吉林省友好學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中聯(lián)考（第78屆）數(shù)學(xué)試題

20242025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷高二（數(shù)學(xué)）試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.直線與直線的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助傾斜角與斜率的關(guān)系可得兩直線的傾斜角，即可得其夾角.【詳解】設(shè)兩直線的傾斜角分別為，由，則，由，則，即，則兩直線夾角為.故選：B.2.已知，，是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】結(jié)合基底的概念，根據(jù)空間向量基本定理逐項判斷即可.【詳解】向量是不共面的三個向量，對于A，，則向量共面，A不能構(gòu)成空間基底；對于B，，則向量共面，B不能構(gòu)成空間基底；對于D，，則向量共面，D不能構(gòu)成空間基底；對于C，假定向量共面，則存在不全為0的實數(shù)，使得，整理得，而向量不共面，則有，顯然不成立，所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，C能構(gòu)成空間基底.故選：C3.過點且斜率為1的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線方程的點斜式可直接寫出方程，化簡即可.【詳解】根據(jù)題意可得直線為，化簡得.故選：D4.已知圓與圓有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可知兩圓外離得：。詳解】根據(jù)題意可知，圓外離，，又．故選：D5.過點且與有相同焦點的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知方程求出焦點即為所求橢圓焦點，設(shè)出所求橢圓方程，代入，解方程組即可.【詳解】由知，焦點為，，即，.設(shè)所求橢圓方程為，則，解得，故所求橢圓方程為.故選：A.6.已知點關(guān)于直線對稱的點在圓：上，則（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用點關(guān)于線對稱列方程求得Q坐標(biāo)，代入圓方程計算即可.【詳解】設(shè)，則，解得，.因為在上，所以，解得，經(jīng)檢驗，符合題意.故選：B7.已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則b的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以為直徑的圓與圓有交點，結(jié)合圖形可得.【詳解】因為圓C上存在點P，使得，所以，以為直徑的圓與圓有交點，又以為直徑的圓，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，所以，即，即.故選：A8.如圖所示，在正方體中，點E為線段的中點，點F在線段上移動，異面直線與所成角最小時，其余弦值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與的夾角的余弦值，根據(jù)夾角最小即可求得結(jié)果．【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在正方體中,點E為線段的中點，設(shè)正方體棱長為2，則，,設(shè)，，設(shè)異面直線與的夾角為，則,異面直線與所成角最小時，則最大，即時，.故選：C.【點睛】本題考查異面直線及其所成的角的余弦值，解題方法是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法表示距離、求角，屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在四棱柱中，，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】借助空間向量的線性運算可得答案．【詳解】，故A錯誤、B正確；，故C錯誤、D正確．故選：BD．10.以下四個命題敘述正確的是（）A.直線在軸上的截距是1B.直線和的交點為，且在直線上，則的值是C.設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是D.直線，若，則或2【答案】BC【解析】【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點到直線的距離判斷C；驗證判斷D.【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；對于B，由解得，即，則，解得，B正確；對于C，依題意，，C正確；對于D，當(dāng)時，直線重合，D錯誤.故選：BC11.已知橢圓為的左焦點，直線與交于兩點（點在第一象限），直線與橢圓的另一個交點為，則（）A. B.當(dāng)時，的面積為C. D.的周長的最大值為【答案】AC【解析】【分析】對A：由方程求，進而求；對B：根據(jù)方程結(jié)合題意運算求解；對C：設(shè)直線，利用兩點間距離公式結(jié)合韋達定理運算求解；對D：根據(jù)橢圓定義分析求解.【詳解】由橢圓方程，得，所以，所以，故A項正確；當(dāng)時，點到的距離為2，所以的面積為，故B項錯誤；因為點在第一象限，所以直線的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，點，∵，則直線，聯(lián)立方程，得到∴，∵在橢圓上，則，即∴同理，于是，故C項正確；設(shè)橢圓的右焦點為，當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的右焦點時，的周長為，如果不經(jīng)過右焦點，則連接，，可知的周長小于，所以的周長的最大值為，故D項錯誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，14題，第一空2分，第二空3分，共15分.12.經(jīng)過點且斜率為的直線與圓相交于兩點，若，則的值為____________.【答案】0或【解析】【分析】首先利用弦長公式求圓心到直線的距離，再設(shè)直線的方程，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由條件可知，圓的半徑，，所以圓心到直線的距離，設(shè)直線，即，所以圓心到直線的距離，解得：或.故答案為：0或.13.已知點，若點和點在直線上，則點到直線的距離為______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合到直線的距離，即可求解.【詳解】由題意知，點，，，可得，，則，，，所以，可得，所以點到直線的距離為．故答案為：1.14.已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，則點坐標(biāo)為______；的最小值為______．【答案】①.##②.##【解析】【分析】聯(lián)立圓的方程，可得公共弦方程及其恒過的定點，利用兩點間距離公式可得，再利用二次函數(shù)性質(zhì)可得最值.【詳解】由，，可得，即，所以，解得，所以點，又，，則，所以當(dāng)時，取最小值為，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，兩個方程均表示圓，且兩圓相交，滿足題意.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.已知向量，.（1）求的值；（2）求向量與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得；（2）首先求出與的坐標(biāo)，再求出，，，最后由夾角公式計算可得.【小問1詳解】因為，，所以，所以；【小問2詳解】因為，，則，，所以，，，設(shè)向量與夾角為，所以，所以向量與夾角的余弦值為.16.已知的三個頂點是，，.（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（2）若直線過點C，且點A，B到直線的距離相等，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出直線BC的斜率，則可求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線的方程；（2）由題意分直線與AB平行和直線通過AB的中點兩種情況求解.【小問1詳解】因為，所以BC邊上的高所在直線的斜率為，所以BC邊上的高所在直線的方程，即.【小問2詳解】因為點A,B到直線的距離相等，所以直線與AB平行或通過AB的中點，①當(dāng)直線與AB平行，因為，且過點C，所以方程，即.②當(dāng)直線通過AB的中點，所以，所以的方程為，即.綜上：直線的方程為或.17.如圖，四棱臺中，上?下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，分別為的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）（2）連接、，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】連接、，因為平面，以點為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為側(cè)棱所在的直線與上下底面中心的連線所成的角為，又，，所以，解得，則，，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，所以，又因為平面，所以平面；【小問2詳解】因為，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程：（2）求橢圓C上的點到直線l：的距離的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點到直線的最大距離．【小問1詳解】由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓的方程為：；【小問2詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上點到直線的距離的最大值為．19.圖1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE為折痕將BCE折起，使點C到達的位置，且，如圖2．（1）求證：平面平面ABED；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（3）在棱上是否存在點P，使得二面角的平面角為？若存在，求出線段的長度，若不存在說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）在圖1中，連結(jié)AE，連結(jié)AC交BE于點F，證明，即可；（2）以D為坐標(biāo)原點，DA，分別為x，y軸，方向為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，算出平面的法向量和的坐標(biāo)，然后可算出答案；（3）設(shè)，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解.【詳解】（1）證明：在圖1中，連結(jié)AE，由已知條件得，∵且，∴四邊形ABCE菱形，連結(jié)AC交BE于點F，∴，又∵在中，，∴，在圖2中，，∵，∴，由題意知，且∴平面ABED，又平面，∴平面平面ABED；（