2024年廣東省廣州市中考數(shù)學真題卷（含答案與解析）

機密★啟用前

2024年廣州市初中學業(yè)水平考試

數(shù)學

試卷共8頁，25小題，滿分120分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必在答題卡第1面、第3面、第5面上用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆填寫自

己的考生號、姓名；將自己的條形碼粘貼在答題卡的“條形碼粘貼處”.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題答案必須用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置

上，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答

案，改動后的答案也不能超出指定的區(qū)域；不準使用鉛筆（作圖除外）、涂改液和修正

帶,不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

1.四個數(shù)T0,-1,0,1°中，最小數(shù)是（）

A.-10B.-1C.0D.10

2.下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關于點0

對稱的是（）

3.若。工0,則下列運算正確的是（

aaa

A.—l—=—B.

235

aaa

4.若。,則（）

A.a+3>Z?+3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<2b

5.為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機調(diào)查了本地50個公園的用地面積，按照

0</K4,4<x<8,8<%<12,12<x<16,16</K20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方

B.用地面積在8cXK12這一組的公園個數(shù)最多

C.用地面積在4<x48這一組的公園個數(shù)最少

D.這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃

6.某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的

1.2倍還多1100輛.設該車企去年5月交付新車文輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.1.2x+l100=35060B.1.2x-l100=35060

C.1.2(%+1100)=35060D.x-1100=35060x1.2

7.如圖，在“8C中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊3C的中點，點E，尸分別在邊A8,AC

上，AE=C/，則四邊形AEOF的面積為（）

A.18B.9^2C.9D.6夜

8.函數(shù)y=〃V+"+c與為=二的圖象如圖所示，當（）時，M，力均隨著x的增大而減小?

x

A.x<-\B.—1<X<0C.0cx<2D.x>\

9.如圖，。0中，弦AB長為4石，點C在。。上，OC1AB,ZABC=30°.。。所在的平面內(nèi)有

一點P,若OP=5,則點〃與OO的位置關系是（）

A.點一在。0上B.點尸在G。內(nèi)C.點尸在OO外D.無法確定

10.如圖，圓錐側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,則該圓錐的體積是

（）

A亞式B.包兀C,2顯D.偵兀

883

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.如圖，直線/分別與直線。，力相交，a/fb,若Nl=71。，則N2的度數(shù)為

1

b

12.如圖，把"，R2,4三個電阻串聯(lián)起來，線路A3上的電流為/,電壓為U,則

U=IR、+IR?+叫.當凡=20.3,/?2=31.9,4=47.8,/=2.2時，U的值為

區(qū)

13.如圖，YA8CD中，BC=2,點E在D4的延長線上，BE=3,若平分NEBC,則。七=

14.若/一24—5=0,則2〃—4〃+1=.

[a2-b(a<0),

15.定義新運算：a?b=\，/例如：—2X4=(—2)2—4=0,2區(qū)3=—2+3=1.若

卜4+/?(4>0)

3

x?1=--,則x的值為______.

4

16.如圖，平面直角坐標系上3,中，矩形。48C的頂點8在函數(shù)尸々x>0)的圖象上，41,0),

x

C(0,2).將線段A3沿％軸正方向平移得線段A8'(點A平移后的對應點為4'),A'U交函數(shù)

y=?(x>0)的圖象于點。，過點。作?！旯ぁ份S于點上，則下列結(jié)論：

②-OBD的面積等J：四邊形ABDA的面積；

③A'E的最小值是血;

?AB,BD=ABB,O.

其中正確的結(jié)論有.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

13

17.解方程：----=—

2x-5x

18.如圖，點E，尸分別在正方形ABC。的邊8C,CDh,BE=3,EC=6,CF=2.求證:

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線8。（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線8。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到。。，連接AO,CD.求證：四邊

形A8CO是矩形.

20.關于x的方程/一2工+4-6=0有兩個不等的實數(shù)根.

（1）求〃?的取值范圍;

1-nrm-\m-3

（2）化簡:

\m-3C~m+\

21.善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一.為了解同學們的提問水平，對A，8兩組同學進

行問卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）:

A組75788282848687889395

8組75778083858688889296

（1）求A組同學得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從A、。兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同

一組的概率.

22.2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背

面.某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速

卜降階段從A點垂直下降到B點，再垂直下降到著陸點C,從6點測得地面D點的俯角為36.87°,

AO=17米，30=10米.

（2）若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到〃點，求模擬裝置從A點下降到3點的時間.（參考

數(shù)據(jù)：sin36.87。。0.60,cos36.87°?0.80,tan36.87°?0.75）

23.一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征.某數(shù)學興趣小組收集了大量不同人群的身

高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高了和腳長x之間近似存在一個函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如

下表：

腳長???232425262728???

x(cm)

身高

???156163170177184191???

），（cm）

9s

9

8(M

85?

7

7()l

65r

6ol

55l

5

<)st

一^

^m

圖

（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應的點（為歷；

k

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y=or+儀和y=-（2wO）中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映身高

x

和腳長的函數(shù)關系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出X的取值范圍）；

（3）如圖2,某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm,請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計

這個人的身高.

24.如圖，在菱形ABC。中，ZC=120°.點￡在射線8c上運動（不與點B,點。重合），△但關于

AE的軸對稱圖形為

（I）當NBA/=30。時，試判斷線段AF和線段AO的數(shù)量和位置關系，并說明理由；

（2）若AB=6+6g，OO為戶的外接圓，設的半徑為人

①求，?的取值范圍；

②連接尸。，直線/O能否與C。相切？如果能，求8E長度；如果不能，請說明理由.

25.已知拋物線G:y=ax2-6ax-o,+2a2+\（a>0）過點A（,q,2）和點8仇,2）,直線/:y=nrx+n

過點C（3,l）,交線段A8于點。，記的周長為C1,△（?"的周長為。2,且0=6+2.

（I）求拋物線G的對稱軸:

（2）求〃?的值；

⑶直線/繞點c以每秒3。的速度順時針旋轉(zhuǎn)/秒后（0±<45）得到直線r,當r〃/w時，直線/'交

拋物線G于七，尸兩點.

①求，的值；

②設△A"'的面積為S,若對于任意的?！?,均有S2%成立，求女的最大值及此時拋物線G的解析

式.

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

1.四個數(shù)T°,-1,0,1°中，最小的數(shù)是（）

A.-10B.-IC.OD.10

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題關鍵是掌握有理數(shù)大小比較法則：正數(shù)大于零，負數(shù)小于

零，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而

小.

【詳解】解：v-10<-l<0<10,

二?最小的數(shù)是-10,

故選:A.

2.下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關于點0

對稱的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關鍵.根據(jù)對應點連線是否過點。

判斷即可.

【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點。對稱的是C,

故選：C.

3.若。則下列運算正確的是（）

aaa_,.

A.—+T=TB-a-a~9=a

235

〃235,,

C.---=-D./=1

aaa

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了分式乘法，同底數(shù)‘暴乘法與除法，掌握相關運算法則是解題關鍵.通分后變?yōu)橥帜?/p>

分數(shù)相加，可判斷A選項；根據(jù)同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可判斷B選項：根據(jù)分式乘法法則

計算，可判斷C詵項：根據(jù)同底數(shù)基除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可判斷D詵項.

【詳解】解：A、=+==與+鄉(xiāng)=當，原計算錯誤，不符合題意；

23666

B、原計算正確，符合題意；

C、,原計算錯誤，不符合題意；

aaa~

D、/+/=〃，原計算錯誤，不符合題意；

故選:B.

4.若。<〃，則（）

A.。+3>〃+3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<lb

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了不等式基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關鍵.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)

逐項判斷即可得.

【詳解】解：A.???〃<〃，

：.a+3<b+3f則此項錯誤，不符題意；

B.?:avb,

???〃一2〈〃一2,則此項錯誤，不符題意；

c.???〃<〃，

/.-a>-b,則此項錯誤，不符合題意;

D.'：a<b.

/.la<2b,則此項正確，符合題意：

故選：D.

5.為了解公園用地面積x(單位：公頃)的基本情況，某地隨機調(diào)查了本地50個公園的用地面積，按照

0</K4,4<x<8,8<%<12,12cx<16,16</K20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方

B.用地面積在8cXK12這一組的公園個數(shù)最多

C.用地面積在4<x48這一組的公園個數(shù)最少

D.這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是從頻數(shù)分布宜方圖獲取信息，根基圖形信息直接可得答案.

【詳解】解：由題意可得：?=50-4-16-12-8=10,故A不符合題意；

用地面積在8cx<12這一組的公園個數(shù)有16個，數(shù)量最多，故B符合題意；

川地面積在0<xW4這一組的公園個數(shù)最少，故C不符合題意；

這50個公園中有20個公園用地面積超過12公頃，不到一半，故D不符合題意；

故選B

6.某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的

1.2倍還多1100輛.設該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為()

A.1.2A:+11(X)=35060B.1.2x-11(X)=35060

C.1.2(x+1100)=35060D.x-1100=35060x1.2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出題忖中的數(shù)量關系是解題關鍵.設該車企去年5月交付新

車工輛，根據(jù)“今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列出方程即

可.

【詳解】解：設該車企去年5月交付新車x輛，

根據(jù)題意得：1.2x4-11(X)=35060,

故選：A.

7.如圖，在金。中，NA=90。，AB=AC=6,D為邊BC的中點，點E，尸分別在邊48,AC

上，AE=CF,則四邊形AEOF的面積為()

A.18B.9&C.9D.6上

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關的線段與角度的轉(zhuǎn)化是

解題關鍵.連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及4石=C"得出VAOEWVCDb,將四邊形

AEDF的面枳轉(zhuǎn)化為三角形AOC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接AZ),如圖：

VZBAC=90°,AB=AC=6,點。是8c中點，AE=CF

???/BAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC

:.VADE^VCDF，

,,S四邊形4"尸=SfED+S&ADF=S公CFD+S4ADF=]^^ABC

又,：S?MAO8Lc=62x6x—=18

,*S四邊形AEDF=/SABC=9

故選:c

b

8.函數(shù)y=。/+〃x+c與”二一的圖象如圖所示，當（）時，乂，A均隨著工的增大而減小.

-x

JV

<T

A.r<—1B.—I<r<0C.0<r<2D.x>I

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關鍵.由函數(shù)

圖象可知，當X>1時，,隨著x的增大而減?。粌?nèi)位于在一、三象限內(nèi)，且%均隨著x的增大而減小，據(jù)

此即可得到答案.

【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當x>l時，y隨著工的增大而減小；

為位于一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)乃均隨著工的增大而減小，

???當x>l時，》，為均隨著x的增大而減小，

故選：D.

9.如圖，。0中，弦的長為46,點C在。0上，OC1AB,ZABC=30°.。0所在的平面內(nèi)有

一點P,若。。=5,則點P與。O的位置關系是（）

A.點P在。。上B?點P在OO內(nèi)C.點尸在OO外D.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關性質(zhì)是解題

關鍵.由垂徑定理可得人。=26，由圓周角定理可得NAOC=60。，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出。。的

半徑，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，令OC與AB的交點為D,

???oc為半徑，AB為弦,且OC_L44,

AD=-AB=2y/3,

2

???ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°,

在AAOO中，ZAZX>=90°AD=2

>ZAOD=60°,。

An

?/sinZAOD=—,

OA

nA_AD_2x/3_

一一/旃一近一，即GO的半徑為4,

T

???OP=5>4,

???點P在O。外，

c

10.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,則該圓錐的體積是

()

72°

1

A.①B47r

b.---兀C.2扃D.里

883

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長

相等是解題關鍵，設圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長為2乃小根據(jù)弧長公式得出側(cè)面展開圖的弧長，進

而得出r=1,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可.

【詳解】解：設圓錐的半徑為〃，則圓錐的底面周長為2Gl

圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，且扇形的半徑/是5,

724x5

身形的弧長為-------二24，

180

圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長相等，

/.271T=2〃，

F=1，

圓錐的高為752-12=2"，

???圓錐的體積為xFx2?=辿萬，

33

故選：D.

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.如圖，直線/分別與直線。，力相交，afb,若Nl=71。，則N2的度數(shù)為

1

b

2

【答案】109°

【解析】

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補角的含義，先證明N1=N3=71。，再利用鄰補角的含義可得答

案.

???Z1=Z3=71°,

???Z2=180°-Z3=109°：

故答案為：109。

.如圖，把凡，&三個電阻串聯(lián)起來，線路上的電流為/,電壓為則

12R2,A3U,

.當凡=時，的值為

U=因+IR]+IR、20.3,R2=31.9,Ry=47.8,/=2.2U

4

【答案】220

【解析】

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運算律，掌握相關運算法則，正確計算是解題關鍵.根據(jù)

u=IR1+IR2+限,將數(shù)值代入計算即可.

【詳解】解：???。=/凡+〃?2+爪3，

當K=20.3,/?2=31.9,6=47.8,/=2.2時,

(7=20.3x2.2+31.9x2.24-47.8x2.2=(20.3+31.9+47.8)x2.2=220,

故答案為：220.

13.如圖，YA8C。中，BC=2,點E在04的延長線上，BE=3,若84平分/￡8C,則。七=

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關

鍵.由平行四邊形的性質(zhì)可知，AD=BC=2,BC//AD,進而得出〃4石=NER4,再由等角對等

邊的性質(zhì)，得到/E=AE=3,即可求出。石的長.

【詳解】解：在YABCO中，BC=2,

.,AD=BC=2,BC//AD.

:2CBA=ABAE,

BA平分NEBC,

:.￡CBA=4EBA,

:"AE=^EBA,

BE=AE=3>

,,DE=AD+AE=2+3=5,

故答案為：5.

14.若/一2。-5=0，則2/_4。+1=

【答案】II

【解析】

【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價形式是解題關鍵.

由/一2々一5=0,得2々=5,根據(jù)對求值式子進行變形，再代入可得答案.

【詳解】解：???。2一2。一5二0,

/.a2-2。=5，

.?.24_4〃+1=2"，一筋）+1=2><5+1=11,

故答案為：11.

?fa2-b（a<0],

15.定義新運算：a?b=\二例如：一2二4二（一2）2-4=0,2二3=-2+3=1.若

|-6/+Z>（6/>0）

3

x?l=--,則x的值為_______

4

【答案】一，或N

24

【解析】

【分析】本題考杳了一元二次方程應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義.根據(jù)

新定義運算法則列出方程求解即可.

a1-b^a<0）

【詳解】解:'：a?b=

一a+>0）

3

而工③14-

???①當XKO時，貝I有/一1=一一,

4

解得，x=——；

2

3

②當x>0時，—X+1=—>

4

7

解得，x=-

4

17

綜上所述，x的值是一一或一，

24

故答案為：一!或z.

24

16.如圖，平面直角坐標系X?！分?，矩形。45。的頂點B在函數(shù)y=2(x>0)的圖象上，A(l,0),

。(0.2).將線段/U5沿％軸正方向平移得線段A8'(點A平移后的對應點為A),AB'交函數(shù)

y=A*>0)的圖象于點。，過點。作。軸于點E，則下列結(jié)論:

②，OBD的面積等于四邊形ABDA!的面積；

③A'E的最小值是加；

④/RRD=/RR'().

其中正確的結(jié)論有.(填寫所有正確結(jié)論的序號)

【答案】①②④

【解析】

【分析】由B(l,2),可得左=1x2=2,故①符合題意；如圖，連接OB,OD,BD,。。與AB的交點

為K，利用攵的幾何意義可得二04。的面積等于四邊形A3DA的面積；故②符合題意；如圖，連接AE,

證明四邊形4OEO為矩形，可得當0。最小，則4E最小，設。卜,■|)(x>0),可得4E的最小值為2,

故③不符合題意；如圖，設平移距離為〃，可得&(〃+1,2),證明.8fB4AOB',可得ZB,BD=ZB,OA,,

再進一步可得答案.

【詳解】解：???41.0),CQ2),四邊形QWC是矩形；

.?.。0,2).

??.k=lx2=2,故①符合題意；

如圖，連接。8,0D,BD,0D與AB的交點為K，

=

SBOKS四邊形AKC4,，

??§BOK+SBKD=S四邊形八KDV+SBKD?

??.」OBD的面積等于四邊形ABDA的面積；故②符合題意;

如圖，連接4E,

???四邊形4OEO為矩形，

/.ArE=OD,

???當0。最小，則4E最小，

設Dx,-|j(x>0),

42

:.0D2=X2+—>2X—=4,

X-X

：?ODN2,

???4'七的最小值為2,故③不符合題意;

如圖，設平移距離為〃，

???町鹿+1,2),

2

???反比例函數(shù)為)，二一，四邊形W?CO為矩形，

x

???/39。=/3'夕=90。，+3],

：?BB=n，。4'=〃+1,87)=2-------=—,A'8'=2,

〃+1n+\

2n

1

/.HR_n_n+\_R'D,

???A&BDn/B'OA',

■:BrC//AO,

???NC?O=Z4'Q9,

：?/BBDu/BB'O,故④符合題意；

故答案為：①?@

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

13

17.解方程：------=-.

2x-5x

【答案】人=3

【解

【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關鍵，注意檢驗.依次去分母、去括號、移

項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案.

13

【詳解】解:-——=-,

2x-5x

去分母得：x=3(2x-5),

去括號得：x=6.r-15,

移項得：,r-6x=-15,

合并同類項得：一5%二一15,

解得：x=3,

經(jīng)檢驗，1=3是原方程的解，

二?該分式方程的解為x=3.

18.如圖，點E，尸分別在正方形48CO的邊8C,CO上，BE=3,EC=6,CF=2.求證:

△ABEs八ECF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關健.根據(jù)正方

ADD17

形的性質(zhì)，得出N5=NC=90。，AB=CB=9,進而得出「；=X，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三

ECCF

角形相似即可證明.

【詳解】解：??,BE=3,EC=6,

BC=9,

四邊形ABC。是正方形，

,-.AB=CB=9,ZB=ZC=90°,

Afi93BE3

?/---,-----------=—，

EC62CF2

.ABBE

~EC~~CF

又???N3=NC=90。，

ABES：,ECF.

19.如圖,RtZXABC中,?B90?.

A

（l）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線5。（保留作圖痕跡，不寫作法）:

（2）在（1）所作的圖中，將中線30繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到。。，連接AO,CD.求證：四邊

形43c。是矩形.

【答案】（1）作圖見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);

（1）作出線段AC的垂直平分線ER交AC于點。，連接80,則線段80即為所求;

（2）先證明四邊形A8C。為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定川得結(jié)論.

【小問1詳解】

解：如圖，線段3。即為所求;

【小問2詳解】

???由作圖可得：AO=CO,由旋轉(zhuǎn)可得：BO=DO,

???四邊形A6CD為平行四邊形,

■:ZA^C=90°,

???四邊形ABCO為矩形.

20.關于x的方程W—2X+4-〃?=0有兩個不等的實數(shù)根.

（1）求m的取值范圍;

【答案】⑴m>3

（2）-2

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運算，掌握相應的基礎知識是解本題的關鍵;

（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡絕對值，再計算分式的乘除混合運算即可.

【小問1詳解】

解：???關于1的方程f一2工+4-〃2=0有兩個不等的實數(shù)根.

/.A=（-2）~—4xlx（4-m）>0>

解得：機>3；

【小問2詳解】

解：

?_1_-_t_r_r_._m__-_1_m_-__3

I-312m+1

一（"7+1）（機-1）2fn-3

---------------------------

m-3m-[m+\

=-2：

21.善于提問是應川人工智能解決問題的重要因素之一.為了解同學們的提問水平，對A,8兩組同學進

行問卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：

A組75788282848687889395

8組75778083858688889296

（1）求A組同學得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從A、A兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同

一組的概率.

【答案】（1）A組同學得分的中位數(shù)為85分，眾數(shù)為82分：

【解析】

【分析】本題考查了中位數(shù)與眾數(shù)，列表法或樹狀圖法求概率，掌握相關知識點是解題關鍵.

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

(2)由題意可知，A、8兩組得分超過90分的同學各有2名，畫樹狀圖法求出概率即可.

【小問1詳解】

解：由題意可知，每組學生人數(shù)為10人，

，中位數(shù)為第5、6名同學得分的平均數(shù)，

84+R6

A組同學得分的中位數(shù)為------=85分，

2

???82分出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，

???眾數(shù)為82分；

【小問2詳解】

解:由題意可知，A、8兩組得分超過90分的同學各有2名，

令A組的2名同學為4、人,區(qū)組的2名同學為四、B2,

畫樹狀圖如下：

開始

/T\ZNZNZN

A|B|B2AIBJB3A)A：B2A】A2B)

由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，其中這2名同學恰好來自同一組的情況有4種，

41

丁?這2名同學恰好來自同一組的概率一7二二.

123

22.2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體(簡稱為“著上組合體”)成功著陸在月球背

面.某校綜合實踐小組制作了一個“看上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速

下降階段從A點垂直下降到8點，再垂直下降到著陸點C,從3點測得地面。點的俯角為36.87。，

AQ=17米，8力=10米.

B

36.8

CD------

（1）求CO的長；

（2）若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到8點，求模擬裝置從A點下降到3點的時間.（參考

數(shù)據(jù)：sin36.87°?0.60，cos36.87。。0.80,tan36.87°?0.75）

【答案】（1）CO的長約為8米；

（2）模擬裝置從A點下降到4點時間為4.5秒.

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應用——仰俯先問題，靈活運用銳知三角函數(shù)求邊長是解題關鍵.

（1）過點、8作BE〃CD交AD于點、E，根據(jù)余弦值求出COH勺長即可；

（2）先由勾股定理，求出AC的長，再利用正弦值求出3C的長，進而得到AB的長，然后除以速度，即

可求出下降時間.

【小問1詳解】

解：如圖，過點B作BE〃CD交AD于點E,

由題意可知，NDBE=36.87。,

.?"DC=36.87。，

在△5CD中，ZC=90°,BD=10米,

CD

cosZfi￡>C=—,

BD

/.cus36.87n=10x0.80~8米，

即CO的長約為8米；

【小問2詳解】

解：QAO=17米，CD=8米,

，AC==15米，

在△BC。中，ZC=90°,BD=10米,

???sinZBDC=—,

BD

BC=BDsin36.87。?l()x0.60、6米，

.?.AB=AC-AC=15-6=9米，

模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到8點，

模擬裝置從A點下降到B點的時間為9+2=4.5秒，

即模擬裝置從A點下降到B點的時間為4.5秒.

23.一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征.某數(shù)學興趣小組收集了大量不同人群的身

高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高），和腳長工之間近似存在一個函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如

下表：

腳長

???232425262728???

x(cm)

身高

???156163170177184191???

y(cm)

（I）在圖I中描出表中數(shù)據(jù)對應的點（x,y）；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y=or+儀。。0）和y中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映身高

x

和腳長的函數(shù)關系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出X的取值范圍）；

（3）如圖2,某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm,請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計

這個人的身高.

【答案】（1）見解析（2）y=7x-5

（3）175.6cm

【解析】

【分析】本題考查了函數(shù)的實際應用，正確理解題意，選擇合適的函數(shù)模型是解題關鍵.

（I）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可描點；

⑵選擇函數(shù)）=?工。）近似地反映身高和腳長的函數(shù)關系，將點（23J56）,（24,163）代入即可求

解；

（3）將25.8cm代入y=lx-5代入即可求解；

【小問1詳解】

解：由圖可知：，隨著x的增大而增大,

因此選擇函數(shù)y=OT+伙0）近似地反映身高和腳長的函數(shù)關系,

將點（23,156）,（24,163）代入得:

156=23。+/?

163=24。+b

a-1

解得：

b=-5

:.y=7工一5

【小問3詳解】

解：將25.8cm代入y=7x-5得:

y=7x25.8-5=175.6cm

???佶計這個人身高175.6cm

24.如圖，在菱形ABCO中，NC=120。.點E在射線8C上運動（不與點B,點。重合），八4國關于

AE的軸對稱圖形為ZVIEF.

B<^A>D

（1）當NBA產(chǎn)=30。時，試判斷線段■和線段A。的數(shù)量和位置關系，并說明理由；

（2）若AB=6+65。。為防的外接圓，設OO的半徑為

①求廣的取值范圍；

②連接尸。，直線ED能否與OO相切？如果能，求破的長度；如果不能，請說明理由.

【答案】（1）AF=AD,AF1AL）

⑵①北3+3石且，?工26+6；②能，BE=12

【解析】

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得NB4D=NC=120。，AB=AD^再結(jié)合軸對稱的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）①如圖，設△AM的外接圓為。。，連接AC交BD于H.連接OA,OE,OF,OC,證明

?3C為等邊三角形，A,E,￡C共圓，ZAOE=2ZAFE=120°,。在8。上，

ZAEO=ZE4O=30°,過。作QJJLA石于J,當人上」8c時，最小，則AO最小，再進一步可得

答案；②如圖，以A為圓心，AC為半徑畫圓，可得氏在0A上，延長C4與0A交于L，連接

DL,證明/?！?。=180。-30。=150。，可得NObC=60。，△Ob為等邊三角形，證明

NBA/=120。-30。=90。，可得：NB4E=NE4E=45。，BE=EF,過七作￡^_1_人尸于何，再進

一步可得答案.

【小問1詳解】

解：A尸=4），AF±AD;理由如下：

???在菱形A8CZ）中，ZC=120°,

AZBAD=ZC=120°,AB=AD^

???/B"=30。，

???z^4D=120°-30°=90o,

:.AF1AD,

由對折nJ得：AB=AF

AAF=ADx

【小問2詳解】

解：①如圖，設/XAEb的外接圓為。。，連接AC交8。于H.連接OA,0E,OF,OC,

???四邊形4BCO為菱形，Z^CD=120°,

AACJ.BD,ZBC4=60°,BA=BC,

???ABC為等邊三角形,

???Z/WC=ZAF￡=60c=ZAC9,

???A,￡￡C共圓，ZAOE=2ZAFE=\20°,0BD上,

???AO=OE,

???/AEO=440=30。，

過。作Q/_LAE于/,

AJ=EJ,AO=^—AJ，

3

?4八6A日

??AO=—AE，

3

當AE_L2C時，AE最小，則A。最小，

VAB=6+67342c=60。，

AAE=AB-sin600=（6+6@x等=3肉9,

???AO=今36+9）=3+3X/L

???點E不與8、C重合，

/.AE>9+3V3,且4EH6+6X/J，

:?，的取值范圍為r之3+3敢且r工2百+6;

②。尸能為。。的切線，理由如下：

如圖，以A為圓心，AC為半徑畫圓，

VAB=AC=AF=AD,

/.8,（7,尸,￡）在64上，

延長C4與OA交于L，連接￡>L,

同理可得AC/）為等邊三角形，

???/CAP=60。，

???ZCLD=30°,

???乙CFD=180°-30°=150°,

■:DF為O的切線，

，/。田=90°,

???ZOFC=60%

,:OC=OF,

???4OCF為等邊三角形,

:./COF=60。,

???^CAF=-ZCO