模型20“兩點(diǎn)一線”　　2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題復(fù)習(xí)

模型20“兩點(diǎn)一線”模型基礎(chǔ)模型類型異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值同側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值圖示條件兩定點(diǎn)A，B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小結(jié)論連接AB交直線l于點(diǎn)P，此時PA+PB的值最小，最小值為線段AB的長作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB',交直線l于點(diǎn)P,此時PA+PB的值最小，最小值為線段AB'的長結(jié)論分析結(jié)論：連接AB交直線l于點(diǎn)P，此時PA+PB值最小，最小值為線段AB的長證明：如圖①，∵AP結(jié)論：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，交直線l于點(diǎn)P，此時PA+PB的值最小，最小值為線段AB'的長自主證明：模型拓展拓展方向：求線段差的最值類型同側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值圖示條件兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|值最大兩定點(diǎn)A，B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使得|PA-PB|值最大結(jié)論連接AB并延長，與直線l交于點(diǎn)P，此時|PA-PB|的值最大，最大值為線段AB的長作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長，與直線l交于點(diǎn)P，此時|PA-PB|的值最大，最大值為線段AB'的長模型解題三步法例1如圖,在矩形ABCD中,AB=3,∠CBD=30°,,點(diǎn)E在邊BC上且BE=13BC,例2如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=4,BD=6,點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線BD上一點(diǎn),則|PC-PE|的最大值為.題以類解1.如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E是AB邊上的點(diǎn),且AE=3,點(diǎn)Q為對角線AC上一點(diǎn)，則DQ+QE的最小值為()A.3B.4C.5D.62.如圖,直線y=x+2與x軸,y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.130C.0?23.如圖,在等邊△ABC中,AB=4,AD是中線,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AC上一動點(diǎn)，則BP-EP的最大值是.4.x?12+15.如圖，⊙O的直徑MN=1,點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn),且∠AMN=30°,點(diǎn)B是?AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動,則BP+AP的最小值為.6.如圖，在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,連接EC,AB=10,△BEC的周長是18，若點(diǎn)P在直線EF上，連接PA,PB.(1)PA+PB的最小值為;(2)|PA-PB|的最大值為.7.如圖，拋物線y=x(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找到一點(diǎn)M，使△ACM的周長最小，請求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長的最小值.模型20“兩點(diǎn)一線”模型模型展現(xiàn)自主證明：如圖②，由軸對稱性質(zhì)可知,PB=PB',∵PA+PB=PA+PB'≥AB',∴當(dāng)點(diǎn)A,P,B'三點(diǎn)共線時，PA+PB的值最小，最小值是線段AB'的長(也可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，同理也可求出PA+PB的最小值).模型解題三步法例1921+23【解析】根據(jù)“兩點(diǎn)一線”模型作解圖，當(dāng)C，P，E'三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時，PE+PC的值最小(同側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值).連接BE',過點(diǎn)E'作E'H⊥BC于點(diǎn)H,∵∠DBC=30°,AB=CD=3,∴BC=33.∵BE=13BC,∴BE=3,CE=23.∴點(diǎn)E'是點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn),∴∠E'BD=∠CBD=30°,BE'=BE,∴∠E'BH=60°,∴△BEE'是等邊三角形(一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)，E例2點(diǎn)C點(diǎn)EBD點(diǎn)P132【解析】根據(jù)“兩點(diǎn)一線”模型作解圖,點(diǎn)C'與點(diǎn)A重合,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD(菱形的對角線互相平分),∴AP=PC,∴|PC-PE|=|AP-PE|≤AE,∴當(dāng)點(diǎn)A,E,P三點(diǎn)共線時,|PC-PE|取得最大值,最大值為AE的長(異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值).∵AC=4,BD=6,∴OA=2,OB=3,∴在Rt△ABO中,AB=13,，又∵點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，∴AE=12AB題以類解1.C【解析】找模型：是否存在兩個定點(diǎn)：點(diǎn)E和點(diǎn)D.是否存在一條定直線和該直線上一動點(diǎn)：定線段：AC，動點(diǎn)：點(diǎn)Q.是否求最值：DQ+QE的最小值.抽離模型：如解圖.用模型：連接DE,∵DQ+QE≥DE,∴當(dāng)D,Q,E三點(diǎn)共線時,DQ+QE取得最小值(異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值)，∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=4,∠DAE=90°(正方形的性質(zhì)),.∴DE=A2.B【解析】找模型：是否存在兩個定點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)C.是否存在一條定直線和該直線上一動點(diǎn)：定直線：y軸，動點(diǎn)：點(diǎn)P.是否求最值：PA+PC的最小值.抽離模型：如解圖.用模型：根據(jù)“兩點(diǎn)一線”模型作解圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A',連接A'C交y軸于點(diǎn)P.∵直線y=x+2與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),∴A(-2,0),B(0,2),∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),∴C(-1,1),∵點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱,∴A'(2,0),設(shè)直線A'C的解析式為y=kx+b,∴2k+b=0?k+b=1,解←k=?13b=23,直線A'C的解析式為y=?3.7【解析】如解圖，連接BE并延長交AC于點(diǎn)P',當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時,BP-EP取得最大值，最大值為BE的長(同側(cè)線段差最大值),在等邊△ABC中,AD是中線,∴BD=DC=2,AD⊥BC(等邊三角形三線合二),∴AD=BD?tan60°=2×34.5【解析】由兩點(diǎn)間距離公式可將x?12+1看作點(diǎn)(x,0)和點(diǎn)(1,1)兩點(diǎn)間的距離，將x?52+4看作點(diǎn)(x，0)和點(diǎn)(5，2)兩點(diǎn)間的距離，建立如解圖坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A(1,1),B(5,2),作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A',則x?12+15.22【解析】如解圖，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A',連接A'B,A'B與MN交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時BP+AP的值最小，最小值為AB'的長(同側(cè)線段和最小值)由對稱性可知AP=A'P，∴BP+AP=BP+A'P=A'B,連接OA,OB,OA',可知AN=A'N,,則∠NOA'=∠NOA=2∠AMN=60°(同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半)，∵點(diǎn)B為.AN的中點(diǎn),∴∠BON=30°,∴∠BOA'=∠BON+∠NOA'=90°,∵M(jìn)N=1,∴OA'=OB=6.(1)10;(2)8【解析】(1)∵EF垂直平分AC,∴EA=EC,又∵C△BEC=BE+EC+BC=18,BE+EA=AB=10,∴BC=18-10=8,當(dāng)P與點(diǎn)E重合時,PA+PB的值最小,最小值為AB的長(異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值)，∴PA+PB的最小值為10;(2)如解圖,FE與CB的延長線交于點(diǎn)P',連接PC,∵EF垂直平分AC,∴PA=PC,∴PA-PB=PC-PB≤P'C-P'B=BC,當(dāng)點(diǎn)P,B,C三點(diǎn)共線時,|PC-PB|有最大值(異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值)，此時P'C-P'B=BC=8,∴|PA-PB|的最大值為8.7.解:(1)∵拋物線的對稱軸為直線x=1,∴?b∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),∴c=-3,∴拋物線的解析式為y=(2)∵拋物線的解析式為y=∴A(-1,0),B(3,0),如解圖，取點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸x=1的對稱點(diǎn)D