程守洙《普通物理學(xué)》 第13章 早期量子論和量子力學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)資料

國內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂程守洙《普通物理學(xué)》第十三章早起量子論和量子力學(xué)基礎(chǔ)主講老師：宋鋼

學(xué)習(xí)指導(dǎo)

了解量子力學(xué)建立的過程，掌握基本量子力學(xué)內(nèi)容。一、熱輻射普朗克的能量子假設(shè)

1、熱輻射

物體在任何溫度下都在發(fā)射各種波長的電磁波，這種由于物體中的分子、原子受到激發(fā)而發(fā)射電磁波的現(xiàn)象稱為熱輻射。

熱輻射的電磁波的波長、強(qiáng)度與物體的溫度有關(guān)，還與物體的性質(zhì)表面形狀有關(guān)。

物體輻射的總能量及能量按波長分布都決定于溫度。

2、基爾霍夫輻射定律

單色輻出度M

：

為了描述物體輻射能量的能力，定義物體單位表面在單位時間內(nèi)發(fā)出的波長在

附近單位波長間隔內(nèi)的電磁波的能量為單色輻出度。

輻出度M(T)：物體從單位面積上發(fā)射的所有各種波長的輻射總功率。

單色吸收比

a(T)和單色反射比r

(T)

：當(dāng)輻射從外界入射到物體表面時，吸收能量與入射總能量之比稱為吸收比。

當(dāng)輻射從外界入射到物體表面時，在

到

+d

的波段內(nèi)吸收的能量E

吸收

d

與入射的總能量E

入射

d

之比稱為單色吸收比；反射的能量與入射能量之比稱為反射比，波長

到

+d

范圍內(nèi)的反射比稱為單色反射比。

不透明物體：

（絕對）黑體：物體在任何溫度下，對任何波長的輻射能的吸收比都等于1，即

基爾霍夫定律：在溫度一定時物體在某波長

處的單色輻出度與單色吸收比的比值與物體及其物體表面的性質(zhì)無關(guān)，是僅取決于溫度和波長的一個常量。

一個好的發(fā)射體一定也是好的吸收體。

3、黑體輻射實驗定律

在溫度一定時，黑體的單色輻出度與波長有關(guān)，并存在一極大值，所對應(yīng)的極值點

m與溫度有關(guān)系。

由這些實驗曲線可得黑體輻射的兩個實驗定律。

1)斯特藩–玻耳茲曼定律

實驗證明，黑體的總輻出度M0(T)（每條曲線下的面積）與溫度的四次方成正比

=5.67×10-8W/（m2·K4）——斯特藩常量

2)維恩位移定律

黑體輻射中單色輻出度的極值波長

m與黑體溫度T之積為常量

b=2.897×10-3m·K——維恩常量

維恩因熱輻射定律的發(fā)現(xiàn)獲1911年諾貝爾物理學(xué)獎。

1964年，美國射電天文學(xué)家彭齊亞斯和威耳孫在研究從衛(wèi)星上反射回來的信號中，接收到一種在空間均勻分布的微波信號噪聲，這種噪聲不是天線或接收機(jī)本身的電噪聲，他們把它稱為宇宙背景輻射。1990年美國人證實了這一能譜分布。也證實了大爆炸宇宙論的預(yù)言，即由于初始的爆炸，在今日的宇宙中應(yīng)殘留溫度約為2.7K的熱輻射。由于背景輻射的發(fā)現(xiàn)在宇宙學(xué)上具有重要意義，彭齊亞斯和威耳孫同獲1978年諾貝爾物理學(xué)獎。4、普朗克的能量子假設(shè)

1)維恩經(jīng)驗公式

假定電磁波能量分布服從類似于經(jīng)典的麥克斯韋速度分布律，可得

2)瑞利–金斯公式

瑞利–金斯從經(jīng)典的能量均分定理出發(fā)，得到

這個公式在波長很長處與實驗曲線還比較相近，但在短波紫外光區(qū)方面，按此公式看來，上式將隨著波長趨向于0而趨于無窮大，完全與實驗結(jié)果不符，這一荒謬的結(jié)果，物理學(xué)史上稱為“紫外災(zāi)難”。普朗克利用內(nèi)插法，使兩個波段分別與維恩公式和瑞利–金斯公式一致，得到正確的黑體輻射公式：

普朗克常量：

改寫成頻率的函數(shù)

還可由普朗克公式導(dǎo)出黑體輻射的兩個實驗定律。

經(jīng)典電磁理論：輻射黑體分子、原子的振動可看作諧振子，這些諧振子可以發(fā)射和吸收輻射能。諧振子的能量可具有任意連續(xù)值。振子振動的能量是不連續(xù)的，只能取最小能量

的整數(shù)倍

,2

,3

,

,n

n為正整數(shù)

=h

——能量子（

為振子的頻率）

振子在輻射或吸收能量時，從一個狀態(tài)躍遷到另一個狀態(tài)。二、光電效應(yīng)愛因斯坦的光子理論

1、光電效應(yīng)的實驗規(guī)律

光電效應(yīng)：在波長較短的可見光或紫外線照射下某些金屬表面上發(fā)射電子的現(xiàn)象。

金屬板釋放的電子稱為光電子，光電子在電場作用下在回路中形成光電流。

實驗規(guī)律：

1）飽和光電流

電流隨光電管兩端電勢差的增加而增加，在入射光強(qiáng)一定時光電流會隨U的增大而達(dá)到一飽和值im，且飽和電流與入射光強(qiáng)I成正比。

結(jié)論：單位時間內(nèi)，受光照的金屬板釋放出來的電子數(shù)和入射光的

強(qiáng)度成正比。

2）遏止電勢差

減小電勢差至U=0時，光電流

I

≠0，說明光電子具有初動能。當(dāng)負(fù)的電勢差大到一定數(shù)值Ua

時光電流完全變?yōu)榱?，稱

Ua為遏止電勢差。

電子的最大初動能與Ua有關(guān)系：

結(jié)論：光電子從金屬表面逸出時具有一定的動能，最大初動能與入射光的強(qiáng)度無關(guān)。

3.遏止頻率（紅限）

當(dāng)入射光的頻率改變時遏止電勢差隨之改

變，實驗發(fā)現(xiàn)兩者成線性關(guān)系：

K與U0為正數(shù)。K與金屬材料種類無關(guān)，但U0與金屬材料種類有關(guān)。只有當(dāng)入射光頻率

大于一定的頻率

0時，才會產(chǎn)生光電效應(yīng)，

0

稱為遏止頻率或紅限。

結(jié)論：光電子從金屬表面逸出時的最大初動能與入射光的頻率成線性關(guān)系。當(dāng)入射光的頻率小于

0

時，不管照射光的強(qiáng)度多大，不會產(chǎn)生光電效應(yīng)。4）光電效應(yīng)瞬時發(fā)生

當(dāng)入射光頻率

大于紅限

0時，無論入射光的強(qiáng)度如何，光電子在光照射的瞬間可產(chǎn)生，馳豫時間不超過10-9

s。

2、光的波動說的缺陷

金屬表面對電子具有束縛作用，電子脫離金屬表面所需要最少能量稱為逸出功(workfunction)。按照光的經(jīng)典電磁理論：

光電子的初動能應(yīng)決定于入射光的光強(qiáng)，即決定于光的振幅（即光強(qiáng)）而非光的頻率，不應(yīng)存在截止頻率！

光的能量是連續(xù)的，電子吸收光的能量需要一個累積過程，電子積累能量達(dá)到逸出功A時才能逸出，不可能瞬時發(fā)生！

3、愛因斯坦的光子理論

光具有粒子性，光是由一個一個的光子（光量子）組成，每個光子的能量與其頻率成正比。光的能流密度S決定于單位時間內(nèi)通過該單位面積的光子數(shù)N，頻率為

的單色光的能流密度為S＝Nh。

根據(jù)能量守恒定律，電子在離開金屬表面時具有的初動能滿足：

光電效應(yīng)方程。

電子離開金屬表面的動能至少為零，故當(dāng)

<A/h時，不發(fā)生光電效應(yīng)?？砂l(fā)生光電效應(yīng)的最小頻率即紅限：不同金屬的A不同，則紅限不同。4、光的波粒二象性

在有些情況下，光突出顯示出波動性；而在另一些情況下，則突出顯示出粒子性——光有波粒二象性，并有如下關(guān)系：

能量：

質(zhì)量：

靜質(zhì)量：

動量：

三、康普頓效應(yīng)

1、康普頓效應(yīng)

1922–1923年，康普頓研究了X射線在石墨上的散射，在散射的X射線中不但存在與入射線波長相同的射線，同時還存在波長大于入射線波長的射線成分——康普頓效應(yīng)。

規(guī)律

散射光除原波長λ0外，

還出現(xiàn)了波長大于λ0的新

的散射波長λ。

波長差

=-0隨散

射角

的增大而增大。

新波長的譜線強(qiáng)度隨散射角

的增加而增

加，但原波長的譜線強(qiáng)度降低。

對不同的散射物質(zhì)，只要在同一個散射角下,波長的改變量-0都相同，與散射物質(zhì)無關(guān)！2、光子理論的解釋

經(jīng)典電磁理論的困難：如果入射X射線是某種波長的電磁波，散射光的波長是不會改變的——不能解釋散射中的新波長成分。

康普頓認(rèn)為：X射線的散射應(yīng)是光子與原子內(nèi)電子的碰撞。

X射線光子與原子“內(nèi)層電子”的彈性碰撞。內(nèi)層電子與核結(jié)合較為緊密（keV)，他認(rèn)為碰撞實際上可以看作是發(fā)生在光子與質(zhì)量很大的整個原子間的碰撞——光子基本上不失去能量——保持原性質(zhì)不變。

X射線光子與原子“外層電子”的彈性碰撞：外層電子與核結(jié)合較弱（幾個eV）——與X射線光子相比，這些電子近似看成為“靜止”的

“自由”電子。光子與電子的彈性碰撞——光子失去部分能量，頻率下降，波長增加——康普頓效應(yīng)。

能量守恒：

動量守恒：

康普頓波長為普適常量，與物質(zhì)種類無關(guān)！理論和實驗結(jié)果符合得很好。

當(dāng)入射波長

0與

C可比擬時，康普頓效應(yīng)才顯著，因此要用X射線才能觀察到康普頓散射，用可見光觀察不到康普頓散射。

五、德布羅意波微觀粒子的波粒二象性

（四、氫原子光譜玻爾的氫原子理論不講）

1、德布羅意波

具有能量E和動量p的實物粒子所聯(lián)系的波的頻率

和波長

有關(guān)系：

具有靜止質(zhì)量m0的實物粒子以速度v運動，則和該粒子相聯(lián)系的平面單色波的波長為

這種波既不是機(jī)械波也不是電磁波，稱為德布羅意波(deBrogliewave)或物質(zhì)波(matterwave)。2、戴維孫–革末實驗

貝耳電話公司實驗室的戴維遜和革末研究電子在鎳單晶上的衍射。

φ=50°方向上測到電流的第一次峰值。

這個測量結(jié)果不能用粒子運動來說明，但可以用X射線對晶體的衍射

方法分析，計算結(jié)

果表明，電子確實

具有波動性，而且

也檢驗了德布羅意

波長公式的正確性。1928年英國物理學(xué)家G.P.湯姆孫做了電子通過金多晶薄膜的衍射實驗。

鑲嵌了48個Fe原子的Cu表面的掃描隧穿顯微鏡照片。48個Fe

原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。

3、微觀粒子的波粒二象性六、不確定關(guān)系

由于微觀粒子的波粒二象性，粒子的位置是不確定的。

坐標(biāo)的不確定量：。

按照經(jīng)典波動理論，約束在空間某區(qū)域內(nèi)的波不可能是單色的——不可能具有唯一的波長。

這一結(jié)論對物質(zhì)波同樣正確：被束縛在某區(qū)域的粒子不可能具有確定的動量，即粒子的坐標(biāo)和動量不能同時取確定值。

動量的不確定量：。

位置和動量的不確定量存在一個關(guān)系——不確定關(guān)系。

海森伯位置–動量不確定關(guān)系：

以電子的單縫衍射為例說明（d為縫寬）

對落在中央明紋范圍內(nèi)的電子：

考慮到落在其他明紋內(nèi)的電子：

能量與時間之間存在

七、波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋薛定諤方程

1、物質(zhì)波波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋

奧地利物理學(xué)家薛定諤1925年提出用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子運動狀態(tài)。

平面波波函數(shù)

由于

沿x軸正方向運動、能量E、動量p的自由粒子對應(yīng)的平面物質(zhì)波波函數(shù)應(yīng)為

愛因斯坦為了解釋光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的強(qiáng)度解釋為光子出現(xiàn)的概率密度。

玻恩(M．Born)在這個觀念的啟發(fā)下，將其推廣到物質(zhì)波波函數(shù)的物理意義：在某一時刻，在空間某處，微觀粒子出現(xiàn)的概率正比于該時刻、該地點波函數(shù)的平方。

對單個粒子，給出粒子的概率密度；

對N個粒子，給出粒子數(shù)的分布密度。

在時刻t、空間點處，體積元dV

中發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率為。

對N個粒子系，在體積元dV中發(fā)現(xiàn)的粒子數(shù)為。

波函數(shù)應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)且歸一的條件

注意：是在整個空間內(nèi)進(jìn)行積分。

2、薛定諤方程

奧地利物理學(xué)家，提出量子力學(xué)最基本的方程。

1）自由粒子的薛定諤方程

自由粒子波函數(shù)：

對波函數(shù)微分得：

一維運動自由粒子(v<<c)的薛定諤方程。

2）在勢場中粒子的薛定諤方程

總能量E應(yīng)是勢能U(x,t)與動能之和：

對處于保守力場U(x,t)中的粒子：

則有

推廣到三維

拉普拉斯算符

則得到了含時的薛定諤方程3）定態(tài)薛定諤方程

若勢能函數(shù)U與時間無關(guān)，則

代入薛定諤方程可得

等式兩端應(yīng)等于同一常數(shù)E（分離變量法）并積分可得

由于指數(shù)只能是量綱為1的純數(shù)，可見E必須具有能量的量綱。

定態(tài)薛定諤方程。

定態(tài)時，粒子的波函數(shù)

粒子出現(xiàn)在空間的概率密度：

粒子出現(xiàn)在空間的概率與時間無關(guān)，稱為定態(tài)。

可見，定態(tài)問題最后歸結(jié)為求解定態(tài)薛定諤方程。

八、一維定態(tài)薛定諤方程的應(yīng)用

1、一維無限深勢阱

粒子被限制在有限的空間范圍內(nèi)運動，其勢函數(shù)稱為勢阱。如金屬中的電子。

勢能函數(shù)為

阱外：

方程的解只能是

阱內(nèi)：

解為

波函數(shù)在阱壁上的連續(xù)條件

歸一化常數(shù)C和定態(tài)波函數(shù)：

定態(tài)波函數(shù)為

波函數(shù)為：

運動特征

1）粒子的能量量子化

2）粒子的最低能量不等于零

3）粒子在勢阱內(nèi)出現(xiàn)的概率是不均勻的

4）粒子的物質(zhì)波在阱內(nèi)形成駐波

如果勢阱不是無限深，粒子的能量又低于阱璧，粒子在阱外不遠(yuǎn)處出現(xiàn)的概率不為零。

2、一維勢壘隧道效應(yīng)

一維方勢壘

對于從Ⅰ區(qū)沿x方向運動的粒子

按照經(jīng)典力學(xué)：

當(dāng)E>U0時，粒子可以進(jìn)入x>0的Ⅱ區(qū)；

當(dāng)E<U0時，粒子不可能進(jìn)入x>0的Ⅱ區(qū)，在壘壁處粒子被反彈回x<0區(qū)。

對于量子力學(xué)，定態(tài)薛定諤方程

由于粒子到達(dá)區(qū)域III后不會再有反射，且波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件，設(shè)入射波的振幅A已知，就可以求得其他四個積分常數(shù)，從而得到粒子在這三個區(qū)域中的波函數(shù)。在粒子總能量低于勢壘壁高的情況下，粒子有一定的概率穿透勢壘，稱為隧道效應(yīng)。

貫穿系數(shù)

1982年，賓尼希和羅雷爾等人利用電子的隧道效應(yīng)研制成功掃描隧道顯微鏡。金屬表面處存在著勢壘，阻止內(nèi)部的電子向外逸出。若在樣品和探針之間加微波的電壓，電子就會穿過兩個電極之間的勢壘，流向另一個電極形成隧道電流。這種隧道電流的大小是電子波函數(shù)重疊程度的量度，與針尖和樣品表面之間的距離以及樣品表面平均勢壘高度有關(guān)，即。九、量子力學(xué)中的氫原子問題

1、氫原子的薛定諤方程

氫原子中電子的勢能函數(shù)

定態(tài)薛定諤方程

采用球坐標(biāo)（r、

、

）

定態(tài)薛定諤方程變?yōu)?/p>

采用分離變量法可得到三個常微分方程

三個常微分方程：

引入三個常數(shù)來討論這個波函數(shù)

2、量子化條件和量子數(shù)

1）能量量子化——主量子數(shù)n

須滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，得到氫原子能量必須滿足量子化條件：

稱為主量子數(shù)。與波爾求得一致。2）軌道角動量(大小)的量子化

電子軌道角動量大小必須滿足量子化：

l稱為角量子數(shù)

3）軌道角動量的空間量子化

電子軌道角動量在外磁場方向（z軸）的投影須滿足量子化：

ml稱為磁量子數(shù)(2l+1個)

即角動量在空間的取向也是量子化的。對于一定的角量子數(shù)l,磁量子數(shù)

ml

可取(2

l+1)個值，角動量在空間z

方向的取向只有(2

l+1)種可能。3、氫原子中電子的概率分布

電子的定態(tài)波函數(shù)：

概率密度

空間體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率

書上263頁列出了低量子數(shù)的具體表達(dá)式，同時也給出了分布圖（264-266頁），這些都反應(yīng)出電子出現(xiàn)的概率。十、電子的自旋原子的電子殼層結(jié)構(gòu)

1、施特恩－格拉赫實驗

實驗結(jié)果