數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)航：誘導(dǎo)公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．掌握誘導(dǎo)公式,并會(huì)應(yīng)用公式求任意角的三角函數(shù)值．2．會(huì)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的化簡和恒等式的證明．3．通過公式的運(yùn)用，學(xué)會(huì)從未知到已知,復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化方法．1．角α與α＋k·2π（k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系（誘導(dǎo)公式(一)）cos(α＋k·2π)＝cos_α,sin(α＋k·2π）＝sin_α，tan(α＋k·2π）＝tan_α．說明：(1)利用公式(一)，可以把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°到360°角的三角函數(shù)值．(2）由公式可知，三角函數(shù)值有“周而復(fù)始"的變化規(guī)律，即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)．說明了角和三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一值對(duì)多角的關(guān)系，即如果給定一個(gè)角，它的三角函數(shù)值只要存在，就是唯一的；反過來，如果給定一個(gè)三角函數(shù)值，卻有無數(shù)多個(gè)角與之對(duì)應(yīng)．(3）公式(一)可概括為：終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等．2．角α與－α的三角函數(shù)間的關(guān)系（誘導(dǎo)公式(二）)cos(－α）＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan（－α)＝－tan_α．說明：（1)由公式（一)和(二)可得sin（2π－α）＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα,tan(2π－α)＝－tanα．(2）利用公式（二），可以用任意正角三角函數(shù)表示負(fù)角三角函數(shù)，從公式(二）還可以看出，余弦函數(shù)是偶函數(shù),而正弦函數(shù)、正切函數(shù)都是奇函數(shù)．3．角α與α＋(2k＋1）π（k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系(誘導(dǎo)公式(三）)cos［α＋（2k＋1）π］＝－cos_α，sin［α＋（2k＋1）π］＝－sin_α，tan［α＋（2k＋1)π］＝tan_α．特別地，cos（π＋α）＝－cos_α，sin(π＋α)＝－sin_α，tan(π＋α)＝tan_α．特別提醒(1）由公式（一)和（三)可以看出，角α與α加上π的偶數(shù)倍的所有三角函數(shù)值相等；角α與α加上π的奇數(shù)倍的余弦、正弦值互為相反數(shù)；角α與α加上π的整數(shù)倍的正切值相等．即Tan（a+nπ）＝tana,n∈z．（2）因?yàn)槿我饨嵌伎梢曰癁棣粒玨π（k∈Z）的形式，并使｜α｜≤eq\f(π,2），所以利用公式(一)、(二)、（三），我們可以把任意角的三角函數(shù)的求值問題轉(zhuǎn)化為0到eq\f(π，2)之間的角的三角函數(shù)的求值問題．（3）利用誘導(dǎo)公式(二)和（三)，可得到角α與π－α的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin(π－α）＝sin［π＋（－α)]＝－sin（－α)＝sinα，cos(π－α）＝cos［π＋（－α）]＝－cos(－α)＝－cosα．所以4．角α與α＋的三角函數(shù)間的關(guān)系(誘導(dǎo)公式（四）)cos＝－sin_α,sin＝cos_α．將上面公式中的α用－α替代，可得到角α與－α＋的三角函數(shù)間的關(guān)系cos＝sin_α，sin＝cos_α．由三角函數(shù)之間的關(guān)系又可得tan＝－cot_α，tan＝cot_α．自主思考1如何化簡sin，cos，tan?提示：(1)sin＝－cosα，cos＝－sinα，tan＝cotα；(2)sin＝－cosα，cos＝sinα，tan＝－cotα．自主思考2試推導(dǎo)出，，π，,2π的三角函數(shù)值？提示:角α的弧度數(shù)π2πsinα0－10cosα－－－101tanα－－0不存在0自主思考3誘導(dǎo)公式的作用與規(guī)律性有哪些?提示:(1）誘導(dǎo)公式的作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°~90°角的三角函數(shù)值．（2)誘導(dǎo)公式的規(guī)律:續(xù)表說明：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式揭示了終邊具有某種對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：誘導(dǎo)公式可以概括為角k·±α(k∈Z）的各三角函數(shù)值與角α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名三角函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的異名三角函數(shù)值，然后在前面加上一個(gè)把α看作銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．記憶口訣為:奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中“奇、偶”是指k·±α（k∈Z)中k的奇偶性，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變．“符號(hào)”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中,把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，而不是α函數(shù)值的符號(hào)．例如:誘導(dǎo)公式有很多組合