2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)進才中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)進才中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分。1．扇形的半徑為1，圓心角所對的長為3，則該扇形的面積是．2．已知點，，若點滿足，則點的坐標(biāo)為．3．向量在向量方向上的數(shù)量投影為．4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．5．在三角形中，是上靠近點的三等分點，為中點，若，則．6．在上的最大值為．7．向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是．8．在△中，角、、的對邊分別為、、，，則角．9．已知在上有且僅有3個極值點，則的取值范圍是．10．平面，，上三點的坐標(biāo)分別是，，．小林同學(xué)在點處休息，進而小貓沿著所在直線來回跑動，小貓離小林同學(xué)最近時的坐標(biāo)為．11．矩形中，，，動點滿足，，，，，則下列說法中正確的是．①若，則△的面積為定值；②若，則的最小值為4；③若，則滿足的點不存在；④若，，則△的面積為．12．在中，，，．為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項。考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑。13．下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是A． B． C． D．14．已知，，則A． B． C． D．15．是平面上一定點，，，平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心16．若非零不共線的向量，滿足，則A． B． C． D．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。17．已知平面向量，滿足，，且．（1）求向量，的夾角；（2）若，求實數(shù)的值．18．某同學(xué)用“五點法“畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：0010（1）請直接寫出表中，的值，并求出函數(shù)的解析式和最小正周期；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．19．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中為圓心，直徑的長為，，兩點在半圓弧上，且，設(shè)；（1）當(dāng)時，求四邊形的面積．（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段，，和組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時，觀光道路的總長最長，并求出的最大值．20．（18分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，點，，為與軸的交點，點，分別為的最高點和最低點，而函數(shù)在處取得最小值．（1）求參數(shù)的值；（2）若，求向量與向量的夾角；（3）若點為函數(shù)圖象上的動點，當(dāng)點在，之間運動時，恒成立，求的取值范圍．21．（18分）個有次序的實數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個維向量，其中，2，，稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，，，稱為維信號向量．設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且．（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．（2）證明：不存在6個兩兩垂直的6維信號向量．（3）已知個兩兩垂直的2024維信號向量，，，滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．

參考答案一．選擇題（共4小題）題號13141516答案BBDC一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分。1．扇形的半徑為1，圓心角所對的長為3，則該扇形的面積是．解：扇形的半徑為1，圓心角所對的長為3，所以該扇形的面積．故答案為：．2．已知點，，若點滿足，則點的坐標(biāo)為．解：設(shè)點的坐標(biāo)是，由，，可得，，又，則有，，，即，解得．故答案為：．3．向量在向量方向上的數(shù)量投影為．解：向量，，，，所以在方向上的數(shù)量投影為．故答案為：．4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，，．解：對于函數(shù)，令，，求得，，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，．故答案為：，，．5．在三角形中，是上靠近點的三等分點，為中點，若，則．解：因為為中點，所以，因為是上靠近點的三等分點，所以，所以，因為，所以．故答案為：．6．在上的最大值為．解：函數(shù)，由于，故，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為．故答案為：．7．向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是．解：，，且，解得且，故實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．8．在△中，角、、的對邊分別為、、，，則角或．解：由，因為，可得，因為，可得，所以或．故答案為：或．9．已知在上有且僅有3個極值點，則的取值范圍是．解：當(dāng)時，而，則，因為函數(shù)在上有且僅有3個極值點，則，解得，所以的取值范圍是．故答案為：．10．平面，，上三點的坐標(biāo)分別是，，．小林同學(xué)在點處休息，進而小貓沿著所在直線來回跑動，小貓離小林同學(xué)最近時的坐標(biāo)為．解：因為點，，所以，所以直線的方程為，即，由題意知，小貓離小林同學(xué)最近時所在位置的點與的連線與垂直，設(shè)，則，所以，解得，所以點．故答案為：．11．矩形中，，，動點滿足，，，，，則下列說法中正確的是①③④．①若，則△的面積為定值；②若，則的最小值為4；③若，則滿足的點不存在；④若，，則△的面積為．解：對于①，當(dāng)時，由向量加法的平行四邊形法則知，點應(yīng)該在邊上，在△中，以為底邊，高為點到的距離，所以為定值，故①正確；對于②，當(dāng)時，由向量加法的平行四邊形法則知，點應(yīng)該在邊上，當(dāng)位于點處時，有最小值2，故②錯誤；對于③，當(dāng)時，取的中點，的中點，連接，此時點位于上，如圖點與重合，此時、夾角為，同理，若點與重合，此時、夾角也為，若不與、重合，設(shè)、夾角為，則，因為、，所以，，又因為，，所以，由題意知，，，，的夾角為，所以，又因為、夾角為，所以，因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以，所以、夾角為銳角，綜上，無論怎么移動，，都不會垂直，故③正確；對于④，當(dāng)，時，由向量加法的平行四邊形法則作圖，此時到的距離為，所以，故④正確．故答案為：①③④．12．在中，，，．為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是，．解：如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以、所在直線為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，可得，則，令，，，可得，，，的取值范圍是，．故答案為：，．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項?？忌鷳?yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑。13．下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是A． B． C． D．解：函數(shù)、的最小正周期為，不正確；函數(shù)是偶函數(shù)，不正確，是奇函數(shù)，且最小正周期為，正確．故選：．14．已知，，則A． B． C． D．解：因為，，所以，所以，則．故選：．15．是平面上一定點，，，平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心解：如圖所示，過點作，垂足為點．則，同理，動點滿足，．，．，，因此的軌跡一定通過的垂心．故選：．16．若非零不共線的向量，滿足，則A． B． C． D．解：，，是非零向量，必有，上式中等號不成立，，故選：．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。17．已知平面向量，滿足，，且．（1）求向量，的夾角；（2）若，求實數(shù)的值．解：（1）根據(jù)題意，，則，變形可得，又由，則；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，則，若，則，解可得：，故，18．某同學(xué)用“五點法“畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：0010（1）請直接寫出表中，的值，并求出函數(shù)的解析式和最小正周期；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得，，又，，函數(shù)的解析式為，令，解得，可得，數(shù)據(jù)補全如下表：00100則，最小正周期為（2），，，關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，則與的圖象有兩個交點，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示：結(jié)合函數(shù)圖像可知．實數(shù)的取值范圍為．19．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中為圓心，直徑的長為，，兩點在半圓弧上，且，設(shè)；（1）當(dāng)時，求四邊形的面積．（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段，，和組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時，觀光道路的總長最長，并求出的最大值．解：（1）連接，則，，四邊形的面積為；（2）由題意，，，，令，則，，時，即，的最大值為5．20．（18分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，點，，為與軸的交點，點，分別為的最高點和最低點，而函數(shù)在處取得最小值．（1）求參數(shù)的值；（2）若，求向量與向量的夾角；（3）若點為函數(shù)圖象上的動點，當(dāng)點在，之間運動時，恒成立，求的取值范圍．解：（1）由題意可得在處取得最小值，則，，所以，，因為，則；（2）由題意，可得，則，，，則，，所以，，，設(shè)向量與向量的夾角為，則，因為，，所以；（3），，，因為是上動點，設(shè)，，，則，易知，在或處有最小值，在或處有最大值，所以當(dāng)或時，有最小值，即當(dāng)在或時，有最小值，此時或，若，則，，所以，又，解得，若，則，，所以，又，解得，綜上可得．21．（18分）個有次序的實數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個維向量，其中，2，，稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，，，稱為維信號向量．設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且．（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．（2）證明：不存在6個兩兩垂直的6維信號向量．（3）已知個兩兩垂直的2024維信號向量，，，滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．解：（1）依題意，可寫出4個兩兩垂直的4維信號向量為：，1，1，，，，1，，，1，，，，1，