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河北廊坊五校2025屆高三第四次月考(數(shù)學(xué)試題)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.72.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué),物理,化學(xué),生物四科競(jìng)賽,其中甲不能參加生物競(jìng)賽,則不同的參賽方案種數(shù)為A.48 B.72 C.90 D.963.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.4.若,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.如圖,在中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.6.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.7.已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-1310.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.11.已知,則()A.5 B. C.13 D.12.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.11二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________________.14.已知三棱錐,,是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,分別是、的中點(diǎn),為棱上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.15.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)_____用數(shù)字作答16.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_(kāi)____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值.18.(12分)已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù),證明時(shí),.19.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.21.(12分)若關(guān)于的方程的兩根都大于2,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】因甲不參加生物競(jìng)賽,則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí),共有?=72種選擇方案;②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí),共有=24種選擇方案.綜上所述,所有參賽方案有72+24=96種故答案為:96點(diǎn)睛:本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體,考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.4.A【解析】
將化成以為底的對(duì)數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)椋?故選:A.本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí),底數(shù)相同,則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大??;若真數(shù)相同,則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大??;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.5.D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運(yùn)算,這樣做目標(biāo)明確,易于操作.6.A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合的表示,求解函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合的表示,根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系,結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】,.因?yàn)?,所以有,因此?故選:A本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,考查了解一元二次不等式,考查了函數(shù)的定義域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8.A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,故要得到,只需將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選:A.本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎(chǔ)題.9.B【解析】
由題得,,解得,,計(jì)算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.10.A【解析】
設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再求,最后求即可.【詳解】解:,,故選:C考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.12.D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長(zhǎng)度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長(zhǎng)度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長(zhǎng)度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長(zhǎng)度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
令,則,恰有四個(gè)解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解:令,則,恰有四個(gè)解.有兩個(gè)解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設(shè)的負(fù)根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于難題.14.【解析】
取的中點(diǎn),連接,,取的中點(diǎn),連接,,,直線與所成的角為,計(jì)算,,根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案?!驹斀狻咳〉闹悬c(diǎn),連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因?yàn)?,分別、的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點(diǎn),連接,,,因?yàn)?,所以直線與所成的角為,設(shè),則,,所以,化簡(jiǎn)得,解得,即.故答案為:.本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長(zhǎng)度,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.15.1【解析】
利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng),令,求出展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為令得的系數(shù)為故答案為1.利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具.16.【解析】
基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)或.【解析】
(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,做出函數(shù)在的圖象,即可求解.【詳解】(1),由題意知,解得(舍去)或.(2)當(dāng)時(shí),故方程有根,根為或,+0-0+極大值極小值由表可見(jiàn),當(dāng)時(shí),有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.因?yàn)椋?由數(shù)形結(jié)合可得或.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.18.(1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
試題分析:(1)由題得,根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線方程,列出方程組,求得的值,得到的解析式,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)得根據(jù)由,整理得,設(shè),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,即可作出證明.試題解析:(1)由題得,函數(shù)的定義域?yàn)?,,因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為,所以解得.令,得,當(dāng)時(shí),,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由(1)得,.由,得,即.要證,需證,即證,設(shè),則要證,等價(jià)于證:.令,則,∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,即,故.19.(1)(2)【解析】
(1))當(dāng)時(shí),將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù),即可求得不等式的解集.(2)根據(jù)原命題是假命題,這命題的否定為真命題,即“,”為真命題,只需滿足即可.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),由,得.故不等式的解集為.(2)因?yàn)椤?,”為假命題,所以“,”為真命題,所以.因?yàn)椋?,則,所以,即,解得,即的取值范圍為.本題考查絕對(duì)值不等式的解法,以及絕對(duì)值三角不等式,屬于基礎(chǔ)題.20.(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
證明:(1)在矩形中,,又平面,平面,所以平面.(2)連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié),在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),又,故,,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.21.【解析】
先令,根據(jù)題中條件得到,求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的
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