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濟(jì)南市萊蕪地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2024屆中考一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.下列說(shuō)法:①平分弦的直徑垂直于弦;②在n次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)m次,則事件A發(fā)生的頻率,就是事件A的概率;③各角相等的圓外切多邊形一定是正多邊形;④各角相等的圓內(nèi)接多邊形一定是正多邊形;⑤若一個(gè)事件可能發(fā)生的結(jié)果共有n種,則每一種結(jié)果發(fā)生的可能性是.其中正確的個(gè)數(shù)()A.1 B.2 C.3 D.42.如圖,AB是⊙O的弦,半徑OC⊥AB于點(diǎn)D,若⊙O的半徑為5,AB=8,則CD的長(zhǎng)是()A.2B.3C.4D.53.等腰三角形一邊長(zhǎng)等于5,一邊長(zhǎng)等于10,它的周長(zhǎng)是()A.20 B.25 C.20或25 D.154.等腰三角形底角與頂角之間的函數(shù)關(guān)系是()A.正比例函數(shù) B.一次函數(shù) C.反比例函數(shù) D.二次函數(shù)5.甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入比賽,參賽學(xué)生每分鐘輸入漢字個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:班級(jí)參加人數(shù)平均數(shù)中位數(shù)方差甲55135149191乙55135151110某同學(xué)分析上表后得出如下結(jié)論:①甲、乙兩班學(xué)生的平均成績(jī)相同;②乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字≥150個(gè)為優(yōu)秀);③甲班成績(jī)的波動(dòng)比乙班大.上述結(jié)論中,正確的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③6.如圖,已知△ABC中,∠C=90°,若沿圖中虛線剪去∠C,則∠1+∠2等于()A.90° B.135° C.270° D.315°7.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,則△ABC的周長(zhǎng)等于()A.20 B.15 C.10 D.58.已知下列命題:①對(duì)頂角相等;②若a>b>0,則<;③對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形;④拋物線y=x2﹣2x與坐標(biāo)軸有3個(gè)不同交點(diǎn);⑤邊長(zhǎng)相等的多邊形內(nèi)角都相等.從中任選一個(gè)命題是真命題的概率為()A. B. C. D.9.將一把直尺與一塊三角板如圖所示放置,若則∠2的度數(shù)為()A.50° B.110° C.130° D.150°10.估計(jì)-1的值在()A.0到1之間 B.1到2之間 C.2到3之間 D.3至4之間二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.如圖,平行線AB、CD被直線EF所截,若∠2=130°,則∠1=_____.12.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C、D是半圓O的三等分點(diǎn),若弦CD=2,則圖中陰影部分的面積為.13.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(m,7),(3m﹣1,7),若線段AB與直線y=﹣2x﹣1相交,則m的取值范圍為_(kāi)_.14.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將△ACD沿AD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,連接DE交AB于點(diǎn)F,當(dāng)△DEB是直角三角形時(shí),DF的長(zhǎng)為_(kāi)____.15.若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是.16.如圖,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0),過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線l:y=x于點(diǎn)B1,以原點(diǎn)O為圓心,OB1的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸正半軸于點(diǎn)A2;再過(guò)點(diǎn)A2作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)B2,以原點(diǎn)O為圓心,以O(shè)B2的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸正半軸于點(diǎn)A3;….按此作法進(jìn)行下去,則的長(zhǎng)是_____.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京舉行,北京將成為歷史上第一座既舉辦過(guò)夏奧會(huì)又舉辦過(guò)冬奧會(huì)的城市.某區(qū)舉辦了一次冬奧知識(shí)網(wǎng)上答題競(jìng)賽,甲、乙兩校各有名學(xué)生參加活動(dòng),為了解這兩所學(xué)校的成績(jī)情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,過(guò)程如下,請(qǐng)補(bǔ)充完整.[收集數(shù)據(jù)]從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取名學(xué)生,在這次競(jìng)賽中他們的成績(jī)?nèi)缦?甲:乙:[整理、描述數(shù)據(jù)]按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):學(xué)校人數(shù)成績(jī)甲乙(說(shuō)明:優(yōu)秀成績(jī)?yōu)?,良好成?jī)?yōu)楹细癯煽?jī)?yōu)?)[分析數(shù)據(jù)]兩組樣本數(shù)據(jù)的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:學(xué)校平均分中位數(shù)眾數(shù)甲乙其中.[得出結(jié)論](1)小明同學(xué)說(shuō):“這次競(jìng)賽我得了分,在我們學(xué)校排名屬中游略偏上!”由表中數(shù)據(jù)可知小明是_校的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)(2)張老師從乙校隨機(jī)抽取--名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),試估計(jì)這名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率為_(kāi);(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷一所你認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)較好的學(xué)校,并說(shuō)明理由:;(至少?gòu)膬蓚€(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性)18.(8分)已知:如圖,梯形ABCD,DC∥AB,對(duì)角線AC平分∠BCD,點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線上,EA⊥AC,垂足為點(diǎn)A.(1)求證:B是EC的中點(diǎn);(2)分別延長(zhǎng)CD、EA相交于點(diǎn)F,若AC2=DC?EC,求證:AD:AF=AC:FC.19.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線與函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(1,5),B.(1)求,的值;(2)過(guò)點(diǎn)P(n,0)作x軸的垂線,與直線和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N下方時(shí),寫(xiě)出n的取值范圍.20.(8分)如圖,已知拋物線與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A,與y軸正半軸相交于點(diǎn)B,,直線l過(guò)A、B兩點(diǎn),點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)
E.(1)求拋物線的解析式;(2)若拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x,四邊形FAEB的面積為S,請(qǐng)寫(xiě)出S與x的函數(shù)關(guān)系式,并判斷S是否存在最大值,如果存在,求出這個(gè)最大值;并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)連接BE,是否存在點(diǎn)D,使得和相似?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.21.(8分)如圖,點(diǎn),在上,直線是的切線,.連接交于.(1)求證:(2)若,的半徑為,求的長(zhǎng).22.(10分)已知:如圖,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求證:BC=ED.23.(12分)某初中學(xué)校組織400位同學(xué)參加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng),每人植樹(shù)的棵數(shù)在5至10之間,甲、乙兩位同學(xué)分別調(diào)查了30位同學(xué)的植樹(shù)情況,并將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理,繪制成統(tǒng)計(jì)表分別為表1和表2:表1:甲調(diào)查九年級(jí)30位同學(xué)植樹(shù)情況統(tǒng)計(jì)表(單位:棵)每人植樹(shù)情況78910人數(shù)36156頻率0.10.20.50.2表2:乙調(diào)查三個(gè)年級(jí)各10位同學(xué)植樹(shù)情況統(tǒng)計(jì)表(單位:棵)每人植樹(shù)情況678910人數(shù)363116頻率0.10.20.10.40.2根據(jù)以上材料回答下列問(wèn)題:(1)表1中30位同學(xué)植樹(shù)情況的中位數(shù)是棵;(2)已知表2的最后兩列中有一個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù),這個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)是,正確的數(shù)據(jù)應(yīng)該是;(3)指出哪位同學(xué)所抽取的樣本能更好反映此次植樹(shù)活動(dòng)情況,并用該樣本估計(jì)本次活動(dòng)400位同學(xué)一共植樹(shù)多少棵?24.如圖,在三個(gè)小桶中裝有數(shù)量相同的小球(每個(gè)小桶中至少有三個(gè)小球),第一次變化:從左邊小桶中拿出兩個(gè)小球放入中間小桶中;第二次變化:從右邊小桶中拿出一個(gè)小球放入中間小桶中;第三次變化:從中間小桶中拿出一些小球放入右邊小桶中,使右邊小桶中小球個(gè)數(shù)是最初的兩倍.(1)若每個(gè)小桶中原有3個(gè)小球,則第一次變化后,中間小桶中小球個(gè)數(shù)是左邊小桶中小球個(gè)數(shù)的____倍;(2)若每個(gè)小桶中原有a個(gè)小球,則第二次變化后中間小桶中有_____個(gè)小球(用a表示);(3)求第三次變化后中間小桶中有多少個(gè)小球?
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、A【解析】
根據(jù)垂徑定理、頻率估計(jì)概率、圓的內(nèi)接多邊形、外切多邊形的性質(zhì)與正多邊形的定義、概率的意義逐一判斷可得.【詳解】①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,故此結(jié)論錯(cuò)誤;②在n次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)m次,則事件A發(fā)生的頻率,試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)可近似地看做事件A的概率,故此結(jié)論錯(cuò)誤;③各角相等的圓外切多邊形是正多邊形,此結(jié)論正確;④各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形,如圓內(nèi)接矩形,各角相等,但不是正多邊形,故此結(jié)論錯(cuò)誤;⑤若一個(gè)事件可能發(fā)生的結(jié)果共有n種,再每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同是,每一種結(jié)果發(fā)生的可能性是.故此結(jié)論錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假,解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理、頻率估計(jì)概率、圓的內(nèi)接多邊形、外切多邊形的性質(zhì)與正多邊形的定義、概率的意義.2、A【解析】試題分析:已知AB是⊙O的弦,半徑OC⊥AB于點(diǎn)D,由垂徑定理可得AD=BD=4,在Rt△ADO中,由勾股定理可得OD=3,所以CD=OC-OD=5-3=2.故選A.考點(diǎn):垂徑定理;勾股定理.3、B【解析】
題目中沒(méi)有明確腰和底,故要分情況討論,再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系分析即可.【詳解】當(dāng)5為腰時(shí),三邊長(zhǎng)為5、5、10,而,此時(shí)無(wú)法構(gòu)成三角形;當(dāng)5為底時(shí),三邊長(zhǎng)為5、10、10,此時(shí)可以構(gòu)成三角形,它的周長(zhǎng)故選B.4、B【解析】
根據(jù)一次函數(shù)的定義,可得答案.【詳解】設(shè)等腰三角形的底角為y,頂角為x,由題意,得x+2y=180,所以,y=﹣x+90°,即等腰三角形底角與頂角之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)際問(wèn)題與一次函數(shù),根據(jù)題意正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】分析:根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義即可判斷;詳解:由表格可知,甲、乙兩班學(xué)生的成績(jī)平均成績(jī)相同;根據(jù)中位數(shù)可以確定,乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù);根據(jù)方差可知,甲班成績(jī)的波動(dòng)比乙班大.故①②③正確,故選D.點(diǎn)睛:本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型.6、C【解析】
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和與直角三角形中兩個(gè)銳角關(guān)系即可求解.【詳解】解:∵四邊形的內(nèi)角和為360°,直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°,∴∠1+∠2=360°﹣(∠A+∠B)=360°﹣90°=270°.故選:C.【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的求解,解題的關(guān)鍵是熟知四邊形的內(nèi)角和為360°.7、B【解析】∵ABCD是菱形,∠BCD=120°,∴∠B=60°,BA=BC.∴△ABC是等邊三角形.∴△ABC的周長(zhǎng)=3AB=1.故選B8、B【解析】∵①對(duì)頂角相等,故此選項(xiàng)正確;②若a>b>0,則<,故此選項(xiàng)正確;③對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;④拋物線y=x2﹣2x與坐標(biāo)軸有2個(gè)不同交點(diǎn),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;⑤邊長(zhǎng)相等的多邊形內(nèi)角不一定都相等,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;∴從中任選一個(gè)命題是真命題的概率為:.故選:B.9、C【解析】
如圖,根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)得出EF∥GH,推出∠FCD=∠2,代入∠FCD=∠1+∠A求出即可.【詳解】∵EF∥GH,∴∠FCD=∠2,∵∠FCD=∠1+∠A,∠1=40°,∠A=90°,∴∠2=∠FCD=130°,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì)等,準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】試題分析:∵2<<3,∴1<-1<2,即-1在1到2之間,故選B.考點(diǎn):估算無(wú)理數(shù)的大?。?、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11、50°【解析】
利用平行線的性質(zhì)推出∠EFC=∠2=130°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.【詳解】∵AB∥CD,∴∠EFC=∠2=130°,∴∠1=180°-∠EFC=50°,故答案為50°【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考基礎(chǔ)題.12、.【解析】試題分析:連結(jié)OC、OD,因?yàn)镃、D是半圓O的三等分點(diǎn),所以,∠BOD=∠COD=60°,所以,三角形OCD為等邊三角形,所以,半圓O的半徑為OC=CD=2,S扇形OBDC=,S△OBC==,S弓形CD=S扇形ODC-S△ODC==,所以陰影部分的面積為為S=--()=.考點(diǎn):扇形的面積計(jì)算.13、﹣4≤m≤﹣1【解析】
先求出直線y=7與直線y=﹣2x﹣1的交點(diǎn)為(﹣4,7),再分類(lèi)討論:當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),則m≤﹣4≤3m﹣1,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè),則3m﹣1≤﹣4≤m,然后分別解關(guān)于m的不等式組即可.【詳解】解:當(dāng)y=7時(shí),﹣2x﹣1=7,解得x=﹣4,所以直線y=7與直線y=﹣2x﹣1的交點(diǎn)為(﹣4,7),當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),則m≤﹣4≤3m﹣1,無(wú)解;當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè),則3m﹣1≤﹣4≤m,解得﹣4≤m≤﹣1,所以m的取值范圍為﹣4≤m≤﹣1,故答案為﹣4≤m≤﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,根據(jù)直線y=﹣2x﹣1與線段AB有公共點(diǎn)找出關(guān)于m的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵.14、或【解析】試題分析:如圖4所示;點(diǎn)E與點(diǎn)C′重合時(shí).在Rt△ABC中,BC==4.由翻折的性質(zhì)可知;AE=AC=3、DC=DE.則EB=2.設(shè)DC=ED=x,則BD=4﹣x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4﹣x)2.解得:x=.∴DE=.如圖2所示:∠EDB=90時(shí).由翻折的性質(zhì)可知:AC=AC′,∠C=∠C′=90°.∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°,∴四邊形ACDC′為矩形.又∵AC=AC′,∴四邊形ACDC′為正方形.∴CD=AC=3.∴DB=BC﹣DC=4﹣3=4.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴,即.解得:DE=.點(diǎn)D在CB上運(yùn)動(dòng),∠DBC′<90°,故∠DBC′不可能為直角.考點(diǎn):翻折變換(折疊問(wèn)題).15、m≤1.【解析】試題分析:由題意知,△=4﹣4m≥0,∴m≤1.故答案為m≤1.考點(diǎn):根的判別式.16、【解析】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)方程式求出B1點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)B1點(diǎn)的坐標(biāo)求出A2點(diǎn)的坐標(biāo),得出B2的坐標(biāo),以此類(lèi)推總結(jié)規(guī)律便可求出點(diǎn)A2019的坐標(biāo),再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可求解,.【詳解】直線y=x,點(diǎn)A1坐標(biāo)為(2,0),過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線于點(diǎn)B1可知B1點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),以原O為圓心,OB1長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧x軸于點(diǎn)A2,OA2=OB1,OA2==4,點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(4,0),這種方法可求得B2的坐標(biāo)為(4,4),故點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(8,0),B3(8,8)以此類(lèi)推便可求出點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為(22019,0),則的長(zhǎng)是,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,弧長(zhǎng)的計(jì)算,解題的關(guān)鍵找出點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.三、解答題(共8題,共72分)17、80;(1)甲;(2);(3)乙學(xué)校競(jìng)賽成績(jī)較好,理由見(jiàn)解析【解析】
首先根據(jù)乙校的成績(jī)結(jié)合眾數(shù)的定義即可得出a的值;(1)根據(jù)兩個(gè)學(xué)校成績(jī)的中位數(shù)進(jìn)一步判斷即可;(2)根據(jù)概率的定義,結(jié)合乙校優(yōu)秀成績(jī)的概率進(jìn)一步求解即可;(3)根據(jù)題意,從平均數(shù)以及中位數(shù)兩方面加以比較分析即可.【詳解】由乙校成績(jī)可知,其中80出現(xiàn)的次數(shù)最多,故80為該組數(shù)據(jù)的眾數(shù),∴a=80,故答案為:80;(1)由表格可知,甲校成績(jī)的中位數(shù)為60,乙校成績(jī)的中位數(shù)為75,∵小明這次競(jìng)賽得了分,在他們學(xué)校排名屬中游略偏上,∴小明為甲校學(xué)生,故答案為:甲;(2)乙校隨便抽取一名學(xué)生的成績(jī),該學(xué)生成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率為:,故答案為:;(3)乙校競(jìng)賽成績(jī)較好,理由如下:因?yàn)橐倚5钠骄指哂诩仔5钠骄终f(shuō)明平均水平高,乙校的中位數(shù)75高于甲校的中位數(shù)65,說(shuō)明乙校分?jǐn)?shù)不低于70分的學(xué)生比甲校多,綜上所述,乙校競(jìng)賽成績(jī)較好.【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義與簡(jiǎn)單概率的計(jì)算的綜合運(yùn)用,熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.18、(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出∠BCA=∠BAC,進(jìn)而可得出BA=BC,根據(jù)等角的余角相等結(jié)合等角對(duì)等邊,即可得出AB=BE,進(jìn)而可得出BE=BA=BC,此題得證;(2)根據(jù)AC2=DC?EC結(jié)合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠ADC=∠EAC=90°,進(jìn)而可得出∠FDA=∠FAC=90°,結(jié)合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA,再利用相似三角形的性質(zhì)可證出AD:AF=AC:FC.【詳解】(1)∵DC∥AB,∴∠DCA=∠BAC.∵AC平分∠BCD,∴∠BCA=∠BAC=∠DCA,∴BA=BC.∵∠BAC+∠BAE=90°,∠ACB+∠E=90°,∴∠BAE=∠E,∴AB=BE,∴BE=BA=BC,∴B是EC的中點(diǎn);(2)∵AC2=DC?EC,∴.∵∠ACD=∠ECA,∴△ACD∽△ECA,∴∠ADC=∠EAC=90°,∴∠FDA=∠FAC=90°.又∵∠AFD=∠CFA,∴△AFD∽△CFA,∴AD:AF=AC:FC.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)利用等角對(duì)等邊找出BA=BC、BE=BA;(2)利用相似三角形的判定定理找出△AFD∽△CFA.19、(1),;(2)0<n<1或者n>1.【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題;(2)利用圖象法即可解決問(wèn)題;【詳解】解:(1)∵A(1,1)在直線上,∴,∵A(1,1)在的圖象上,∴.(2)觀察圖象可知,滿足條件的n的值為:0<n<1或者n>1.【點(diǎn)睛】此題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式,解題關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.20、(1);(2)與x的函數(shù)關(guān)系式為,S存在最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.(3)存在點(diǎn)D,使得和相似,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或.【解析】
利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),結(jié)合即可得出關(guān)于a的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論;由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出直線AB的解析式待定系數(shù)法,由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)D、E的坐標(biāo),進(jìn)而可得出DE的長(zhǎng)度,利用三角形的面積公式結(jié)合即可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題;由、,利用相似三角形的判定定理可得出:若要和相似,只需或,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為,進(jìn)而可得出DE、BD的長(zhǎng)度當(dāng)時(shí),利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出,進(jìn)而可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結(jié)論;當(dāng)時(shí),由點(diǎn)B的縱坐標(biāo)可得出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4,結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結(jié)論綜上即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí),有,解得:,,點(diǎn)A的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.,,解得:,拋物線的解析式為.點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,直線AB的解析式為.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為,點(diǎn)E的坐標(biāo)為,如圖.點(diǎn)F的坐標(biāo)為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,,,,.,當(dāng)時(shí),S取最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為,與x的函數(shù)關(guān)系式為,S存在最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.,,若要和相似,只需或如圖.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為,,當(dāng)時(shí),,,,為等腰直角三角形.,即,解得:舍去,,點(diǎn)D的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4,,解得:,舍去,點(diǎn)D的坐標(biāo)為.綜上所述:存在點(diǎn)D,使得和相似,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或.故答案為:(1);(2)與x的函數(shù)關(guān)系式為,S存在最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.(3)存在點(diǎn)D,使得和相似,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是:利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);利用三角形的面積找出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;分及兩種情況求出點(diǎn)D的坐標(biāo).21、(1)證明見(jiàn)解析;(2)1.【解析】
(1)連結(jié)OA,由AC為圓的切線,利用切線的性質(zhì)得到∠OAC為直角,再由,得到∠BOC為直角,由OA=OB得到,再利用對(duì)頂角相等及等角的余角相等得到,利用等角對(duì)等邊即可得證;(2)在中,利用勾股定理即可求出OC,由OC=OD+DC,DC=AC,即可求得OD的長(zhǎng).【詳解】(1)如圖,連接,∵切于
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