清遠(yuǎn)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精清遠(yuǎn)市田家炳中學(xué)2017屆高三第一次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文）試題第Ⅰ卷選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A=｛x｜｜x|＜1｝，N={x｜x2﹣x＜0｝，則A∩B=（）A． B． C．(0,1］ D．（0，1）2．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且z1=2+i，則=(）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i3．命題“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．?x≤0，x2＜0 B．?x≤0,x2≥0 C．?x0＞0，x02＞0 D．?x0＜0，x02≤04．變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+3y的最小值為（)A．2 B．4 C．5 D．65．本學(xué)期王老師任教兩個平行班高三A班、高三B班，兩個班都是50個學(xué)生，如圖圖反映的是兩個班在本學(xué)期5次數(shù)學(xué)測試中的班級平均分對比，根據(jù)圖表，不正確的結(jié)論是（)A．A班的數(shù)學(xué)成績平均水平好于B班B．B班的數(shù)學(xué)成績沒有A班穩(wěn)定C．下次考試B班的數(shù)學(xué)平均分要高于A班D．在第1次考試中，A、B兩個班的總平均分為986．拋物線y2=16x的焦點(diǎn)到雙曲線﹣=1的漸近線的距離是（）A．1 B． C．2 D．27．已知函數(shù)f(x)=sin2x﹣cos2x+1，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．f（x）的圖象關(guān)于（,1）中心對稱B．f（x）在(,)上單調(diào)遞減C．f（x）的圖象關(guān)于x=對稱D．f(x）的最大值為38．一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB、AD分別交于E、F，且交其對角線AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），則λ=（）A．2 B． C．3 D．59．對任意a∈R,曲線y=ex（x2+ax+1﹣2a）在點(diǎn)P（0,1﹣2a）處的切線l與圓C：（x﹣1）2+y2=16的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上均有可能10．如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A．4π B．12π C．48π D．6π12．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c,g（x）=3x2+2ax+b(a，b，c是常數(shù)），若f（x）在(0，1）上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論中:①f（0）?f（1)≤0;②g（0）?g（1)≥0;③a2﹣3b有最小值．正確結(jié)論的個數(shù)為（)A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷填空題：本大題共4小題,每小題5分，滿分20分13．設(shè)x，y滿足約束條件,則z=﹣2x+y的最小值為．14．已知函數(shù)f（x）=ax3﹣2x的圖象過點(diǎn)P（﹣1，4），則曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為．15．在直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)M(﹣1，2），若線段OM的垂直平分線過拋物線x2=2py（p＞0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是．16．若數(shù)列{an｝的首項(xiàng)a1=2，且；令bn=log3（an+1），則b1+b2+b3+…+b100=．解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．如圖所示，在四面體ABCD中,AD=1，CD=3，AC=2，cosB=．（1）求△ACD的面積；（2）若BC=2，求AB的長．18．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易數(shù)據(jù)顯示，天貓?jiān)┊?dāng)天全天的成交金額為315.5億元．為了了解網(wǎng)購者一次性購物情況，某統(tǒng)計(jì)部門隨機(jī)抽查了1月1日100名網(wǎng)購者的網(wǎng)購情況，得到如表數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表,已知網(wǎng)購金額在2000元以上（不含2000元)的頻率為0。4．網(wǎng)購金額(元）頻數(shù)頻率(0，500]50。05(500，1000]xp（1000，1500］150.15（1500，2000］250。25（2000，2500]300.3（2500，3000]yq合計(jì)1001。00（1）先求出x，y,p，q的值，再將如圖所示的頻率分布直方圖繪制完整；（2）對這100名網(wǎng)購者進(jìn)一步調(diào)查顯示：購物金額在2000元以上的購物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人，購物金額在2000元以下（含2000元）的購物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)？x網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年合計(jì)購物金額在2000元以上35購物金額在2000元以下20總計(jì)100參考數(shù)據(jù):P（K2≥k）0。150。100。050.0250.0100.0050。001k2。0722.7063。8415。0246.6357.87910.828(參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分別是BC，PC的中點(diǎn)．(1）證明:AE⊥平面PAD;(2)取AB=2，在線段PD上是否存在點(diǎn)H,使得EH與平面PAD所成最大角的正切值為，若存在，請求出H點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由．20．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C：y2=nx（n＞0）在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2，t）到焦點(diǎn)的距離為，C在點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)Q，直線l1經(jīng)過點(diǎn)Q且垂直于x軸．（1)求線段OQ的長;（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)P和Q的動直線l2:x=my+b交C交點(diǎn)A和B，交l1于點(diǎn)E，若直線PA，PB的斜率依次成等差數(shù)列，試問:l2是否過定點(diǎn)？請說明理由．21．已知f（x）=x2﹣ax+lnx,a∈R．(1）若a=0，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f(1）)處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x）在上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）令g（x）=x2﹣f（x），x∈（0，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；求當(dāng)實(shí)數(shù)a等于多少時,可以使函數(shù)g(x）取得最小值為3．選做題（請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分）22．在極坐標(biāo)系中，已知曲線C：ρ=2cosθ,將曲線C上的點(diǎn)向左平移一個單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到曲線C1，又已知直線l：（t是參數(shù)），且直線l與曲線C1交于A,B兩點(diǎn)．（1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程,并說明它是什么曲線；(2）設(shè)定點(diǎn)P(0，），求+．23．已知函數(shù)f（x）=|x+1｜．（1）求不等式f（x）+1＜f(2x)的解集M；（2）設(shè)a，b∈M，證明：f（ab）＞f(a)﹣f(﹣b）．

答案:DCAACDBDACCB二、13、-514、8x+y+4=015、16、5050三、17、解：(1）因?yàn)锳D=1，CD=3，AC=2，所以由余弦定理得，cosD===，因?yàn)镈∈（0，π)所以sinD==又AD=1，CD=3，所以△ACD的面積S==…（2）∵AC=BC=2，∴∠BAC=B,則∠ACB=π﹣2B,由正弦定理得,，則，即，又cosB=，所以AB=AC?cosB=2×=4．…18．解:（1）因?yàn)榫W(wǎng)購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在相應(yīng)的2×2列聯(lián)表為：網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年合計(jì)購物金額在2000元以上35540購物金額在2000元以下402060合計(jì)7525100由公式K2=≈5.56，…因?yàn)?.56＞5.024,所以據(jù)此列聯(lián)表判斷，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)．…19．（1)證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形,∵E為BC的中點(diǎn),∴AE⊥BC．又BC∥AD,因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；(2）解：設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)H,連接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴當(dāng)AH最短時，即當(dāng)AH⊥PD時,∠EHA最大，此時，因此AH=．∴線段PD上存在點(diǎn)H，當(dāng)DH=時，使得EH與平面PAD所成最大角的正切值為．20．解：（Ⅰ）由拋物線y2=nx（n＞0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P（2,t）到焦點(diǎn)的距離為，得2+=，∴n=2，拋物線C的方程為y2=2x,P（2，2)．…C在第一象限的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=，則y′=，故C在點(diǎn)P處的切線斜率為,切線的方程為y﹣2=（x﹣2）,令y=0得x=﹣2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2,0）．故線段OQ的長為2．…（Ⅱ）l2恒過定點(diǎn)（2，0）,理由如下：由題意可知l1的方程為x=﹣2，因?yàn)閘2與l1相交，故m≠0．由l2:x=my+b,令x=﹣2，得y=﹣,故E（﹣2，﹣）設(shè)A（x1,y1）,B(x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0則y1+y2=2m,y1y2=﹣2b…直線PA的斜率為,同理直線PB的斜率為,直線PE的斜率為．因?yàn)橹本€PA，PE，PB的斜率依次成等差數(shù)列,所以+=2×…整理得：=，因?yàn)閘2不經(jīng)過點(diǎn)Q，所以b≠﹣2，所以2m﹣b+2=2m，即b=2．故l2的方程為x=my+2，即l2恒過定點(diǎn)（2,0）．…21解：(1）a=0時，f（x)=x2+lnx，x＞0∴f′（x）=2x+，∴f′(1）=3，f（1）=1,∴數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）)處的切線方程為3x﹣y﹣2=0,（2）函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，∴f′(x)=2x﹣a+≥0，在上恒成立，即a≤2x+,在上恒成立，令h（x）=2x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時，取等號，∴a≤2,∴a的取值范圍為（﹣∞,2]（3）g（x)=x2﹣f（x）=ax﹣lnx，x∈（0,e]．∴g′（x)=a﹣=(0＜x≤e),①當(dāng)a≤0時，g（x）在（0,e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；②當(dāng)a＞0且＜e時，即a＞，g（x）在（0,）上單調(diào)遞減，在（，e］上單調(diào)遞增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，滿足條件；③當(dāng)a＞0，且≥e時，即0＜a≤，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）;綜上,存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈（0，e］時,g（x）有最小值3．22、解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣2x=0即(x﹣1)2+y2=1．∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為=1,∴曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0)，(，0）,長軸長為4的橢圓（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程=1中，得．設(shè)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，∴t1+t2=﹣,t1t2=，∴+=|=．23（1)解：不等式f（x）+1＜f（2x)即|x+1｜＜|2x+1|﹣1，∴①,或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈?；解③求得x＞1．故要