2024年北京市朝陽(yáng)區(qū)分校中考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年北京市朝陽(yáng)區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)分校中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（共8小題，共16分）

1.下圖是某個(gè)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖，則該幾何體為（）

A.棱柱B.圓柱C.棱錐D.圓錐

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖可知該幾何體是棱錐.

【詳解】解：由圖可知展開(kāi)圖側(cè)面是三角形，所以該兒何體是棱椎，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)，熟記幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵.

2.實(shí)數(shù)小小c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

1111?11111：?1i?

?54.3.2-1012345^

A.a-c>0B.k/|<|Z?|C.bc>1D.”c>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)aV0Vb<c,而|a|>|c|>|b|,可以逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可得出正確答案.

【詳解】由數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)而同囪，

?+c<0,\a\>\b\tac<0

又由數(shù)軸可發(fā)現(xiàn)2<c<3

bc>1正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸的相關(guān)內(nèi)容，會(huì)利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.如圖，菱形A8CO的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是（0,2）,（2,1）,（4,2）,則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

y

-oj-------r

A.(2,2)B.(2,4)C.(3,2)D.(2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.

【詳解】設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(。萬(wàn))，

菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)也是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，

???AC的中點(diǎn)與的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，

4+20+4

2―2

???根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：2_2+2,

~~~T

貝ija=2,b=3,

即。點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,3),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，掌握并運(yùn)用中點(diǎn)坐桁公式是解答本題的關(guān)鍵.

4.若一個(gè)多邊形每一個(gè)內(nèi)角都為144，，則這個(gè)多邊形是()邊形

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意判斷這個(gè)多邊形為正多邊形，其每個(gè)內(nèi)角度數(shù)相等，即每個(gè)外角也相等，結(jié)合多邊形外

角和360°定理解題即可.

【詳解】??一個(gè)多邊形每一個(gè)內(nèi)角都為144。，

?.?該多邊形是正多邊形.

.-.1800-144°=36°

.360。

.赤=10,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、正多邊形等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

5.挑一枚質(zhì)地均勻的硬幣〃?次，正面向上〃次，則二的值（）

m

A.一定是gB.一定不是g

C.隨著，〃的增大，越來(lái)越接近；D.隨著小的增大，在3附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定

性

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系以及隨機(jī)事件的定義判斷即可.

【詳解】解：投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上的概率是g,而投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上是隨機(jī)

事件，己是它的頻率，隨著加的增加，二的值會(huì)在？附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性.

mmz

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)隨機(jī)事件的理解以及頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別.解題的關(guān)鍵是理解隨機(jī)事件是都有可

能發(fā)生的事件.

6.以下圖形繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一定角度后都能與原圖形重合，其中旋轉(zhuǎn)角最小的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】求出各旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，再比較即可.

【詳解】解：A選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度=呷-=120。；

3

B選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度=3呷60"°=90°;

C選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度=芋=72。：

360°

D選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度=一1=60。；

綜上可得：旋轉(zhuǎn)的角度最小的是D.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形中旋轉(zhuǎn)角度的確定，求各圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，關(guān)鍵要看各圖形可以被

平分成幾部分，被平分成n部分，旋轉(zhuǎn)的最小角度就是3二60竺°

n

7.下列圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的是（）

NOD.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱及對(duì)稱軸的定義，判斷各選項(xiàng)的對(duì)稱軸數(shù)量，維而可得出答案.

【詳解】A.有1數(shù)條對(duì)稱軸,

B.有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸,

C.有2條對(duì)稱軸,

D.有3條對(duì)稱軸,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱釉折疊后可

重合.

8.如圖，在中，ZC=90°,AC=5,BC=10.動(dòng)點(diǎn)用，N分別從4,點(diǎn)M從點(diǎn)4開(kāi)始沿邊AC

向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)。開(kāi)始沿C8向點(diǎn)3以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為M、C之間的距離為y,△MCN的面積為S,則），與3S與，滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

A.比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系D.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù).熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意分別求出），與/，S與/滿足的函數(shù)關(guān)系式，然后判定作答即可.

【詳解】解：由題意知，AM=ACN=2f,

2

???y=MC=5-ttS=^MCCN=^（5-l）2t=-t+5t,

???），是i的一次函數(shù)，S是，的二次函數(shù)，

故選：D.

二、填空題（本大題共8小題）

函數(shù)的自變量的取值范圍是______.

9.y=\l\1-2x

【答案】x<-##x<0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)利分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0,分母不等于0,列不等式求解.

【詳解】解：依題意,得I—2x>0,

解得：x<?，

故答案為：x<—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0：二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).注意當(dāng)單獨(dú)的

二次根式在分母時(shí)，被開(kāi)方數(shù)應(yīng)大于。.

10.如果多項(xiàng)式o?+力2只能因式分解為（3工+2），）（3工一2力，則而二.

【答案】-36

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式可得（3丹2），）（3工-2），）=9/一4），2,從而得到〃=9/=-4,即可求解.

【詳解】解：???（3工+2），）（31—2），）二9/-4，，多項(xiàng)式a好+/））/只能因式分解為

（3x-f-2y）（3x-2y）,

:.a=9,b=-4,

ab=9x（-4）=—36.

故答案為：-36.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解一一應(yīng)用公式法.熟練堂握因式分解一一應(yīng)用公式法進(jìn)行求解是解決本

題的關(guān)鍵.

II.寫出一個(gè)比&大且比質(zhì)小的整數(shù)是.

【答案】2或3

【解析】

【分析】先估算出6、U的大小，然后確定范惘在其中的整數(shù)即可.

【詳解】?/5/3<2，3<V10

Ax/3<2<3<V10

即比6大且比M小的整數(shù)為2或3,

故答案為：2或3

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算和大小比較，掌握無(wú)埋數(shù)估算的方法是正確解答的關(guān)鍵.

12.如果3/7—1=0,那么代數(shù)式（2工+3）（2］一3）一工（工+1）的值為.

【答案】-8

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件式得到3/一工二"再把所求式子去括號(hào)并合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)得到31—戈―9,把

3/-x=l整體代入求解即可.

【詳解】解：V3X2-A-1=0.

??.3?-x=l

:.（2x+3）（2x-3）-x（x+l）

=4x2-9-x2-x

=3/-x-9

=1-9

二一8,

故答案為：-8.

【點(diǎn)睛】木題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，正確把所求式子化簡(jiǎn)為3/-x-9是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在RhABC中，Z4CB=90。，BC=2,AC=26尸是以斜邊AB為直徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn)，

M為PC的中點(diǎn).連接?則8W的晟小值為

P

A

0

cB

【答案】V3-1

【解析】

【分析】取A8的中點(diǎn)0、AC的中點(diǎn)石、8c的中點(diǎn)尸，連接0C、OP、OM、0E、OF.EF,如

圖，根據(jù)勾股定理得到AB7AC、BC2=4,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OC=gAB=2,

OP=!A8=2,根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以。。為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)尸點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn):

點(diǎn)尸點(diǎn)在8點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)、在尸點(diǎn),取0C的中點(diǎn)O,連接30交C。'于"'，則8M'的長(zhǎng)度即為8W的最

小值，延長(zhǎng)B0'交。。'于G,連接W根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：取A8的中點(diǎn)。、AC的中點(diǎn)E、3c的中點(diǎn)尸，連接。C、OP、OM、0E、OF、EF,

如圖，

在REABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=2也,

AB=ylAC2+BC2=4>

/.0C=-AB=2,0P=-AB=2,

22

M為PC的中點(diǎn)，

:.OMA.PC.

/.ZCA/O=90°,

二?點(diǎn)M在以0C為直徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)尸點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在￡點(diǎn)：點(diǎn)。點(diǎn)在8點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在尸點(diǎn),

取0C的中點(diǎn)。，連接80'交O。于AT,

則BM'的長(zhǎng)度即為BM的最小值，

延長(zhǎng)AO'交OO'于G.連接上”.

VZGC5+ZGA/r=180°.NGM'F+NFM'B=180。,

???4GCB=/FM'B

?.4BM'=ZGBC,NAW'B=ZGCB,

....BFMSBGC,

BFBM'

BGBC

即_^=也，

8W+22

解得：（負(fù)值舍去）,

故4M的最小值為：73-1.

故答案為：V3-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，判斷出點(diǎn)M所

在的圓是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，有兩張矩形紙片48co和EEG”，AB=EF=2cm,BC=FG=&m.把紙片48co交叉

登放在紙片EFG”上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)。與點(diǎn)G重合.當(dāng)兩張紙片交叉所成的角。錄小

時(shí)，tana等于___

W

【答案】百

【解析】

【分析】由“4S4”可證ACOM3AWAW,可證MZ）=￡W,即可證四邊形ONKM是菱形，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)

E重合時(shí)，兩張紙片交叉所成的角。最小，可求CM=?c〃?，即可求tana的值.

4

【詳解】解：如圖,

ZAIX：=/HDF=90°,

/.4CDM=ZNDH,

在ACDM和MiDN中，

/CDM=4NDH

CD=DH,

Z//=ZC=90°

：.ACDM^AHDN（ASA）,

;.MD=ND,

二?四邊形ONKM是菱形，

:.KM=DM,

CD

?.sin?=sinZDWC=—,

MD

二?當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，兩張紙片交叉所成的角"最小，

設(shè)MD=acm=BM,則CM=（8—a）（cm）,

\MD1=CD-+MC-，

/.=4+（8-a）2,

17

/.a=—,

4

/.CM=,C7"），

CD8

tana=tanNDMC==—.

MC15

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，求CM的長(zhǎng)是本題

的關(guān)鍵.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)（〃一2,y）,（〃-1,）；），（〃+1,以）在拋物線

y=cu?-2av-2（a<0）±.,若0<%vl,則%，％,當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系為（用表示）

【答案】）“乃<%

【解

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).將三點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸的一側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較大小即

可.

【詳解】解：???》=奴2-2以一2,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-二即=1,

2cl

VO</?<1?

—2v〃—1<0<1v〃+1v2,

令("+1,%)關(guān)于直線工=1對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(不，、3)，

則0<<1,

/1-2</?-1<0<<1,

'：a<0,

；?當(dāng)X<1時(shí)，丁隨x的增大而增大，

x<y2<y3?

?

故答案為：>i<y2<.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

16.如圖，雙驕制衣廠在廠房0的周圍租了三幢樓A、4、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的公

路相連，并且廠房。與每幅宿舍樓之間也有筆直公路相連，且3C>4C>A3.已知廠房0到每條公路的

距離相等.

(1)則點(diǎn)。為AA3C三條的交點(diǎn)(填寫：角平分線或中線或高線)；

(2)如圖設(shè)BC=。，AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,現(xiàn)要用汽車每天接送職工上下

班后，返回廠房停放，那么最短路線長(zhǎng)是.

【答案】①.角平分線②.y+c+"z

【解析】

【分析】本即考杳了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的三邊關(guān)系定理：兩邊之和大于第三邊；以及在同一個(gè)

三角形內(nèi)大角對(duì)大邊.

（1）利用角平分線的性質(zhì)定理判斷即可;

（2）首先得出。為A/WC的內(nèi)心，進(jìn)而得出A48OWA//。（SHS）,在AECO中，一。推出

出一4<0，同理&一&<0，4-4<0,4-4<0,4-4<0,即可得出答案.

【詳解】解：（I）.點(diǎn)。到每條公路的距離相等，

.??點(diǎn)0是AA8C的角平分線的交點(diǎn).

故答案：角平分線；

（2洪有6條線路：4=x+c+〃+z,4=x+%+a+y,4=y+c+%+2,4=y+a+〃+x,&=z+〃+c+y,

4=z+“+c+x,

在CB上截取CE=C4,連接。E,

在A4CO和AECO中，

CA=AE

-NACE=NECO,

co=co

:./SACO=^ECO(SAS),

OA=OE?

在AEBO中，

y-xva-。推出4-4<0,

同理4-4<0,4-《<0,4-4<0，4-4<0,

???&最短,

故答案為：y+c+b+z.

三、解答惠（第17?22題各5分，第23?26題各6分，第27、28題各7分.共68分）

17.計(jì)算:電

-n-2020°+|V3-2|-3tan300.

【答案】4-K-2X/3

【解析】

【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)耗，零次轅，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)完即可求解.

【詳解】解：g)-7t-2020°+1>/3-21-3tan30°

=4-71—25/3.

【點(diǎn)睛】本題考杳了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)箱，零次轅，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值是

解題的關(guān)鍵.

2（x-1）<x+2,

18.解不等式組：L+I

----<x.

2

【答案】l<x<4

【解析】

【分析】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.

2（工-1）<1+2①

【詳解】解：原不等式組為1工+1

——〈X②

2

解不等式①得，x<4,

解不等式②得，x>l,

??.原不等式組的解集為l<x<4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大：同小取?。捍笮⌒〈笾虚g找；大大小小找

不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

19.關(guān)于x的一元二次方程/一根（+2"7-4=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：

（2）若方程有一個(gè)根小于1.求，〃的取值范圍.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）m<3

【解析】

【分析】（I）直接利用根的判別式，判斷△出即可;

（2）利用求根公式求得兩個(gè)，根據(jù)有一個(gè)根小于1列出不等式求解即嘰

【詳解】(1)證明：*.?=!,/?=-m,c=2in-4,

:.A=b2-4ac=(一"7尸-4(2)〃-4)

=nr-8〃?+16

=(m-4)2

???無(wú)論m取何值時(shí)，（加一4y20,

???此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）解：?.?△=（〃?一4尸NO,

_-b±VA_m±（m-4）

la2

X）=m-2,x2=2.

?此方程有一個(gè)根小于1,且W=221.

:.m-2<1.

:.tn<3.

【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式和用公式法解一元二次方程.解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△"）時(shí)，方程有

兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根.

20.下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

A

/\三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。，

------------

已知：如圖,AABC,

求證：ZA+Z5+ZC=I80.

方法一

方法二

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD//AB.

DE//BC.

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】方法一：依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到N8=NB4O，ZC=ZE4C,從而可求證三角形的閃

角和為180。.

方法二：由平行線的性質(zhì)得：/4=4CQ,NB+26C￡>=I8O。，從而可求證三角形的內(nèi)角和為180。.

【詳解】證明：

方法一：過(guò)點(diǎn)A作。石〃BC,

則NB=NK4O，ZC=ZE4C.（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

,點(diǎn)。，A,E在同一條直線上，

AZZMZ7+ZZMC+ZC-180°.（平角的定義）

.?.NB+NBAC+NC=180°.

即三角形的內(nèi)角和為180°.

方法二：

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD//AB

'：CD//AB,

AZA=ZACD,Zfi+ZBCD=180°,

N8+NAC8+NA=180。.

即三角形的內(nèi)角和為180。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

21.如圖，四邊形ABCO平行四邊形，AC.相交于點(diǎn)。，E是人B中點(diǎn)，連接OE,過(guò)點(diǎn)E作

EFJ.BC干點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)。作OG_L8C于點(diǎn)G.

(1)求證：四邊形EFGO是矩形：

(2)若四邊形ABCD是菱形，AB=\0,BD=16,求OG長(zhǎng)度.

【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)4.8

【解析】

【分析】木題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形中位線定理，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知OA=OC,進(jìn)而證明OE是的中位線，得到。石〃BC,再由

EF1BC,OGIBC,得到OE_LOG,即可證明四邊形七戶GO是矩形：

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理在R14OBC中求出OC,然后利用筆面積法求出OG即可

【小問(wèn)I評(píng)解】

解：證明：四邊形48co是平行四邊形，

.\OA=OC,

丁點(diǎn)E是43的中點(diǎn),

??.OE是o4BC的中位線，

：?OE〃BC,

???EFtBCQGLBC,

：.0E上OG，

...四邊形EFGO是矩形：

【小問(wèn)2詳解】

解：???四邊形ABC。是菱形，

??.AC±BD,AB=BC,OC=-AC.OB=-BD,

22

VAB=10,BD=T6,

：.OB=8,BC=10.

在R【Z\OBC中，由勾股定理得oc=J8C2_OB2=6,

.:S.B℃=；BC?OG=￥）C?OB,

.\-xl（）xOG=-x6x8,

22

0G=4.8.

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)），=依+〃（攵=0）的圖象由函數(shù)>=一工的圖象平移得到，旦經(jīng)過(guò)

點(diǎn)（。1）.

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式：

（2）當(dāng)x<-l時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=〃M"?HO）的值小于一次函數(shù)y=依+力（攵/0）的值，

直接寫出用的取值范圍.

【答案】（I）y=-x+\

（2）〃？2—1且"2/0

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的立移，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式等知識(shí).熟練掌握一次函數(shù)

圖象的平移，數(shù)形結(jié)合求解是解題的關(guān)鍵.

（1）由平移可知，k=-\,將（0,1）代入，求得1=從然后作答即可；

（2）數(shù)形結(jié)合求解作答即可.

【小問(wèn)I詳解】

解：由平移可知，k=-\,

將（0，1）代入丁=一工+力中得，l=b,

???一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+i：

【小問(wèn)2詳解】

由題意知1,當(dāng)x<-l時(shí)，對(duì)于X的每一個(gè)值，函數(shù)丁=如（機(jī)工。）的值小于?次函數(shù)丁=履+》（％#0）的

值，小的取值范圍為〃Z之一1且"7H0.

23.為進(jìn)一步增強(qiáng)中小學(xué)生“知危險(xiǎn)會(huì)避險(xiǎn)”的意識(shí)，某校初三年級(jí)開(kāi)展了系列交通安全知識(shí)競(jìng)賽，從中隨

機(jī)抽取30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）在行收集、整理、描述和分析.卜面

給出了部分信息.

。.這30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績(jī)和第二次競(jìng)賽成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)圖：

，第二次成績(jī)/分

100-

95-?:

???

??

????

一

90????

???

??

???

85-,,

80-

80859095100第一次成績(jī)/分

b.這30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)情況相關(guān)統(tǒng)計(jì)表:

參與獎(jiǎng)優(yōu)秀獎(jiǎng)卓越獎(jiǎng)

人數(shù)

第一次競(jìng)101010

賽

平均數(shù)828795

人數(shù)21216

第二次競(jìng)

賽

平均數(shù)848793

（規(guī)定：分?jǐn)?shù)290,獲卓越獎(jiǎng)：854分?jǐn)?shù)＜90,獲優(yōu)秀獎(jiǎng)：分?jǐn)?shù)＜85,獲參與獎(jiǎng)）

c.第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

90909191919192939394949495959698

d，兩次競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如卜.表:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

第一次競(jìng)賽m87.588

第二次競(jìng)賽90n91

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

（1）小松同學(xué)第一次競(jìng)賽成績(jī)是89分，第二次競(jìng)賽成績(jī)是91分，在圖中用“?！比Τ龃硇∷赏瑢W(xué)的點(diǎn)：

（2）直接寫出肛〃的值;

（3）哪一次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績(jī)水平較高?請(qǐng)說(shuō)明你的理由（至少兩個(gè)方面）.

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）m=8S,77=90

（3）第二次

【解析】

【分析】（1）根據(jù)30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績(jī)和第二次競(jìng)賽成績(jī)得分情況統(tǒng)計(jì)圖可得橫坐標(biāo)為89,縱坐標(biāo)

為91,即可獲得答案；

（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；

（3）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的意義解答即可.

【小問(wèn)I詳解】

解：如圖所示：

第二次成績(jī)/分

loo-

95-?:

???

??

??

%-.【小問(wèn)2詳解】

???

??

???

?

85-???

80-

11II1j

80859095100第一次成績(jī)/分

82x10+87x10+95x10

m=-----------------------=8o8o，

30

???第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生有16人，成績(jī)從小到大排列為:

90,90,91,91,91,91,92,93,93,94,94,94,95,95,96,98,

其中第1個(gè)和第2個(gè)數(shù)是30名學(xué)生成績(jī)中第15和第16個(gè)數(shù)，

n=lx（90+90）=90,

.?.〃?=88,〃=90:

【小問(wèn)3詳解】

第二次競(jìng)賽，學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均高于第一次競(jìng)賽，

故第二次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績(jī)水平較高.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)等知識(shí)，理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

24.某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，若記水柱

上某一位置與水管的水平距離為4米，與湖面的垂直高度為h米.

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根據(jù)上述信息，解決以下問(wèn)題:

（1）在如下網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示人與d函數(shù)關(guān)系的圖象：

（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為，〃米，則〃?=:

（3）現(xiàn)公園想通過(guò)噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過(guò)只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下

方通過(guò).如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過(guò)時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱

的豎直距離均不小于0.5米.已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露

出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由（結(jié)果保留一位

小數(shù)）.

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）1.5

（3）2.1米

【解析】

【分析】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查待定函數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵在

于掌握由二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型.

（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn).用平滑的曲線連接即可：

（2）觀察圖象即可得出結(jié)論：

（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點(diǎn)的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求解原拋物線的解析式；設(shè)出二

次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示：

1234

根據(jù)題意可知，該拋物線的對(duì)稱軸為x=2,此時(shí)最高,

即m=1.5,

故答案為：1.5.

【小問(wèn)3詳解】

根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：h=a（d-2尸+1.5,

將（0,0.5）代入/?=a（d-2）2+1.5,=

4

?.?拋物線的解析式為：h=~d2+d+0.5,

4

設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：h=--d2+d^O.5+m,

4

37

由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為2+—=一時(shí)，縱坐標(biāo)的值大于2+0.5=25，

22

——x（一）~+—卜0.5+tnN2.5，

422

解得/nN1.6,

...水管高度至少向H周節(jié)L6米,

/.0.5+1.6=2.1（米），

???公園應(yīng)將水管露出湖面高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到2.1米才能符合要求.

25.如圖，在矩形ABCO中，AB=6,8c=8,點(diǎn)A在直線/上，4。與直線/相交所得的銳角為60。.點(diǎn)

戶在直線/上，4尸=8,E/_L直線/,垂足為點(diǎn)尸且￡F=6,以EF為直徑，在防的左側(cè)作半圓。,

點(diǎn)M是半圓O上任一點(diǎn).

發(fā)現(xiàn)：AM的最小值為.AM的最大值為，06與直線/的位置關(guān)系是

思考：矩形A8CO保持不動(dòng)，半圓0沿直線/向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AO邊上時(shí)，重疊部分面積為多少？

【答案】發(fā)現(xiàn)：V73-3;10；平行（或，）；思考：3”巫

4

【解析】

【分析】發(fā)現(xiàn)：如圖I,連接AO、AE,作8尸_1_4產(chǎn)于尸，由題意知，OM=3,NZM尸=60。，當(dāng)

A、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，AM最小，為AO—QM：當(dāng)M、E重合時(shí)，AM最大，由勾股定理求解即

可；由題意知N842=30。，則8P=，A8=3=O/，進(jìn)而求解作答即可；

2

13

思考?：如圖2,連接OG,作O”_LAO于”，則NA所=30°,OH=-OE=~,由OE=OG,可得

22

ZEOG=120%GE=2EH,根據(jù)&保=S畫形上彼一S上的，計(jì)算求解即可.

【詳解】發(fā)現(xiàn)：解：如圖1,連接A。、AE,作4P_LAF于尸，

m\

由題意知，OM=3,Z.DAF=60°,

當(dāng)AM、O三點(diǎn)共線時(shí)，AM最小，

由勾股定理得，AO=y）AF2+OF2=A/73>

的最小值為J萬(wàn)-3；

當(dāng)朋、E重合時(shí)，AM最大，

由勾股定理得，AE=\IAF2+EF2=10*

???AM的最大值為10；

??,矩形ABCD，

???"4。=90。，

???""二30。，

:.I3P=-AB=3=OF,

2

又，：BP〃OF,

???OB//1,

故答案為；平行（或〃）；

故答案為：V73-3：10：平行（或/）；

思考：解：如圖2,連接OG,作OHJ_AO于〃,

.,.ZAEF=30°,

13

：.OH=-OE=~,

22

?：OE=OG,

/.Z.EOG=120°，GE=2EH=2^JOE2-OH2=30，

.e_C_C1204312右3,96

??-D扇形右改一JEOG=———-------X=57：-----—?

360224

???重登部分面積為3/r-逋

4

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30。的直角三角形，平行線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，扇形面

積等知識(shí).熟練掌握勾股定理，含30。的直角三角形，平行線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，扇形面

積是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，AB是：。的?條弦，E是A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作：O的切線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

o

(1)求證：DB=DE；

(2)若A8=12,BD=5,求。。的半徑.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)”

2

【解析】

【分析】⑴由切線，可知NO30=9O。，即NQ84+N￡B/)=90。，由。4=03,可得

/OAB=/OBA,由三角形內(nèi)角和、對(duì)頂角相等可得NEBD=N3￡D,進(jìn)而結(jié)論得證：

(2)如圖，連接0E,作于/，則OEJ_AB,AE=EB=6,EF=2BE=3,由勾股定

2

APDF64

理得，DF=4,證明NAOE=N8ED,則sinN40E==sin/.DEF=---,即=—,計(jì)匏求

OADE0A5

解，然后作答即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：:8。是GO的切線，

Z.OBD=90。，即AOBA+/EBD=90°，

???QA=O8,

/OAB=/OBA,

,：Z.OAB+ACEA=180°-ZACE=90°,NCEA=/BED,

:,AEBD=/BED,

:,DB=DE；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖，連接OE,作_LA8于f，

A0E1AB,AE=EB=6,EF=-BE=3,

2

由勾股定理得，DF=>JDE2-EF2=4?

?:ZAOE+ZOAE=90。，ZCE44NOAE=90°,/CEA=/BED,

:.ZAOE=/BED,

/.sinZAOE=—=sinZDEF=—,即$=d

OADEOA5

解得，。4="，

2

???。。的半徑為日.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦等知

識(shí).熟練掌握切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦是解題的關(guān)

鍵.

27.在一A8C和VA。七中，BA=BC,DA=DE，點(diǎn).E在SBC內(nèi)部，連接“，E8和EO，設(shè)

EC=k*BD(kwO).

(1)當(dāng)/4BC=NADE=60°時(shí)，如圖1,請(qǐng)求出攵值，

(2)當(dāng)NA8C=NAOE=90。時(shí)：

①如圖2,(1)中的k值是否發(fā)生變化，如無(wú)變化；如有變化，請(qǐng)求出々值并說(shuō)明理由；

②如圖3,當(dāng)。，E，C三點(diǎn)共線，且E1為0c中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出lan/EAC的值.

【答案】(1)&=1

⑵①女二6@tanZE4C=41=1

AF3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得到，ABC和VADE都是等邊三角形，證明.DAB^.EAC,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)解答：

(2)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算：

②作痔工AC于尸，設(shè)AD=DE=a,證明式?/話根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF,根據(jù)勾股

定理求出A尸，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：2=1,

理由如下：如圖1,???NABC=NAO￡=60。，RA=BC,DA=DE，

.-ABC和VAOE都是等邊三角形，

:.AD=AE，AB=AC,ZDAE=ABAC=60°,

ZDAB=ZEAC,

在-DAB和二E4C中，

AD=AE

<NDAB=/EAC,

AB=AC

.々/MB0一EAC(SAS)

:.EC=DB,即火=1：

【小問(wèn)2詳解】

①k值發(fā)生變化，k=?‘

?.?ZABC=ZADE=90。，BA=BC,DA=DE，

上仞。和VAOE都是等腰直角三角形，

j\jC*^4

二一=y/2,——=V2,ZDAE=ZBAC=45°,

ADAB

?.絆=華，ZDAB=ZEAC,

ADAB

△區(qū)4cs△D48，

ECAEr-

—=——=5/2,HnPnEC=\1r2BD?

BDAD

:,k=y/2;

②作EF/AC于尸，

設(shè)AD=DE=a,則AE=\p2a?

.點(diǎn)E為DC中點(diǎn),

/.CT)=2/z.

由勾股定理得，AC=ylAD2+CD2=y[5a>

?.ZCFE=ZC/A4=90°,/FCE=/DCA,

.^CFE^CAD,

竺=笠，即"二片,

ADCAa<5。

解得，EF=心~(1

5

...AF=y/AE2-EF2=半〃

則團(tuán)/必。=竺='.

AF3

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三

角形等知識(shí)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點(diǎn)S(—1,0),7(1,0),對(duì)于一個(gè)角。(0°<?<180°),將一個(gè)圖

形先繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,再繞點(diǎn)7逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕，稱為一次“a對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”.

)'八y八

3-3-

2-2-

1-T

"0123x

1-

-2-

-3■

備用圖

(1)點(diǎn)R在線段5T上，則在點(diǎn)8(3,-2),C(2,-2),。(0,-2)中，有可能是由點(diǎn)/?經(jīng)過(guò)一

次“90。對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)是；

(2)x軸上的?點(diǎn)p經(jīng)過(guò)一次“。本稱旋轉(zhuǎn)”得到點(diǎn)Q.

①當(dāng)a=60。時(shí)，PQ=:

②當(dāng)a=30°時(shí)，若。軸，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(3)以點(diǎn)。為圓心作半徑為I的圓.若在上存在點(diǎn)使得點(diǎn)M經(jīng)過(guò)一次“。對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到

的點(diǎn)在x軸上，直接寫出。的取值范圍.

【答案】(1)B(3,-2)、C(2,-2)

(2)①2：②尸(石一1,0)

(3)0va?30。或150°KaK180。

【解析】

【分析】(I)由一次"a對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”定義，將8(3,-2),C(2,-2),