（人教A版）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型講練 專題08正態(tài)分布（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2個(gè)拓展1個(gè)突破3種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（解析版）

專題08正態(tài)分布（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2個(gè)拓展1個(gè)突破3種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正態(tài)曲線與正態(tài)分布知識(shí)點(diǎn)2.正態(tài)曲線的性質(zhì)拓展1.正態(tài)分布概率的求法拓展2.正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用突破：正態(tài)分布的綜合應(yīng)用【方法二】實(shí)例探索法題型1.正態(tài)曲線題型2.利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率題型3.正態(tài)分布的應(yīng)用【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)用正態(tài)曲線的對(duì)稱性【方法四】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正態(tài)曲線與正態(tài)分布正態(tài)曲線與正態(tài)分布1．我們稱f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱其圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．2．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．例1.單選題（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）某班有45名學(xué)生，最近一次的市聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，若的學(xué)生人為18，則（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35【答案】C【分析】結(jié)合原則與正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解．【詳解】由題可設(shè)，則，又的學(xué)生人數(shù)為，故.故選：C知識(shí)點(diǎn)2.正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的特點(diǎn)1．對(duì)?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線與x軸之間的面積為1.3．曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．4．曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．6．當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.知識(shí)點(diǎn)三正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則．例2．多選題（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量，且，隨機(jī)變量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由正態(tài)分布函數(shù)的對(duì)稱性以及二項(xiàng)分布的概率公式逐一驗(yàn)算每一選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，故A正確.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，故C正確.因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.拓展1.正態(tài)分布概率的求法1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則．【答案】0.2【分析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,得到對(duì)稱軸為，再由,可得,根據(jù)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得到對(duì)稱軸為，又由，則，所以.故答案為：拓展2.正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某市有20000名學(xué)生參加了一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)（知識(shí)競(jìng)賽分為初賽和復(fù)賽），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初賽成績(jī)作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和分位數(shù)．(2)若所有學(xué)生的初賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，初賽成績(jī)不低于89分的學(xué)生才能參加復(fù)賽，試估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù)．(3)復(fù)賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對(duì)得30分，第三題答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分．已知某學(xué)生已通過初賽，他在復(fù)賽中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復(fù)賽成績(jī)?yōu)椋蟮姆植剂屑皵?shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)平均數(shù)67，分位數(shù)為(2)455(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為55【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和百分位數(shù)的求法即可求解；（2）由（1），易知近似服從正態(tài)分布，結(jié)合題意和正態(tài)分布3段區(qū)間的概率即可求解；（3）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出隨機(jī)變量Y值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求解即可.【詳解】（1）樣本平均數(shù)．因?yàn)榍?組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，設(shè)分位數(shù)為，則，解得．（2）因?yàn)閷W(xué)生的初賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中，，所以，所以，所以估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù)為．（3）所有可能的取值為0，30，40，60，70，100，，，，，，，所以的分布列為030406070100，所以的數(shù)學(xué)期望為55．【方法二】實(shí)例探索法題型1.正態(tài)曲線1．單選題（2021·高二單元測(cè)試）設(shè)X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，這兩個(gè)正態(tài)曲線如圖所示，下列說法正確的是（）A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)C．若t<0，則P(X≤t)≤P(Y≤t)D．若t<0，則P(X≥t)≤P(Y≥t)【答案】D【分析】由已知圖象可得μ1與μ2，σ1與σ2的大小關(guān)系，然后利用正態(tài)分布的性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】由正態(tài)分布密度曲線圖象的對(duì)稱性知，μ1<0<μ2，由圖象形狀可得σ1>σ2>0，如圖，觀察圖象得：P(Y≤μ1)≤P(Y≤μ2)，A不正確；P(X≥σ1)≤P(X≥σ2)，B不正確；由正態(tài)分布在區(qū)間上的概率的幾何意義知：若t<0，則P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C不正確，D正確.故選：D題型2.利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率2．多選題（2021·高二課時(shí)練習(xí)）醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率，則下列說法正確的是（）（附：若，則，，）A．B．C．D．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只醫(yī)用口罩中過濾率大于的數(shù)量，則【答案】ABC【分析】直接由正態(tài)分布的對(duì)稱性、三段區(qū)間的概率以及對(duì)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率依次判斷即可.【詳解】由題意可知，，.對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以根?jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)可知，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，且，所以，故C正確；對(duì)于D，一只醫(yī)用口罩過濾率小于等于的概率約為，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.題型3.正態(tài)分布的應(yīng)用3．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）若某種零件的尺寸（單位：）服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.試估計(jì)尺寸在72~88的零件占總數(shù)的百分之幾.【答案】68.27%.【分析】由題意可先確定和的值，再由正態(tài)分布的3原則結(jié)合題意即可求解【詳解】由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，且在處取得最大值，因此，，所以.由，，得，，又因此尺寸在72~88的零件大約占總數(shù)的68.27%.【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)用正態(tài)曲線的對(duì)稱性1．某中學(xué)高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，求此校數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的考生占總?cè)藬?shù)的百分比．【答案】2.28％．【詳解】試題分析：設(shè)表示學(xué)生高考數(shù)學(xué)成績(jī)，根據(jù)題意知要求的值．因?yàn)?，，所以，，故?shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠陨系目忌伎側(cè)藬?shù)的．試題解析：設(shè)表示學(xué)生高考數(shù)學(xué)成績(jī)，根據(jù)題意知要求的值．因?yàn)?，，所以，，故?shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的考生占總?cè)藬?shù)的2.28％．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)正態(tài)分布的應(yīng)用題考查知識(shí)點(diǎn)較為清晰，只要掌握以下兩點(diǎn)，問題就能迎刃而解：（1）仔細(xì)閱讀，將實(shí)際問題與正態(tài)分布掛起鉤來；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線的對(duì)稱性以及各個(gè)區(qū)間概率之間的關(guān)系.【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某班有60名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)，若，則估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】由計(jì)算出，由此求得該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的概率，問題得解．【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)，所以由可得：，所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的概率為：，所以估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為：（人）故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布的特征及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2021上·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎恼龖B(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68.3%，95.4%和99.7%.某校為高一年級(jí)1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布，則適合身高在155~175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制（

）A．683套 B．954套 C．972套 D．997套【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布可得身高在155~175cm范圍內(nèi)的概率為95.4%，即可求出答案.【詳解】因?yàn)閷W(xué)生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布，所以身高在155~175cm范圍內(nèi)即在內(nèi)取值，概率為95.4%，所以身高在155~175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制套.故選：B.3．已知隨機(jī)變量，且，則A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7【答案】A【解析】由隨機(jī)變量，得正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，即可得到，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，隨機(jī)變量，且，可得正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2021下·江蘇連云港·高二?？计谥校┮阎龖B(tài)密度曲線的函數(shù)關(guān)系式是f（x），設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象，且，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與方差分別是（

）A．10與4 B．10與2 C．10與8 D．2與10【答案】A【分析】把已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正態(tài)密度曲線的函數(shù)關(guān)系式求解．【詳解】解：，平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差．所以平均數(shù)，方差故選：．5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，，則為（

）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718【答案】B【分析】由隨機(jī)變量可知，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可【詳解】由隨機(jī)變量知，，所以，，所以，故選：B6．某班有60名學(xué)生，一次考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，若，估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分以上的人數(shù)為（

）A．12 B．20 C．30 D．40【答案】A【分析】利用正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，從而求得的值，進(jìn)而求得的概率值，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，所以，所以該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分以上的人數(shù)為（人）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的應(yīng)用，求解時(shí)注意利用曲線的對(duì)稱性，同時(shí)注意一個(gè)端點(diǎn)值不影響概率值，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.7．（2021下·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)?，所以其圖像關(guān)于對(duì)稱，所以有，解出的值【詳解】因?yàn)?，根?jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形特征，其圖像關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)?，所以?dāng)和時(shí)，其函數(shù)值相等，根據(jù)對(duì)稱性，和關(guān)于，所以有，解得故選：B8．隨機(jī)變量，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可求解【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱所以因?yàn)樗运裕蔬x：A.二、多選題9．（2023下·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6B．若隨機(jī)變量，且，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的中位數(shù)的概念和計(jì)算方法，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式，可判定B正確；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，可判定C正確；根據(jù)回歸直線方程的特征，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，把某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)由小到大排列：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若隨機(jī)變量，且，可得，解得，則，所以B正確；對(duì)于C中，若隨機(jī)變量，且，可得，則，所以C正確；對(duì)于D中，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程為：，可能沒有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2021上·福建福州·高三?？奸_學(xué)考試）已知某批零件的長(zhǎng)度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）.（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．從中隨機(jī)取一件，．A．B．C．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1599【答案】BC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合圖像、題中所給公式逐一判斷即可.【詳解】由圖中密度函數(shù)解析式，可得；又由圖像可知，則長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為：．故選：BC11．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）關(guān)于下列命題中，說法正確的是（

）A．已知，若，，則B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為C．已知，若，則D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有人，高二有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取人，已知從高一抽取了人，則應(yīng)從高三抽取人.【答案】BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得，知A錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可求得C正確；根據(jù)分層抽樣原則可計(jì)算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知D正確.【詳解】對(duì)于A，，，，解得：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，，，，，，，，，，，分位?shù)為第個(gè)數(shù)，即，B正確；對(duì)于C，，，C正確；對(duì)于D，抽樣比為，高二應(yīng)抽取人，則高三應(yīng)抽取人，D正確.故選：BCD.12．（2022下·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的有（

）A．若隨機(jī)變量，，則B．若隨機(jī)變量，則方差C．從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為D．已如隨機(jī)變量的分布列為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)概率，正態(tài)分布和二項(xiàng)分布的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，明顯可得，，所以，，A正確；對(duì)于B，直接利用二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式，即可求解，B正確；對(duì)于C，設(shè)至少有一名女生為事件，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，得，可得，解得，所以，故D正確；故選：ABD三、填空題13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）研究人員在調(diào)查某園區(qū)內(nèi)種植的某種植物的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若，則在該園區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取一株這種植物，株高超過的概率約為．【答案】0.2/【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：因?yàn)椋越獾茫钟傻?，所以，故株高超過的概率約為0.2．故答案為：0.214．（2022·高二單元測(cè)試）上次月考剛好有900名學(xué)生參加考試，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，且，則上次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以上的人數(shù)大約為．【答案】144【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，求出上次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以上的概率，即可求解．【詳解】解：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，，且，，，則該上次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以上的人數(shù)大約為人．故答案為：144．15．（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某校高中三年級(jí)600名學(xué)生參加了區(qū)模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.【答案】75【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求得，即可求得答案.【詳解】由題意可知，且,則，故此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為，故答案為：7516．（2021上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校一次高三年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)，經(jīng)抽樣分析，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，且，若該校1800學(xué)生參加此次檢測(cè)，估計(jì)該校此次檢測(cè)成績(jī)不低于99分的學(xué)生人數(shù)為.【答案】360【分析】由題意，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，求得，進(jìn)而可求解，得到答案.【詳解】解：由題意，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，又由，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以該市某校有1800人中，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于99分的人數(shù)為人，故答案為：360.四、解答題17．設(shè)X～N(10,1)，若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．【答案】.【詳解】試題分析：由正態(tài)曲線的的對(duì)稱性可得，再結(jié)合和的值，即可得出答案.試題解析:X～N(10,1)所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸x=10.P(X.18．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某工廠為檢驗(yàn)車間一生產(chǎn)線工作是否正常，現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取一批零件樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：mm）并繪成頻率分布直方圖，如圖所示．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為零件樣本平均數(shù)，近似為零件樣本方差．(1)求這批零件樣本的和的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，求；(3)若從生產(chǎn)線中任取一零件，測(cè)量其尺寸為30mm，根據(jù)原則判斷該生產(chǎn)線工作是否正常．附：；若，則，，．【答案】(1)75；110；(2)0.8186；(3)該生產(chǎn)線工作不正常.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式進(jìn)行求解即可；（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合所給的公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1），（2）由（1）知，，從而，∴（3）∵，，，，小概率事件發(fā)生了，∴該生產(chǎn)線工作不正常．19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公司為了解市場(chǎng)對(duì)其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上（不含90分）視為非常滿意.(1)本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若，則，）【答案】(1)6人，6人(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率直方分布圖和正態(tài)分布計(jì)算；（2）根據(jù)題意，只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有4人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有4人，利用超幾何分布得出的分布列．【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，其中，設(shè)對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分為，所以，所以本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的顧客約有（人）.根據(jù)頻率分布直方圖得，對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的頻率為，則本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的顧客約有（人）.（2）根據(jù)題意，這人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有人，則只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有人，的可能取值為，，，則的分布列為數(shù)學(xué)期望.20．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中.①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．【答案】(1)8(2)①317戶；②【分析】（1）利用平均數(shù)公式求解；（2）易知①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，根據(jù)，求得即可.②由年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布求解.【詳解】（1）解：這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù).（2）①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)為317.②年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布.所以.21．（2023下·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)校考期末）《中國(guó)制造2025》是經(jīng)國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國(guó)務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)的戰(zhàn)略文件，是中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng)．制造業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國(guó)之本、興國(guó)之器、強(qiáng)國(guó)之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國(guó)的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)；(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為