（人教A版）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型講練 專(zhuān)題06離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1個(gè)拓展1個(gè)突破6種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（解析版）

專(zhuān)題06離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1個(gè)拓展1個(gè)突破6種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.離散型隨機(jī)變量的均值知識(shí)點(diǎn)2.離散型隨機(jī)變量的方差拓展：離散型隨機(jī)變量均值與方差的定義與性質(zhì)突破：均值與方差在決策中的應(yīng)用【方法二】實(shí)例探索法題型1.求離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）題型2.離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)題型3.離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用題型4離散型隨機(jī)變量的方差題型5.離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題型6.離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.求隨機(jī)變量的均值時(shí)因分布列不準(zhǔn)確致誤易錯(cuò)點(diǎn)2.錯(cuò)用公式致誤【方法四】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.離散型隨機(jī)變量的均值一離散型隨機(jī)變量的均值1．離散型隨機(jī)變量的均值的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．2．離散型隨機(jī)變量的均值的意義均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則Y也是隨機(jī)變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機(jī)變量，那么Y也是隨機(jī)變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考離散型隨機(jī)變量的均值與樣本平均值之間的關(guān)系如何？答案(1)區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴(lài)于樣本的抽取，而樣本平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化．(2)聯(lián)系：對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來(lái)越接近于總體的均值．二、兩點(diǎn)分布的均值如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.例1．（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為X12345P0.10.30.40.10.1則；.【答案】2.810.4【分析】由期望的計(jì)算公式及即可得.【詳解】,.故答案為：2.8；10.4.知識(shí)點(diǎn)2.離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱(chēng)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差(variance)，有時(shí)也記為Var(X)，并稱(chēng)eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)，記為σ(X)．二、離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)1．設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．例2.（2024上·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找出X的取值可能，計(jì)算每種可能的概率后結(jié)合方差定義計(jì)算即可得.【詳解】由題意可知，X的取值可能為，，，因?yàn)?，，，所以，故．故選：B.拓展：離散型隨機(jī)變量均值與方差的定義與性質(zhì)3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知X的分布列為X01P則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出、的值，可判斷A、B選項(xiàng)的正誤，利用均值和方差的性質(zhì)可判斷B、D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)A：由，知A正確；對(duì)B：由，知B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：因?yàn)榈姆植剂袨樗?，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：AC.突破：均值與方差在決策中的應(yīng)用4．（2021上·重慶黔江·高三重慶市黔江中學(xué)校校考階段練習(xí)）為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為45元，其余3個(gè)均為15元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)從如下兩種方案中選擇一種，并說(shuō)明理由.方案一：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值15元和2個(gè)標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值20元和2個(gè)標(biāo)有面值40元的兩種球組成.【答案】(1)(2)方案二，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式求解；（2）分別求解兩方案的均值和方差比較可得結(jié)果【詳解】（1）設(shè)顧客的獎(jiǎng)勵(lì)額為X,依題意得（2）根據(jù)方案一，設(shè)顧客的獎(jiǎng)勵(lì)額為其可能取值為30，，30m60，90，，根據(jù)方案二，設(shè)顧客的獎(jiǎng)勵(lì)額為其可能取值為40，60，80，，商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，故每個(gè)顧客平均獎(jiǎng)勵(lì)額最多為60，兩方案均符合要求，但方案二獎(jiǎng)勵(lì)的方差比方案一小，所以應(yīng)選擇方案二【方法二】實(shí)例探索法題型1.求離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）1．（2023下·北京懷柔·高二?？计谥校┮阎?，記隨機(jī)變量為x，y，z中的最大值，則.【答案】17【分析】求出可能取值，求出相應(yīng)的概率，得出的分布列，即可求出期望.【詳解】由題意可得：的可能取值為，用隔板法可求得：事件總情況為種，若，三個(gè)正整數(shù)為或，則有種，故；若，三個(gè)正整數(shù)為或，則有種，故；若，三個(gè)正整數(shù)為或，則有種，故；若，三個(gè)正整數(shù)為，則有種，故；若，三個(gè)正整數(shù)為，則有種，故；故的分布列為：45678故.所以故答案為：.題型2.離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)2．多選題（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先利用均值的性質(zhì)根據(jù)求出，再根據(jù)分布列求出隨機(jī)變量的均值和的值，聯(lián)立即可求解.【詳解】根據(jù)分布列可知①，因?yàn)?，所以，解得，又由分布列可得，整理得②，①②?lián)立解得，，故選：BCD題型3.離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用3．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．某經(jīng)銷(xiāo)商提供如下兩種方式購(gòu)買(mǎi)吉祥物，方式一：以盲盒方式購(gòu)買(mǎi)，每個(gè)盲盒20元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一款或者為空盒，只有拆開(kāi)才會(huì)知道購(gòu)買(mǎi)情況，買(mǎi)到各種盲盒是等可能的；方式二：直接購(gòu)買(mǎi)吉祥物，每個(gè)30元．(1)小明若以方式一購(gòu)買(mǎi)吉祥物，每次購(gòu)買(mǎi)一個(gè)盲盒并拆開(kāi)．求小明第3次購(gòu)買(mǎi)時(shí)恰好首次出現(xiàn)與已買(mǎi)到的吉祥物款式相同的概率；(2)為了集齊三款吉祥物，現(xiàn)有兩套方案待選，方案一：先購(gòu)買(mǎi)一個(gè)盲盒，再直接購(gòu)買(mǎi)剩余的吉祥物；方案二：先購(gòu)買(mǎi)兩個(gè)盲盒，再直接購(gòu)買(mǎi)剩余吉祥物．若以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，小明應(yīng)選擇哪套方案？【答案】(1)(2)小明應(yīng)該選擇方案一【分析】（1）根據(jù)古典概型求取概率；（2）分別分析兩種方案的分布，然后求取期望值比較；【詳解】（1）設(shè)小明第3次購(gòu)買(mǎi)是恰好首次出現(xiàn)與已買(mǎi)到的吉祥物款式相同的概率為，則分為有空盒和無(wú)空盒兩種情況，．（2）方案一：令小明集齊3款吉祥物所需要的總費(fèi)用為．的可能取值為80，110．則，．所以．方案二：令小明集齊3款吉祥物所需要的總費(fèi)用為．依題意，的可能取值為70，100，130，則，，．所以．因?yàn)椋孕∶鲬?yīng)該選擇方案一．題型4離散型隨機(jī)變量的方差2．單選題（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知隨機(jī)變量，滿(mǎn)足，且，則（

）A．16 B．8 C．4 D．【答案】B【分析】由方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知.故選：B.題型5.離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)5．（2024上·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知某人每次投籃的命中率為，投進(jìn)一球得1分，投不進(jìn)得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為．【答案】/【分析】結(jié)合兩點(diǎn)分布的期望與方差公式以及基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】由題意可知，X服從兩點(diǎn)分布，可得，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最大值為．故答案為：.題型6.離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用6．（2023上·安徽·高三安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1

股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．投資股票甲的期望收益較大 D．投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高【答案】ACD【分析】計(jì)算期望以及方差，從而由期望和方差的意義判斷CD，由方差和期望的性質(zhì)判斷AB.【詳解】，，，，則投資股票甲的期望收益較大，投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高.，．故選：ACD【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.求隨機(jī)變量的均值時(shí)因分布列不準(zhǔn)確致誤1．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)針對(duì)會(huì)員客戶(hù)推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶(hù)可在價(jià)值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶(hù)各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；（2）根據(jù)題設(shè)確定的可能取值并確定對(duì)應(yīng)概率，即可寫(xiě)出分布列，進(jìn)而求期望.【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，則的取值可能為0，100，200，300，400，，，，，，則的分布列為0100200300400.易錯(cuò)點(diǎn)2.錯(cuò)用公式致誤2．多選題（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）已知,隨機(jī)變量的分布列為:則(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)期望方差的相關(guān)公式，以及判斷,再舉特例判斷D即可.【詳解】因?yàn)?所以錯(cuò)，因?yàn)?所以對(duì)，因?yàn)椋?所以,所以對(duì)，舉特例來(lái)說(shuō)明錯(cuò),取，則，，，,所以錯(cuò).故選:BC【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）兩點(diǎn)分布也叫分布，已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩點(diǎn)分布的定義即可判斷A、B選項(xiàng)；由期望和方差公式即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】由參數(shù)為的兩點(diǎn)分布知，故A、B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2022下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))X0123P0.20.30.4a則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由概率之和為1可判斷A，根據(jù)分布列計(jì)算可判斷B,C,D.【詳解】因?yàn)?，解得，故A錯(cuò)誤；由分布列知，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．（2021下·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列是01隨機(jī)變量的分布列是123以下錯(cuò)誤的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的計(jì)算和期望的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確．對(duì)于B中，，所以B正確．對(duì)于C中，，，所以，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，，，，，，計(jì)算得，所以，所以D正確.故選：C．4．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X滿(mǎn)足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝（）A．6 B．8C．18 D．20【答案】C【分析】根據(jù)方差公式，即可計(jì)算.【詳解】∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.故選:C.5．（2020下·全國(guó)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有個(gè)紅球和個(gè)籃球且，從乙盒中隨機(jī)抽取個(gè)球放入甲盒中，放入個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得的分布列，并根據(jù)分布列求得數(shù)學(xué)期望，即可比較大??；結(jié)合已知條件，結(jié)合期望的性質(zhì)即可判斷選擇.【詳解】從乙盒中取1個(gè)球時(shí)，取出的紅球個(gè)數(shù)記為，則的所有可能取值為0，1，則，，所以；從乙盒中取2個(gè)球時(shí)，取出的紅球數(shù)記為，則的可能取值為0，1，2，則，，，所以所以，故A項(xiàng)正確；，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，故C項(xiàng)正確；而，，得，即，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B項(xiàng)正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求解，涉及期望的性質(zhì)，屬綜合中檔題.6．（2021下·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數(shù)，則A．a(chǎn)= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=【答案】B【分析】利用概率的性質(zhì)列方程可求得，根據(jù)分布列和期望公式可求出、、，從而可得答案.【詳解】因?yàn)閍(1+2+3+4)=1，所以a=，所以P(X>)=+，P(X<4a)=P(X<)=，E(X)=×+×+×+×.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的性質(zhì)，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.7．（2021下·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列如表：則當(dāng)內(nèi)增大時(shí)（

）Xa1bPA．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】B【分析】先求出，利用方差的定義建立，利用二次函數(shù)單調(diào)性判斷出的變化.【詳解】由題意：，∵，∴.∴又，∴，∴∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即當(dāng)內(nèi)增大時(shí)減小.故選：B8．（2020上·浙江溫州·高三溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若隨機(jī)變量X滿(mǎn)足，N為正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的值最接近（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】由期望公式計(jì)算出期望，計(jì)算可得近似值．【詳解】，顯然，當(dāng)時(shí)，的值最接近．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的均值，掌握隨機(jī)變量的概率分布列與期望的關(guān)系是解題基礎(chǔ)．二、多選題9．（2023下·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，若用隨機(jī)變量表示從這個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取出的一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，表示，同時(shí)發(fā)生的概率，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的均值為D．當(dāng)（且）時(shí)，【答案】ACD【分析】利用條件概率公式可判斷A選項(xiàng)；列舉出滿(mǎn)足的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用古典概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用離散型隨機(jī)變量的期望公式可判斷C選項(xiàng)；列舉出滿(mǎn)足，的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用古典概型的概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，整數(shù)點(diǎn)共個(gè)，則，由得，即滿(mǎn)足，的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，整數(shù)點(diǎn)共個(gè)，滿(mǎn)足的整數(shù)點(diǎn)為，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，的分布列如下表所示：的可能取值有、、、、、、，滿(mǎn)足的點(diǎn)為，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，滿(mǎn)足的解為，則，D對(duì).故選：ACD.10．（2020·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）新冠肺炎疫情發(fā)生后，我國(guó)加緊研發(fā)新型冠狀病毒疫苗，某醫(yī)藥研究所成立疫苗研發(fā)項(xiàng)目，組建甲、乙兩個(gè)疫苗研發(fā)小組，且兩個(gè)小組獨(dú)立開(kāi)展研發(fā)工作.已知甲小組研發(fā)成功的概率為，乙小組研發(fā)成功的概率為.該研發(fā)項(xiàng)目的獎(jiǎng)金為100萬(wàn)元，分配方案是：若只有某一小組研發(fā)成功，則該小組獲得全部獎(jiǎng)金；若兩個(gè)小組都研發(fā)成功，則平分全部獎(jiǎng)金；若兩個(gè)小組均未研發(fā)成功，則均不獲得獎(jiǎng)金.則（

）A．該研究所疫苗研發(fā)成功的概率為B．乙小組獲得全部獎(jiǎng)金的概率為C．在疫苗研發(fā)成功的情況下，是由甲小組研發(fā)成功的概率為D．甲小組獲得獎(jiǎng)金的期望值為60萬(wàn)元【答案】AC【分析】于A和B選項(xiàng)，可利用對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解并判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，可利用條件概率的計(jì)算公式求解判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，可先寫(xiě)出甲小組獲得獎(jiǎng)金數(shù)的可能取值，求出分布列，再計(jì)算期望值，進(jìn)而判斷即可.【詳解】對(duì)由題，當(dāng)甲、乙兩個(gè)小組至少有一個(gè)小組研發(fā)成功時(shí)，該研究所疫苗研發(fā)成功，其概率為，故A選項(xiàng)正確；乙小組獲得全部獎(jiǎng)金，即甲小組沒(méi)有研發(fā)成功，而乙小組研發(fā)成功，概率為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)事件A為“疫苗研發(fā)成功”，事件B為“甲小組研發(fā)成功”，則，故C選項(xiàng)正確；設(shè)甲小組獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為（單位：萬(wàn)元），則的可能取值為0，50，100，且，，，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查概率問(wèn)題，關(guān)鍵考查建模能力，理解題意，正確轉(zhuǎn)化為概率模型求解，試題從實(shí)際生活中的場(chǎng)景出發(fā)，對(duì)新型冠狀病毒疫苗研發(fā)情況進(jìn)行分析，需要考生選擇隨機(jī)變量刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象，并利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)對(duì)理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng)的考查.11．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮缓兄杏?個(gè)乒乓球，其中5個(gè)未使用過(guò)，2個(gè)已使用過(guò)，第一次從盒子中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后再裝回盒中，記此時(shí)盒子中已使用過(guò)的球的個(gè)數(shù)為，第二次從盒子中任取2個(gè)球，設(shè)其中新球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（

）A．的所有可能取值是3，4，5 B．C． D．【答案】ACD【分析】求出的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，求出期望可判斷A、B；根據(jù)條件概率公式可判斷C；根據(jù)全概率公式可判斷D.【詳解】由題意得，的所有可能取值是3，4，5，故A正確；，，，則，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD12．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系的第一象限內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，若用隨機(jī)變量表示從這個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取出的一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，表示，同時(shí)發(fā)生的概率，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的均值為D．當(dāng)（且）時(shí)，【答案】ACD【分析】利用條件概率公式可判斷A選項(xiàng)；列舉出滿(mǎn)足的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用古典概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用離散型隨機(jī)變量的期望公式可判斷C選項(xiàng)；列舉出滿(mǎn)足，的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用古典概型的概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，整數(shù)點(diǎn)共個(gè)，則，由得，即滿(mǎn)足，的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，整數(shù)點(diǎn)共個(gè)，滿(mǎn)足的整數(shù)點(diǎn)為，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，的可能取值有、、、、、、、、，此時(shí)，樣本點(diǎn)共個(gè)，滿(mǎn)足的點(diǎn)為，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為、，則，滿(mǎn)足的點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，滿(mǎn)足的解為，則，D對(duì).故選：ACD.三、填空題13．（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如表:X-10bPab若X的數(shù)學(xué)期望，則.【答案】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算公式，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，解得，所以.故答案為：.14．（2022下·北京·高二首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中不放回地抽3次，每次抽取1臺(tái)，設(shè)抽取的乙型彩電臺(tái)數(shù)為，則．【答案】/1.2【分析】確定的取值，計(jì)算每個(gè)取值的概率，可得分布列，求得期望.【詳解】設(shè)抽取的乙型彩電臺(tái)數(shù)為，取值可能為：0,1,2，則則，，；所以的分布列為：012；故答案為15．隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列概率和為1求出，求出，再由方差性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意得，則，∴，，，則，，∴.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)、期望、方差以及方差的性質(zhì)，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.16．（2021·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表：01其中，則的最大值是.【答案】【分析】求出隨機(jī)變量的均值，再由公式表示出，結(jié)合基本不等式可得，結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，，則，，所以又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以所以，故的最大值是.故答案為：.四、解答題17．（2022下·重慶九龍坡·高二四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）據(jù)調(diào)查，目前對(duì)于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺(jué)時(shí)佩戴的一種特殊的隱形眼鏡（因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，所以越來(lái)越多的小學(xué)生家長(zhǎng)選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展），A市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人（其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率懸多大?(2)從這8名跟角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出3個(gè)人，求其中男生人數(shù)的期望與方差；(3)若將樣本的頻率當(dāng)做估計(jì)總體的概率，請(qǐng)問(wèn)，從市的小學(xué)生中，隨機(jī)選出20位小學(xué)生，記其中佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)為Y，求恰好時(shí)的概率（不用化簡(jiǎn)）及Y的方差.【答案】(1)(2)，(3)，【分析】（1）由條件概率公式計(jì)算即可得解；（2）由題意可得的所有可能取值分別為：0，1，2，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，從而求出期望與方差；（3）由已知可得，由二項(xiàng)分布的概率和方差公式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)“這位小學(xué)生佩戴眼鏡”為事件，“這位小學(xué)生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，所以，所以若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是．（2）解：依題意可知：其中男生人數(shù)的所有可能取值分別為：0，1，2，其中：；；，所以男生人數(shù)的分布列為：012所以，（3）解：由已知可得：，則：，，18．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）俗話(huà)說(shuō)：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會(huì)讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺(jué)．張老師準(zhǔn)備參加某大型活動(dòng)，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱(chēng)為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱(chēng)為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；，(2)【分析】（1）結(jié)合古典概型即可寫(xiě)出分布列，進(jìn)而可求期望與方差；（2）結(jié)合條件概率即可求解.【詳解】（1）將一枚骰子連續(xù)投擲兩次共有基本事件種，擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)有：，12種；則擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)有24種，隨機(jī)變量的取值為0，1，，所以的分布列為：01．；（2）設(shè)表示深色，則表示穿淺色，表示穿西裝，則表示穿休閑裝．根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為，則穿淺色衣物的概率為，穿深色西裝的概率為，穿淺色西裝的概率為，則當(dāng)天穿西裝的概率為．所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為．19．（2024上·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）為了推動(dòng)足球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某足球比賽允許不同俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員參加．現(xiàn)有來(lái)自甲俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員4名，其中知名選手2名；乙俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員5名，其中知名選手3名．從這9名運(yùn)動(dòng)員選擇5名參加比賽．(1)求選出的5人中恰有2人是知名選手，且這2名知名選手來(lái)自同一俱樂(lè)部的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X為選出的5人中知名選手的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）結(jié)合概率公式計(jì)算即可得；（2）根據(jù)隨機(jī)變量X的可能取值逐一計(jì)算相應(yīng)概率可得分布列，即可得期望.【詳解】（1）設(shè)“選出的5人中恰有2人是知名選手且這2名知名選手來(lái)自同一俱樂(lè)部”為事件A，則；（2）由題意可知，X的取值可能為1，2，3，4，5．，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X12345P.20．（2023上·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．【答案】分布列見(jiàn)解析，均值為，方差為.【分析】求出的可能取值以及對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，根據(jù)期望與方差的概念即可求出結(jié)果.【詳解】依題意，的所有