7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算（解析版）

7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算題型一：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算的策略：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算的策略：（1）按照復(fù)數(shù)的乘法法則，三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致.在計(jì)算時(shí)，若符合乘法公式，則可直接運(yùn)用公式計(jì)算.（2）可類似多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，最后再化簡為即可.【例1】已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè).故選：A【例2】已知，則（

）A．10 B． C．5 D．【答案】A【詳解】解法一：，解法二：因?yàn)?，所以，故選：A.【變式1-1】已知，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【詳解】已知，即.則可得.由可得，將代入中，得到，解得或.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.所以.故選：C.【變式1-2】設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若復(fù)數(shù)，，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于．【答案】/【詳解】是實(shí)數(shù)，則，．故答案為：.【變式1-3】若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，因此，則，，即，所以.故選：A題型二：復(fù)數(shù)的乘方利用i利用i冪值的周期性解題的技巧：（1）熟記i的冪值的4個(gè)結(jié)果，當(dāng)冪指數(shù)除以4所得的余數(shù)是0,1,2,3時(shí)，相應(yīng)的冪值分別為．（2）對(duì)于，有．【例3】（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?故選：C.【例4】已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】因?yàn)椋?故選：A【變式2-1】若，，則的取值可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，．故選：A.【變式2-2】復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，由得，，，故.故選：A【變式2-3】知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意得，故.故選：A.題型三：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算的策略：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算的策略：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，通過分子，分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使＂分母實(shí)數(shù)化＂，這個(gè)過程與＂分母有理化＂類似．【例5】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，故選：D.【例6】i是虛數(shù)單位，，若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可得：，所以，故選：B【變式3-1】歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由題可得，所以所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故選：C【變式3-2】復(fù)數(shù)是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，再計(jì)算：，所以當(dāng)時(shí)，成立，充分性成立.由，則：，即或，所以當(dāng)時(shí)，不一定等于，必要性不成立.因?yàn)槌浞中猿闪?，必要性不成立，所以?fù)數(shù)是成立的充分不必要條件，故選：A.【變式3-3】（多選）已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．C．若，則為純虛數(shù)D．若，則的最小值為1【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)為實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故D正確．故選：ABD題型四：共軛復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上．互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上．【例7】復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.【答案】1【詳解】，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部是1.故答案為：1【例8】關(guān)于復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)和的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱B．C．必為實(shí)數(shù)，必為純虛數(shù)D．若復(fù)數(shù)為實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根，則也必是該方程的根【答案】D【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，表示復(fù)數(shù)和的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤：對(duì)于選項(xiàng)B和選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)均不成立，故BC錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若方程的可得為實(shí)數(shù)，即，符合題意；若，則方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為和，此時(shí)兩根互為共軛復(fù)數(shù)，因此D正確.故選：D【變式4-1】已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得到，因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，所以，解得，所以（2）因?yàn)樘摂?shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，所以.【變式4-2】（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B．若，則C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．關(guān)于復(fù)數(shù)的方程（）有實(shí)數(shù)根，則【答案】ABD【詳解】設(shè)，，則為實(shí)數(shù)，A選項(xiàng)正確．設(shè)，，則，正確．，其共軛復(fù)數(shù)是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．設(shè)是方程的實(shí)根，則，，．D選項(xiàng)正確．故選：ABD．【變式4-3】已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C．1 D．i【答案】C【解析】求出，即可得出，求出虛部.【詳解】，，其虛部是1.故選：C.題型五：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的求解方法：（1）求根公式法：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，．（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為，將其代入方程，化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.【例9】（多選）已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列正確的是（

）A．的虛部為B．C．是純虛數(shù)D．若是方程的一個(gè)根，則【答案】BC【詳解】由題設(shè)，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯(cuò)，B對(duì)；，C對(duì)；若是方程的一個(gè)根，則，，故，D錯(cuò).故選：BC【例10】已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且．(1)求復(fù)數(shù)；(2)求復(fù)數(shù)；(3)若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)，的值，并求出方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根．【答案】(1)(2)(3)，，另一根為【詳解】（1），所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．（2）因?yàn)?，所以所?（3）若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則，即，所以解得：，，則，即，所以方程另一根為．【變式5-1】若關(guān)于的方程有兩個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】關(guān)于的方程化為：，假定方程有實(shí)根，而，則且，解得，因此由原方程沒有實(shí)根，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D【變式5-2】已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根為，則另外一個(gè)根的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】將代入中可得，解得，故，故，因此另一個(gè)虛數(shù)根為，故其虛部為1，故選：A【變式5-3】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【詳解】設(shè)，那么原方程即為，得故或或所以，故方程的解的個(gè)數(shù)為6.故選：C1．已知，且，其中i是虛數(shù)單位，則（

）A．20 B．12 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，，所?故選：C.2．?dāng)?shù)學(xué)試題）（多選）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．的實(shí)部為3B．的虛部為C．D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限【答案】ACD【詳解】由于，則的實(shí)部為的虛部為2，不是，所以A正確，B錯(cuò)誤；由于在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以CD都正確，故選：ACD.3．已知復(fù)數(shù)，其中，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由，則，可得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．?dāng)?shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.，所以，故選：.5．（多選）已知，，關(guān)于的方程有一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)根為，則（）A．該方程不存在實(shí)數(shù)根 B．，C．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 D．【答案】ABD【詳解】由是方程的根，得，整理得，因此，解得，所以方程為，故B正確；對(duì)于A，根據(jù)方程，可得，所以方程無實(shí)數(shù)根，故A正確；對(duì)于C，方程，由韋達(dá)定理可知，得，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，故D正確．故選：ABD．6．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選：C7．（多選）已知為虛數(shù)單位，以下選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則的充要條件是B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為6【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因，則等價(jià)于，等價(jià)于，即，故A正確；對(duì)于B，由可得，當(dāng)時(shí)，等式成立，但與不一定相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?qū)τ?，，則，于是，故C正確；對(duì)于D，由可理解為復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓，而可看成點(diǎn)到該圓上點(diǎn)的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.8．（多選）復(fù)數(shù)，滿足，，則（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】依題意得，復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，可得，解得，則，，所以，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．9．已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式計(jì)算可得，再利用共軛復(fù)數(shù)定義及其幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，