專題07 兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布九種考法（解析版）-1

專題07兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布九種考法解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、兩點(diǎn)分布……………………3類型二、二項(xiàng)分布求參………………4類型三、二項(xiàng)分布中的期望與方差 7類型四、超幾何分布求參 11類型五、超幾何分布中的期望與方差 13類型六、正態(tài)分布的對(duì)稱性 17類型七、利用3δ原則求概率 19類型八、正態(tài)分布中的期望與方差 23類型九、概率與數(shù)列，統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)交匯 26壓軸能力測(cè)評(píng)（10題） 321、兩點(diǎn)分布（1）定義：對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么X的分布列如表所示．X01我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布．注意：隨機(jī)變量X只取0和1，才是兩點(diǎn)分布，否則不是．（2）適用范圍①研究只有兩個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布規(guī)律；②研究某一隨機(jī)事件是否發(fā)生的概率分布規(guī)律。如抽取的彩票是否中獎(jiǎng)；買(mǎi)回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布來(lái)研究。2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計(jì)算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．3、超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))4、正態(tài)分布正態(tài)密度函數(shù)函數(shù)f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數(shù).利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對(duì)稱軸為，二是最大值為．這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)便確定了，代入中便可求出相應(yīng)的解析式．對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)間概率相等．如：①；②正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率（1）；（2）；（3）．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為原則正態(tài)曲線圖像的特點(diǎn)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的期望與方差若，則，類型一、兩點(diǎn)分布例．（1）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，，那么.【答案】【解析】由題意可知，解得.故答案為：（2）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由，所以.故選：D【變式訓(xùn)練1】設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則成功概率（

）A．0.3B．0.35C．0.65D．0.7【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可知：，解得.故選：C【變式訓(xùn)練2】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，令，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以，由，所以.故選：D【變式訓(xùn)練3】已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則；若，則.【答案】0.70.3【解析】因?yàn)榉膮?shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，所以，.當(dāng)時(shí)，，所以故答案為：0.70.3類型二、二項(xiàng)分布中的概率例．（1）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．（2）在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機(jī)變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，則對(duì)，都有.某市去年的人均年收入為10萬(wàn)元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過(guò)100萬(wàn)元”為事件A，其概率為.則的最大值為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】記該市去年人均收入為萬(wàn)元，從該市任意選取3名市民，年收入超過(guò)100萬(wàn)元的人數(shù)為.設(shè)從該市任選1名市民，年收入超過(guò)100萬(wàn)元的概率為，則根據(jù)馬爾可夫不等式可得，，因?yàn)?，所以，令，則，，即，在上單調(diào)遞增.，即.故選：B【變式訓(xùn)練1】某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛(ài)好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時(shí)/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率，每位盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)是否超過(guò)10秒相互獨(dú)立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行測(cè)試，其中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)為，則，其中，時(shí)，；顯然，即不可能為最大值，當(dāng)時(shí)，由得，化簡(jiǎn)得，解得，又這20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能是5，故選：C．【變式訓(xùn)練2】小張參加某知識(shí)競(jìng)賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫(kù)中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫(kù)中的題目數(shù)量足夠多，該知識(shí)競(jìng)賽需要小張從題庫(kù)中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？【答案】（1）0.6；（2）6【解析】（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時(shí)，最大.類型三、二項(xiàng)分布中的期望與方差例．小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動(dòng)，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是，擊中區(qū)域乙的概率是，擊中區(qū)域丙的概率是，區(qū)域甲，乙、丙均沒(méi)有重復(fù)的部分．這次射擊比賽獲獎(jiǎng)規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎(jiǎng)；若擊中區(qū)域乙則有一半的機(jī)會(huì)獲得二等獎(jiǎng)，有一半的機(jī)會(huì)獲得三等獎(jiǎng)；若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎(jiǎng)；若擊中上述三個(gè)區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎(jiǎng)．獲得一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的選手被評(píng)為“優(yōu)秀射擊手”稱號(hào)．（1）求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號(hào)的概率；（2）小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)獲三等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；【解析】（1）記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號(hào)”為事件；射擊一次獲得一等獎(jiǎng)為事件；射擊一次獲得一等獎(jiǎng)為事件，所以有，所以，，所以.（2）獲得三等獎(jiǎng)的次數(shù)為，的可能取值為，，，，；記“獲得三等獎(jiǎng)”為事件，所以，所以，，，，，所以顯然，.【變式訓(xùn)練1】（多選）已知小李每天在上班路上都要經(jīng)過(guò)甲、乙兩個(gè)路口，且他在甲、乙兩個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為，p．記小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，在甲、乙這兩個(gè)路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，則（

）A．B．C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】對(duì)于A，B，小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，則，則，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，由題意可設(shè)一天至少遇到一次紅燈的概率為，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率為，設(shè)，則，令，則（舍去）或或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得最大值，即，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，一天中不遇紅燈的概率為，遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，故一天遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC【變式訓(xùn)練2】我國(guó)無(wú)人機(jī)發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為“中國(guó)制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險(xiǎn)救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域.某森林消防支隊(duì)在一次消防演練中利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行投彈滅火試驗(yàn)，消防員甲操控?zé)o人機(jī)對(duì)同一目標(biāo)起火點(diǎn)進(jìn)行了三次投彈試驗(yàn)，已知無(wú)人機(jī)每次投彈時(shí)擊中目標(biāo)的概率都為，每次投彈是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立.無(wú)人機(jī)擊中目標(biāo)一次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)兩次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)三次起火點(diǎn)必定被撲滅.(1)求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中且被撲滅的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，；(2)【解析】（1）起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.【變式訓(xùn)練3】某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：測(cè)試指標(biāo)元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說(shuō)明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件）【答案】(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）不可信.【解析】（1）記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個(gè)合格品，（2）（i）由題：若，則又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說(shuō)法成立，則，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假設(shè)下100個(gè)元件中合格品為70個(gè)的概率不超過(guò)0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來(lái)說(shuō)在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.類型四、超幾何分布中的概率例．（1）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量為取出4個(gè)球的總得分，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知均服從超幾何分布，且，由，得，所以，因?yàn)?,,所以,故選：B（2）在個(gè)排球中有個(gè)正品，個(gè)次品.從中抽取個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)超幾何分布，可知共有種選擇方法，符合正品數(shù)比次品數(shù)少的情況有兩種，分別為0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，分別求其概率即可．詳解：正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，由超幾何分布的概率可知，當(dāng)0個(gè)正品4個(gè)次品時(shí)當(dāng)1個(gè)正品3個(gè)次品時(shí)所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為，故選：A【變式訓(xùn)練1】某地個(gè)貧困村中有個(gè)村是深度貧困，現(xiàn)從中任意選個(gè)村，下列事件中概率等于的是（

）A.至少有個(gè)深度貧困村 B.有個(gè)或個(gè)深度貧困村C.有個(gè)或個(gè)深度貧困村 D.恰有個(gè)深度貧困村【答案】B【解析】用表示這個(gè)村莊中深度貧困村數(shù)，服從超幾何分布，故，所以，，，，.故選：B【變式訓(xùn)練2】數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：．故選：D．類型五、超幾何分布中的期望與方差例．一個(gè)盒子中有個(gè)大小、質(zhì)地相同，顏色不同的小球，其中個(gè)黑球，個(gè)白球．若采用無(wú)放回抽取，從這個(gè)球中隨機(jī)抽取個(gè)．求取出的個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)的分布列和期望.【答案】條件選擇見(jiàn)解析，分布列見(jiàn)解析，【解析】若選①，由題意知所有可能的取值為、、、，，，，，的分布列為：期望為；（2）（多選）袋中有6個(gè)大小相同的球，其中4個(gè)黑球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，記隨機(jī)變量為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量為取出3個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】，均服從于超幾何分布，且，，，，對(duì)選項(xiàng)A：，，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，正確；故選：ACD.【變式訓(xùn)練1】（多選）已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．這10件產(chǎn)品的次品率為20% B．次品數(shù)為8件C． D．【答案】ACD【解析】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為件，從中抽取2件，，則次品數(shù)為2件，B錯(cuò)誤；這10件產(chǎn)品的次品率為，A正確；10件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，；則，C正確；，D正確.故選：ACD.【變式訓(xùn)練2】隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng)，線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開(kāi)啟，新零售背景下，即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長(zhǎng).某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查（滿分100分），評(píng)分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.（1）求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)；（2）規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司的客戶人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2），分布列見(jiàn)解析【解析】（1）將抽取的這20位客戶的評(píng)分從小到大排列為：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因?yàn)椋猿槿〉倪@20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)為.（2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分；分公司中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司中2人，分公司中3人.所以的所有可能取值為1，2，3.，所以的分布列為123數(shù)學(xué)期望【變式訓(xùn)練3】學(xué)校師生參與創(chuàng)城志愿活動(dòng).高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng).（1）求在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生參加活動(dòng)的概率；（2）記參加活動(dòng)的女生人數(shù)為，求的分布列及期望；（3）若志愿活動(dòng)共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項(xiàng)可供選擇.每名女生至多從中選擇2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為.每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得3個(gè)工時(shí)，記隨機(jī)選取的兩人所得工時(shí)之和為，求的期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，；（3）13個(gè)工時(shí)【解析】（1）設(shè)“有女生參加活動(dòng)”為事件A，”恰有一名女生參加活動(dòng)“為事件.則，所以.（2）依題意知服從超幾何分布，且，，所以的分布列為：012；（3）設(shè)一名女生參加活動(dòng)可獲得工時(shí)數(shù)為，一名男生參加活動(dòng)可獲得工時(shí)數(shù)為，則所有可能取值為，的所有可能取值為，，，，，有名女生參加活動(dòng)，則男生有名參加活動(dòng).，所以.即兩人工時(shí)之和的期望為13個(gè)工時(shí).類型六、正態(tài)分布的對(duì)稱性例．（1）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【答案】D【解析】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.（2）已知隨機(jī)變量滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，由，得，因?yàn)椋噪S機(jī)變量對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線的形狀相同，其對(duì)稱軸分別為直線，從而.故選：B（3）已知隨機(jī)變量且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】，.因?yàn)椋?，解?故選：B【變式訓(xùn)練1】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】/．【解析】因?yàn)?，所以，因此．故答案為：【變式?xùn)練2】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【解析】或，又，故，則，得，故選：B【變式訓(xùn)練3】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則.【答案】0.36【解析】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，由正態(tài)分布圖像的對(duì)稱性可得曲線關(guān)于對(duì)稱。，.故答案為：0.36.

類型七、利用3δ原則求概率例．（1）某市高三年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)隨機(jī)選擇一名本市高三年級(jí)男生，則該男生身高不高于170cm的概率是（）參考數(shù)據(jù)：A.0.6827 B.0.34135 C.0.3173 D.0.15865【答案】D【解析】由題意，，且，所以.故選：D（2）設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，則（）附：若，則，．A． B．C．0.1257 D．【答案】B【解析】函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，二次方程無(wú)實(shí)根，，，又沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，，，，，，，故選：B．（3）某市組織高中數(shù)學(xué)測(cè)試.考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)考試成績(jī)X（滿分150分）服從正態(tài)分布，其中考試成績(jī)130分及以上者為優(yōu)秀，考試成績(jī)90分及以上者為及格.已知優(yōu)秀的人數(shù)為13，本次考試成績(jī)及格的人數(shù)大約為（

）附:，.A.3413 B.1587 C.8413 D.6826【答案】C【解析】依題意，這次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差，則，參加數(shù)學(xué)測(cè)試的總?cè)藬?shù)為，又，所以本次考試成績(jī)及格的人數(shù)大約為.故選：C【變式訓(xùn)練1】設(shè)X~N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)=0.0228，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲20000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（

）附:，.A．12076 B．13174C．14056 D．7539【答案】B【解析】由題意，得P(X≤-1)=P(X≥3)=0.0228;∴P(-1<X<3)=1-0.0228×2=0.9544.∵，∴1-2σ=-1，故σ=1，∴P(0<X<1)=P(0<X<2)=0.3413，故估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為20000×(1-0.3413)=13174故選：B【變式訓(xùn)練2】（多選）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，那么當(dāng)n比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，．任意正態(tài)分布，可通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（且）．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記，則（） 當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量，當(dāng)減小，增大時(shí)，概率保持不變 隨機(jī)變量，當(dāng)都增大時(shí)，概率單調(diào)增大【答案】AC【解析】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：，故A正確；對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中代表標(biāo)準(zhǔn)差，代表均值,即為圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC【變式訓(xùn)練3】新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?外語(yǔ)三門(mén)為必選科目，“1”指的是要在物理?歷史里選一門(mén)，“2”指考生要在生物?化學(xué)?思想政治?地理4門(mén)中選擇2門(mén)．(1)若按照“”模式選科，求甲?乙兩名學(xué)生恰有四門(mén)學(xué)科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門(mén)為了調(diào)查學(xué)生語(yǔ)數(shù)外三科成績(jī)，從當(dāng)?shù)夭煌膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4000名參加語(yǔ)數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試（滿分450分），假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布．①估計(jì)4000名學(xué)生中成績(jī)介于190分到355分之間的有多少人（結(jié)果保留到個(gè)位）；②該地某校對(duì)外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，有12名同學(xué)獲得425分以上的高分”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析上述宣傳語(yǔ)是否可信．附：．【答案】(1)；(2)①3274人；②不可信.【解析】（1）甲?乙兩名學(xué)生必選語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?外語(yǔ)．若另一門(mén)相同的為物理?歷史中的一門(mén)，有種，在生物?化學(xué)?思想政治?地理4門(mén)中，甲?乙選擇不同的2門(mén)，則有種，共種；若另一門(mén)相同的為生物?化學(xué)?思想政治?地理4門(mén)中的一門(mén)，則有種．所以甲?乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門(mén)學(xué)科相同的選法總數(shù)為．（2）①設(shè)此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試的成績(jī)記為，則．由題知，則，所以．所以估計(jì)4000名學(xué)生中成績(jī)介于190分到355分之間的約有3274人．②不可信．，則，4000名學(xué)生中成績(jī)大于410分的約有人，這說(shuō)明4000名考生中，只有約5人的成績(jī)高于410分．所以說(shuō)“某校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，有12名同學(xué)獲得425分以上的高分”的宣傳語(yǔ)不可信．類型八、正態(tài)分布中的期望與方差例．在一次大范圍的隨機(jī)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查中，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：得分頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表).①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的條件下，為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位：元)2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為41.25元.【解析】（1）①由題意得，，②，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性得，，解得；（2）由題意得，，即獲贈(zèng)1次和2次隨機(jī)話費(fèi)的概率均為,故獲贈(zèng)話費(fèi)的的所有可能取值為20，40，50，70，100，，，，.的分布列為20405070100元.所以的數(shù)學(xué)期望為41.25元【變式訓(xùn)練1】“立定跳遠(yuǎn)”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠(yuǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機(jī)抽取3人，并記不在的人數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，則則，故A錯(cuò)誤；由題知，不在的概率為，則，則，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D【變式訓(xùn)練2】某市2024年初新建一家生產(chǎn)消毒液的工廠，質(zhì)檢部門(mén)現(xiàn)從這家工廠中隨機(jī)抽取了100瓶消毒液進(jìn)行檢測(cè)，得到該廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，視頻率為概率）．設(shè)該廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，并已求得．該廠決定將消毒液分為A、B、C級(jí)三個(gè)等級(jí)，其中質(zhì)量指標(biāo)值Z不高于14.55的為C級(jí)，高于62.35的為A級(jí)，其余為B級(jí)，請(qǐng)利用該正態(tài)分布模型解決下列問(wèn)題：（1）該廠近期生產(chǎn)了10萬(wàn)瓶消毒液，試估計(jì)其中B級(jí)消毒液的總瓶數(shù)；（2）已知每瓶消毒液的等級(jí)與售價(jià)X（單位：元/瓶）的關(guān)系如下表所示：等級(jí)ABC售價(jià)X302510假定該廠一年消毒液的生產(chǎn)量為1000萬(wàn)瓶，且消毒液全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為2千萬(wàn)元（含引進(jìn)生產(chǎn)線、興建廠房等一切費(fèi)用在內(nèi)），問(wèn)：該廠能否在一年之內(nèi)收回投資？試說(shuō)明理由．附：若，則，，．【答案】（1）84000瓶（2）能，理由見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為：，由題意，甲廠生產(chǎn)消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似地服從正態(tài)分布，所以，又由，所以可估計(jì)甲廠所生產(chǎn)的這10萬(wàn)瓶消毒液中，B級(jí)消毒液有84000瓶．（2）設(shè)每瓶消毒液的利潤(rùn)為Y元，則Y的可能取值為10，5，，可得，，所以，故Y的分布列為：Y105P0.001350.84000.15865所以每瓶消毒液的平均利潤(rùn)為：（元），故生產(chǎn)一年消毒液所獲利潤(rùn)為（千萬(wàn)元），而2.6270（千萬(wàn)元）（千萬(wàn)元），所以該廠能在一年之內(nèi)收回投資．類型九、概率與數(shù)列，統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)交匯例．一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.【變式訓(xùn)練1】甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【變式訓(xùn)練2】某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；②混合檢驗(yàn)，將其且)份血液樣木分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率．（2）現(xiàn)取其中且)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①記E()為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．若運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；②若，且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．【答案】（1）；（2）①（且）；②8.【解析】（1）記恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件，則.（2）①根據(jù)題意，可知，的可能值為1，，則，，所以，由，得，所以（且）.②由于，則，所以，即，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，所以的最大值為8.【變式訓(xùn)練3】2024年5月28日，南京首家開(kāi)市客超市開(kāi)業(yè)，開(kāi)市客超市是一家會(huì)員制超市，辦了會(huì)員便可以攜同伴進(jìn)入購(gòu)物．據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)業(yè)第一天人流量超過(guò)三萬(wàn)人，且大多組團(tuán)來(lái)逛超市，如果單獨(dú)一人逛超市，則視此人為單獨(dú)一個(gè)團(tuán)體．其中的團(tuán)體擁有一張會(huì)員卡，結(jié)賬時(shí)將會(huì)收到超市贈(zèng)送的精美布袋一個(gè)；另外的團(tuán)體擁有兩張及以上會(huì)員卡，結(jié)賬時(shí)將會(huì)收到超市贈(zèng)送的精美布袋兩個(gè)．假設(shè)每個(gè)團(tuán)體之間相互獨(dú)立，且將頻率看做概率．（1）隨機(jī)抽取3個(gè)團(tuán)體，記3個(gè)團(tuán)體收到超市贈(zèng)送的精美布袋總個(gè)數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將個(gè)團(tuán)體獲贈(zèng)精美布袋總個(gè)數(shù)為個(gè)的事件概率記為，求；（3）如果你是開(kāi)市客超市負(fù)責(zé)人，預(yù)計(jì)某時(shí)間段有100個(gè)團(tuán)體來(lái)超市購(gòu)物，若以需要贈(zèng)送精美布袋總個(gè)數(shù)概率最大為依據(jù)，請(qǐng)問(wèn)你應(yīng)該提前準(zhǔn)備多少精美布袋比較合理．并與該時(shí)間段內(nèi)需要贈(zèng)送精美布袋總個(gè)數(shù)的期望比較大小．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；期望為（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】（1）據(jù)題意，獲得一份精美布袋概率為，獲得兩份精美布袋概率為，則精美布袋個(gè)數(shù)的可能取值為3，4，5，6其中，，，所以的分布列為3456（2）因?yàn)閭€(gè)團(tuán)體獲贈(zèng)精美布袋總數(shù)為個(gè)，則只有1團(tuán)體獲得兩份精美布袋，其余個(gè)團(tuán)體獲得一份精美布袋；于是，則，所以兩式相減，得所以（3）設(shè)獲得一份精美布袋的團(tuán)體個(gè)數(shù)為，則獲得兩份精美布袋的團(tuán)體個(gè)數(shù)為，因此獲得精美布袋總個(gè)數(shù)為，此時(shí)精美布袋總個(gè)數(shù)為的概率，當(dāng)此概率取最大值時(shí)，必有，于是整理得，解得，而，則，則，所以精美布袋總個(gè)數(shù)取最大值時(shí)，由于獲得一份精美布袋概率為，獲得兩份精美布袋概率為，故一個(gè)人獲得精美布袋期望為此概率模型符合二項(xiàng)分布，故100個(gè)團(tuán)體對(duì)應(yīng)期望值從以上結(jié)果來(lái)看，獲取125個(gè)布袋的概率最大，數(shù)值與總布袋獲取的期望相等1．已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)榈姆植剂蟹膬牲c(diǎn)分布，所以，因?yàn)?，所以故選：C2．已知隨機(jī)變量，，且，，則（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于服從正態(tài)分布，且，故其均值.而服從二項(xiàng)分布，故，再由，就有，得.故選：C.3．江先生每天9點(diǎn)上班，上班通常開(kāi)私家車(chē)加步行或乘坐地鐵加步行，私家車(chē)路程近一些，但路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，從停車(chē)場(chǎng)步行到單位要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長(zhǎng)且乘客多，所需間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統(tǒng)計(jì)的角度出發(fā)，下列說(shuō)法中合理的有（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A．若出門(mén)，則開(kāi)私家車(chē)不會(huì)遲到B．若出門(mén)，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若出門(mén)，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大D．若出門(mén)，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)滿足時(shí)，江先生仍舊有可能遲到，只不過(guò)發(fā)生的概率較小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，若出門(mén)，①江先生開(kāi)私家車(chē)，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生開(kāi)私家車(chē)不會(huì)遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到；此時(shí)兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當(dāng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若出門(mén)，①江先生開(kāi)私家車(chē)，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生開(kāi)私家車(chē)不會(huì)遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到；此時(shí)兩種上班方式，顯然江先生開(kāi)私家車(chē)不遲到的可能性更大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若出門(mén)，江先生乘坐地鐵上班，當(dāng)滿足時(shí)，江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到，此時(shí)不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.故選：D.4．已知20條試題中有8條選擇題，甲無(wú)放回地依次從中抽取5條題，乙有放回地依次從中抽取5條題，甲、乙每次均抽取一條試題，抽出的5條題中選擇題的條數(shù)分別為，的期望分別為，方差分別為，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，的可能取值為，的可能取值為，隨機(jī)變量服從超幾何分布，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)超幾何分布的均值方差公式得：，即，.根據(jù)超二項(xiàng)分布的均值方差公式得：，即，所以，.故選：A5．（多選）某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn).記A表示事件“某芯片通過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個(gè)，這個(gè)芯片中恰有個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說(shuō)法正確的是（

）（若，則）A．B．C．D．取得最大值時(shí)，的估計(jì)值為53【答案】ACD【解析】依題意，，A正確；由，則，又，于是，即，因此，即，則，B錯(cuò)誤；由又，C正確；，設(shè)，由，解得，即，由，解得，即，所以最大時(shí)的估計(jì)值為53，D正確.故選：ACD6．（多選）已知正方體，的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是正方形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)處，每次移動(dòng)都會(huì)到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為，向?qū)琼旤c(diǎn)移動(dòng)的概率為，如當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，向點(diǎn)，移動(dòng)的概率均為，向點(diǎn)移動(dòng)的概率為，則（

）A．移動(dòng)兩次后，“”的概率為B．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“平面”的概率都小于C．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“PC⊥平面”的概率都小于D．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望（注：當(dāng)點(diǎn)P在平面上時(shí)，四面體體積為0）【答案】AC【解析】設(shè)移動(dòng)次后，點(diǎn)在點(diǎn)的概率分別為，其中，，解得：，對(duì)于A，移動(dòng)兩次后，“”表示點(diǎn)移動(dòng)兩次后到達(dá)點(diǎn)，所以概率為，故A正確；對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，而，平面，所以當(dāng)點(diǎn)位于或時(shí)，平面，當(dāng)移動(dòng)一次后到達(dá)點(diǎn)或時(shí)，所以概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，所以當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，PC⊥平面，所以移動(dòng)n次后點(diǎn)位于，則，故C正確；對(duì)于D，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，同理，點(diǎn)到平面的距離分別為，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)，所以，當(dāng)時(shí),；當(dāng)為奇數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.7．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的