值問題，解題時作出正方體的完整截面求出P點軌跡是第一個難點，第二個難點是求出。點

軌跡.第二個難點是利用對稱性及圓的性質求得最小值.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

該程序的功能為利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得

答案.

【詳解】

模擬程序的運行，可得：5=0,77=1,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，S=l,n=2t

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，5=6,〃=3,

不滿足條件〃〉4,執(zhí)行循環(huán)體，5=27,〃=4,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體,S=124,=5,

此時滿足條件〃>4,退出循環(huán)，輸出S的值為1.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，屬于基礎題.

-V7-2V7+2-

14、--------------

33

【解析】

由角平分線成比例定埋推理可得AQ=2〃Q,進而設點表示向量構建方程組表示點尸坐標，代入圓C方程即可表示

動點。的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點與原點間的距離，所以其最值為圓心到原點的距離加減半徑.

【詳解】

由題可構建如圖所示的圖形，因為是NACP的角平分線，由角平分線成比例定理可知

4^=/=：=4。=2P。,所以/12=2。。.

r\t/丫1

設點。(人〃)，點尸(x,y),即AQ二(加一=

則(〃z-6,〃)=2(x7〃,y-〃)，

3772-V3

x=-------

fn-yjs=2(x-/n)=2

所以

n=2(y-〃)3〃

y=-

?2

又因為點?是圓C:x2+(y-l)2=1上的動點，

(3m-y/3y/3〃八21(/2、24

則［——I+(萬—1)一=］二［m-7)+(〃_§)=§，

故點Q的運功軌跡是以M［乎,|］為圓心g為半徑的圓，

又Vm2+n2即為該圓上的點與原點間的距離，

因為加'用:自邛，所以

缶「療一2療+2一

故答案為：3，3

【點睛】

本題考查與圓有關的距離的最值問題，常常轉化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動點的軌跡方程，屬于中檔題.

15、存在司>1，使得與2工1

【解析】

試題分析：根據命題否定的概念，可知命題“對任怠X>1,X2>\”的否定是"存在玉）>1，使得01

考點：命題的否定.

16、???

【解析】

①點尸在平面A8CD內的正投影為點C,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于

平面4修。，而A4/V1為正三角形，可得往為正三角形八4修2的重心，所以①是正確的：

②取用鼻的中點E,連接AE,則點，在平面的正投影在AE上，記為Q,而平面ACGA，2，&w平

面ACGA，所以。。2，以九所以②正確；

4

③若設4E「CG=M,則由P04E可得RtAMACsRtAMQQ,然后對應邊成比例，可解。尸=弓，所以③正確;

④由于%r桃二%一切四，而初旦A的面積是定值，所以當點尸到平面。的距離最大時，三棱錐R-APB］的

體積最大，而當點Q與點。重合時，點2到平面的距離最大，此時P-44Q為棱長為正的正四面體，其外

接球半徑/?二無，則S球=31，所以④錯誤.

2

【詳解】

因為力(P)=C,連接CA，則有。1平面A8Q,CAc平面陰/1=。2，0=。q=8”做2為正三角形,

所以。2為正三角形.用。的中心，也是AAB|R的重心，所以①正確；

由CA，平面44鼻，可知平面ACGAJ■平面ABQ,記%(P)=Q,

由8OJ,AC3OJ_CC1,可得BO_L平面ACG4，G，02￡平面ACG4,則QQ-LBO,所以②正確;

若PQJ平面夕，則PQJAE,設CP=?O圖l),AEcCG=M由RJMACsRtAMPQ得PQ二宗，易得

2

72

(2,C=—(2-0，由尸QJAE,則NPQC=NMAC,由tanN-QC=lanNMAC得，&二正，解得

3

3

4

t=CP=-t所以③正確;

當尸與C重合時，匕…人…入最大，夕-4用口為棱長為虛的正四面體，其外接球半徑R=手，則s球=3萬,

所以④錯誤.

故答案為：①②③

【點睛】

此題考杳立體幾何中的垂直、平行關系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析

(2)正

6

【解析】

(1)取AC中點￡連接“。,以，得~LAC,可得==

可證j.DEAggm,可得DF上FB,進而平面48C,即可證明結論；

(2)設E,G,〃分別為邊人的中點，連DE,EF,GF,FH,HG,可得G〃//AZ),GH//BCyEF//BCt

可得NROT(或補角)是異面直線A。與3c所成的角，3c_LA3,可得上下_LA3,/DEF為二面角C-AB-D

的平面角，即ND所=60,設AD=a,求解AFGH,即可得出結論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點F,連接產必，

由DA=DC,則DF±AC,

?.?AB1BC,則E4=/^=FC,

故DF^,DFB,/DFB=ZDFA=-,

2

???DF±AC,DF_LFB,ACcFB=F

???￡)/，平面ABC,又u平面AC。，

故平面45C_L平面ACQ

(2)解法一:設G,“分別為邊CD,B。的中點，

則9//八。,6〃//3。，

/FGH(或補角)是異面直線4。與BC所成的角.

設E為邊A8的中點，則)V/3C,

由A8_L8C,知上廠_LAZL

又由（1）有」平面A6c.k_LA8,

EF^DF=F,A6_L平面DEF,;.DE_LAB.t

所以NQE/為二面角C-A/—。的平面角，「.NO所=60,

設￡＞八=。。=。3=〃,則DF=AD/CAD"

2

在RfADEF中,EF=--=—a

236

從而GH=LBC=EF=^4

26

在RNBDF中,FH=-BD=-

22f

又/G='AO=q,

22

從而在二中，因“G=AH,

-GH巧

cosZFGH=-——=—'

FG6

因此，異面直線A。與所成角的余弦值為

解法二:過點尸作JLAC交A8于點M,

由(1)易知尸。,尸/),尸例兩兩垂直，

以尸為原點,射線bM,R7,77)分別為無軸，

)'軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系尸-町，z.

不妨設4)=2,由8=AO,NC4O=3()。，

易知點AC,。的坐標分別為人(0,G0),C(0,G,0),7)(0,0,1)

則A0=(0,73J)

顯然向量R=（0,0,1）是平面ABC的法向量

已知二面角C—A8-。為60。，

設3（丸〃,0）,則＞+/=3,4"=（"〃+30）

設平面AI3D的法向量為n=（x,y,z）,

[皿〃=0[b+z=。

則<=>/r\

AB-/?=0frvc+ln+\J3\y=0

令y=l,貝U〃=」+"』,一G

m

由上式整理得9n2+—21=0,

解之得〃=-6（舍）或〃=這

9

______2

ADCB~/

cos<AD,CB>=----------==—

ADCB)2736

2x-----

3

因此，異面直線AD與8。所成角的余弦值為由.

6

c

【點睛】

本題考查空間點、線、面位置關系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空

間角對應的平面角是解題的關鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.

18、見解析

【解析】

222

已知條件一二十」＜+===2,需要證明的是「二十:2丁+7^?工&,要想利用柯西不等式，需要

1+廠1+/1+z-1+廠l+y~l+z-

=1,則可以用柯西不等式.

l+x2\+yU+Ti+yi+z

【詳解】

,X12.V2Z2

Vl+x2+l+/+l+z2

1+A21+y21+z21+x21+)/1+z

由柯西不等式得，

U+d1+y-l+z~){l+x2\+y-[+z~)(1+Y1+yl+z\

/、2

、言+言+會］,2?

1+x21+y21+z2

【點睛】

本題考杳柯西不等式的應用，屬于基礎題.

r2v2

19、（1）L+2_=］；（2）見解析

54

【解析】

（1）由條件可得C=l,再根據離心率可求得則可得橢圓方程；

（2）當,WV與x軸垂直時，設直線MN的方程為：x=?一石＜，（石/，（）），與橢圓聯(lián)立求得W,N的坐標，通

過。必、QV斜率之積為-1列方程可得，的值，進而可得少旅加的面積，當MN與x軸不垂直時，設M（x，y）,

N（w，M），/WN的方程為曠="+相，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和OM、ON斜率之積為-二可得

-J

2〃P=5F+4,再利用弦長公式求出MN,以及。到MN的距離，通過三角形的面積公式求解.

【詳解】

(1)拋物線的焦點為尸(1,0),

c=1,

小c>/5

?/e=——，/.—=—，

5a5

.,.々=5,6=2,

???橢圓方程為±+±=1；

54

(2)(i)當MV與x軸垂直時，設直線MN的方程為：.c=/(-石<t<\/5,r+0)

代入］+?=1得:MN9

.w旺與

45-r4

??-------=---9

5r5

解得：/i==5,

2

4

'''S'MON=；,M,J~Y~=也；

（ii）當MN與x軸不垂直時，設M（x，yJ,刈毛,必），MN的方程為尸質+加

y=kx+rn

由V二+3=]=(4+5公卜2+1(加7a+562-2()=(),

.54

由△>0n5左2+4>〃p①

1Okm5m2-20

…二一直記X,'X2=7Z5F

,,4

,AQWAW=，

,?號—=-：,.\5y1y2+4x]x2=0

人]人^J

即(5%244)%+5"欣(玉+々)+5〃廣=0

/_,o.\5"廣—20’10%?、

/.(5k~+4)-------------+5mk-+5nr=0

、)4+5公14+5吃

整理得：2〃廣=522+4

代入①得：〃0

\MN\=、h+k2Q(X]+/J-4尤]工2

5/H2-2O>

-4

、4+5L

J5k2+4-/

=4石丁+公

4+5公

\in\

。到MN的距離。=十=三

Jl+k?

7△皿V=?NM

2后|網5/5公+4->

4+5-

2>/5同y/2m2-nr

2nr

=亞

綜上：S&MON=v5為定值.

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題.

,231

20.(1)—+/=1(2)—

22

【解析】

(1)由已知條件列出關于。和〃的方程，并計算出a和〃的值，jike得到橢圓的方程.

(2)設日點4和點“坐標，運用點坐標計算出M3,分類討論直線/的斜率存在和不存在兩種情況，求解出之的

最小值.

【詳解】

一一L2a.2b=26r-

(1)由己知得：2,解得〃=b=\

。2+從=3

2

所以，橢圓C的方程］+)，2=1

(2)設A(x，yJ,8(占,為)?始-歷4=(百+3,%)?(~+3,%)=(%+3)(々+3)+〃％

當直線/垂直于x軸時，％=9=1，且犬=g

此時M4=(4,y),M8=(4,.yJ,=

當直線/不垂直于x軸時，設直線/：＞=攵。-1)

常％得0+2尸)，4入+21=0.

由《

4k22k2-2

“+"2=77壽i2=m