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文檔簡介
甘肅省天水市一中2025年高三5月第二次聯(lián)考數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則2.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關于點對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.13.已知關于的方程在區(qū)間上有兩個根,,且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.6.正項等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.547.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.8.元代數(shù)學家朱世杰的數(shù)學名著《算術啟蒙》是中國古代代數(shù)學的通論,其中關于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.69.已知,其中是虛數(shù)單位,則對應的點的坐標為()A. B. C. D.10.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.111.已知的共軛復數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復數(shù)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.復數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復數(shù)在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.14.函數(shù)滿足,當時,,若函數(shù)在上有1515個零點,則實數(shù)的范圍為___________.15.已知復數(shù),其中是虛數(shù)單位.若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為__________.16.對任意正整數(shù),函數(shù),若,則的取值范圍是_________;若不等式恒成立,則的最大值為_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù)有最小值7.(1)求的值;(2)設,,求證:.18.(12分)設(1)當時,求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍.19.(12分)已知數(shù)列的前n項和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列,求的值.20.(12分)在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.21.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程;(Ⅱ)已知直線與曲線交于,兩點,與軸交于點,求.22.(10分)在中,角、、所對的邊分別為、、,角、、的度數(shù)成等差數(shù)列,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】試題分析:,,故選D.考點:點線面的位置關系.2.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱可得為奇函數(shù),結合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于點對稱,所以的圖象關于原點對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因為,所以.因為,故,所以.故選:C.本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.3.C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡,構造新的函數(shù),將方程的解的問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題,畫出函數(shù)圖象,再結合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結合法,求得范圍.屬于中檔題.4.B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導函數(shù)符號可判斷在上單調遞增,即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當時,;又當時,,故在上單調遞增,所以,綜上,時,,即單調遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調遞增,故排除A,C.故選:B本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導函數(shù)性質與函數(shù)圖象關系,屬于中檔題.5.C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知,將以上各式相加得:故選:C.本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.6.C【解析】
由等差數(shù)列通項公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和,,,解得或(舍),,故選C.本題主要考查等差數(shù)列的性質與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質()與前項和的關系.7.A【解析】
根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結合和的離心率之積為,即可得的關系,進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎題.8.B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點睛:本題為算法中的循環(huán)結構和數(shù)列通項的綜合,屬于中檔題,解題時注意流程圖中蘊含的數(shù)列關系(比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項積等).9.C【解析】
利用復數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對應的點的坐標為,,.故選:.本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復數(shù)相等的條件,是基礎題.10.A【解析】
由兩圓相外切,得出,結合二次函數(shù)的性質,即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以,即當時,取最大值故選:A本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數(shù),屬于中檔題.11.D【解析】
設,整理得到方程組,解方程組即可解決問題.【詳解】設,因為,所以,所以,解得:,所以復數(shù)在復平面內對應的點為,此點位于第四象限.故選D本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點知識,考查了方程思想,屬于基礎題.12.C【解析】
由復數(shù)除法求出,寫出共軛復數(shù),寫出共軛復數(shù)對應點坐標即得【詳解】解析:,,對應點為,在第三象限.故選:C.本題考查復數(shù)的除法運算,共軛復數(shù)的概念,復數(shù)的幾何意義.掌握復數(shù)除法法則是解題關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.4【解析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當且僅當時取等.方法二:因為,所以,所以,當且僅當時取等.故答案為:.本題考查基本不等式在求最小值中的應用,考查學生對基本不等式的靈活使用,難度較易.14.【解析】
由已知,在上有3個根,分,,,四種情況討論的單調性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個根,而含505個周期,所以在上有3個根,設,,易知在上單調遞減,在,上單調遞增,又,.若時,在上無根,在必有3個根,則,即,此時;若時,在上有1個根,注意到,此時在不可能有2個根,故不滿足;若時,要使在有2個根,只需,解得;若時,在上單調遞增,最多只有1個零點,不滿足題意;綜上,實數(shù)的范圍為.故答案為:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點,是一道中檔題.15.【解析】
直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結合已知條件即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:本題考查復數(shù)的乘法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.16.【解析】
將代入求解即可;當為奇數(shù)時,,則轉化為,設,由單調性求得的最小值;同理,當為偶數(shù)時,,則轉化為,設,利用導函數(shù)求得的最小值,進而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當為奇數(shù)時,,由,得,而函數(shù)為單調遞增函數(shù),所以,所以;當為偶數(shù)時,,由,得,設,,單調遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1);(2)本題考查利用導函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉化思想.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1).(2)見解析【解析】
(1)由絕對值三解不等式可得,所以當時,,即可求出參數(shù)的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得證;【詳解】解:(1)∵,∴當時,,解得.(2)∵,∴,∴,當且僅當,即,時,等號成立.∴.本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應用,屬于中檔題.18.(1)(2)【解析】
(1)通過討論的范圍,得到關于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調性由恒成立求得結果.【詳解】解:(1)當時,,即或或解之得或,即不等式的解集為.(2)由題意得:當時為減函數(shù),顯然恒成立.當時,為增函數(shù),,當時,為減函數(shù),綜上所述:使恒成立的的取值范圍為.本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉化思想,屬于中檔題.19.(1)證明見解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求出數(shù)列,中的公共項,分組求和,結合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,可得答案.【詳解】(1)證明:因為n,,成等差數(shù)列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當時,,所以,所以,故數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.(2)根據(jù)(1)求解知,,,所以,所以數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.又因為,,,,,,,,,,,所以.本題考查等比數(shù)列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.20.(1)曲線的直角坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】
(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設,,,所以,,,所以,因為,所以,所以當,即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.21.(1)(x-1)2+y2=4,直線l的直角坐標方程為x-y-2=0;(2)3.【解析】
(1)消參得到曲線的普通方程,利用極坐標和直角坐標方程的互化公式求得直線的直角坐標方程;(2)先得到直線的參數(shù)方程,將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程,得到關于的一元二次方程,由根與系數(shù)的關系、參數(shù)的幾何意義進行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù)),兩式平方相加,得曲線C的普通方程為(x-1)2+y2=4;由直線l的極坐標方程可得ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=2,即直線l的直角坐標方程為x-y-2=0.(2)由題意可得P(2,0),則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則|PA|·|PB|=|t1|·|t2|,將(t為參數(shù))代
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