數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)航：曲邊梯形面積與定積分

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1。了解曲邊梯形及其面積的含義；了解求曲邊梯形面積的“分割、近似代替、求和、取極限”的基本過(guò)程;2．掌握定積分的概念，會(huì)用定義求定積分；3．理解定積分的幾何意義與性質(zhì).1．定積分的概念(1）定積分的定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間［a，b］上，用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把區(qū)間［a,b]分為n個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為Δxi＝xi＋1－xi，i＝0，1，2，…，n－1.記λ為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng)λ趨近于0時(shí)，所有的小區(qū)間長(zhǎng)度都趨近于0。在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)ξi，作和式In＝eq\i\su（i＝0，n－1,f)（ξi)Δxi。當(dāng)λ→0時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式In的極限叫做函數(shù)f（x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，記作eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b，a)f(x）dx，即eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b，a）f（x）dx＝eq\o（lim，\s\do4(λ→0))eq\o（∑，\s\up6(n－1)，\s\do4(i＝0）)f（ξi)Δxi.其中f(x)叫做被積函數(shù)，a叫積分下限，b叫積分上限，f(x）dx叫做被積式．此時(shí)稱函數(shù)f（x)在區(qū)間［a，b］上可積．思考1（1）在定義中，對(duì)區(qū)間[a,b]的分法是否是任意的?ξi的取法是否是任意的？（2）在定義中，和式的極限是一個(gè)精確值還是近似值？定積分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b，a)f(x)dx是一個(gè)常數(shù)還是一個(gè)函數(shù)?(3）在定積分eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(b，a）f（x）dx中，定積分的值與積分變量有關(guān)嗎?與積分區(qū)間有關(guān)嗎？提示:(1）定積分定義中，對(duì)于區(qū)間[a，b]的分法是任意的，不一定是等分，只要保證每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨向于0就可以，采用等分的方式是為了便于作和．另外，關(guān)于ξi的取法也是任意的,實(shí)際用定積分定義計(jì)算定積分時(shí)為了方便，常把ξi都取為每個(gè)小區(qū)間的左(或右)端點(diǎn)．(2）和式的極限是一個(gè)精確值，定積分是一個(gè)常數(shù)．(3）定積分是一個(gè)數(shù)值（極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（b，a）f(x)dx＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b,a)f(u）du＝eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（b,a）f(t）dt＝…（稱為積分形式的不變性）,另外定積分eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b,a)f（x)dx與積分區(qū)間［a，b］息息相關(guān),不同的積分區(qū)間，定積分的積分上限與下限不同，所得的值也就不同．點(diǎn)撥用定積分的定義求函數(shù)定積分的一般步驟：①分割：n等分區(qū)間[a,b］；②近似代替：在每個(gè)小區(qū)間任取ξi；③求和：eq\o（∑,\s\up6（n－1)，\s\do4（i＝0）)f(ξi)·eq\f(b－a,n）；④取極限:eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(b,a）f(x）dx＝eq\o（lim，\s\do4（n→＋∞))eq\o(∑，\s\up6（n－1)，\s\do4（i＝0）)f(ξi）·eq\f(b－a，n).(2)定積分的性質(zhì)定積分有三條主要的性質(zhì)：①eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（b,a)kf(x）dx＝keq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（b,a）f(x)dx(k為常數(shù)）；②eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（b,a)［f(x）±g(x）]dx＝eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（b，a）f（x)dx±eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(b,a）g(x)dx；③eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b，a）f（x)dx＝eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（c,a)f(x）dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（b,c)f(x)dx（a＜c＜b）．點(diǎn)撥對(duì)定積分性質(zhì)的理解要注意以下幾點(diǎn)：(1）性質(zhì)①②稱為定積分的線性性質(zhì)，性質(zhì)③稱為定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性．(2)性質(zhì)②對(duì)于有限個(gè)函數(shù)(兩個(gè)以上）也成立；性質(zhì)③在把區(qū)間分成有限個(gè)（兩個(gè)以上)區(qū)間時(shí)也成立；(3)在定積分的定義中，eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(b，a)f(x）dx的下限小于上限，即a＜b。為了方便計(jì)算，人們把定積分的概念擴(kuò)大,使下限不一定小于上限，并規(guī)定：eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（a，b）f（x)dx＝－eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(b,a)f（x)dx，eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(a，a)f（x）dx＝0。2．定積分的幾何意義(1）曲邊梯形：曲線與平行于y軸的直線和x軸所圍成的圖形，稱為曲邊梯形．（2)定積分的幾何意義:曲邊梯形的面積S等于其曲邊所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［a，b]上的定積分,即S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b，a）f(x）dx.思考2能否認(rèn)為曲邊梯形的面積就是定積分的值，定積分的值就是曲邊梯形的面積？提示:不能．曲邊梯形的面積是正數(shù)，而定積分的值可正、可負(fù)、也可以為零,因此在利用定積分求曲邊梯形面積時(shí)一定要注意定積分的取值．點(diǎn)撥用定積分表示曲邊梯形面積的幾種情形：（1)由三條直線x＝a,x＝b（a＜b），x軸，一條曲線y＝f(x）（f（x）≥0）圍成的曲邊梯形的面積S＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b,a）f（x)dx(如圖①）．(2）由三條直線x＝a,x＝b（a＜b），x軸，一條曲線y＝f(x)(f（x）≤0）圍成的曲邊梯形的面積S＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(∫）\o\al（b，a)fxdx)）＝－eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(b，a)f（x）dx(如圖②)．（3）由三條直線x＝a,x＝b（a＜b）,x軸，一條曲線y＝f（x）（如圖③)圍成的曲邊梯形的面積S＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（c，a）f(x）dx－eq\a