2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量及其應(yīng)用 6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 6.3.1（教學(xué)用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修第二冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1（教學(xué)用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修第二冊(cè)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為新人教A版必修第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用中的6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，具體包括平面向量基本定理的證明和應(yīng)用，以及向量坐標(biāo)表示的方法和性質(zhì)。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課內(nèi)容基于學(xué)生已掌握的平面向量概念和運(yùn)算，通過(guò)引入平面向量基本定理，幫助學(xué)生理解和掌握向量坐標(biāo)表示的方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)向量在解析幾何中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過(guò)平面向量基本定理的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生運(yùn)用抽象思維分析問(wèn)題的能力；通過(guò)坐標(biāo)表示的練習(xí)，鍛煉學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力；通過(guò)向量運(yùn)算的應(yīng)用，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算技能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-明確本節(jié)課的核心內(nèi)容，以便于教師在教學(xué)過(guò)程中有針對(duì)性地進(jìn)行講解和強(qiáng)調(diào)。

-平面向量基本定理的理解與應(yīng)用：重點(diǎn)在于理解向量基本定理的幾何意義，并能運(yùn)用該定理解決向量線性組合問(wèn)題。

-向量坐標(biāo)表示的方法：重點(diǎn)在于掌握向量坐標(biāo)表示的方法，包括向量與坐標(biāo)軸夾角、向量坐標(biāo)的幾何意義和向量坐標(biāo)的運(yùn)算。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-識(shí)別并指出本節(jié)課的難點(diǎn)內(nèi)容，以便于教師采取有效的教學(xué)方法幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

-向量基本定理的證明：難點(diǎn)在于理解向量基本定理的證明過(guò)程，特別是如何從幾何圖形推導(dǎo)出向量線性組合的關(guān)系。

-坐標(biāo)表示的應(yīng)用：難點(diǎn)在于將坐標(biāo)表示應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，如求向量長(zhǎng)度、求向量夾角、解向量方程等，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯思維能力。

-向量坐標(biāo)的運(yùn)算：難點(diǎn)在于理解和掌握向量坐標(biāo)的加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算以及向量積的坐標(biāo)表示，這些運(yùn)算需要學(xué)生熟練掌握向量坐標(biāo)的定義和性質(zhì)。四、教學(xué)方法與策略1.選擇適合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點(diǎn)的教學(xué)方法，如講授、討論、案例研究、項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)等。

2.設(shè)計(jì)具體的教學(xué)活動(dòng)，如角色扮演、實(shí)驗(yàn)、游戲等，以促進(jìn)學(xué)生參與和互動(dòng)。

3.確定教學(xué)媒體使用，包括多媒體演示、實(shí)物模型、幾何畫(huà)板等，以直觀展示向量基本定理的證明過(guò)程和向量坐標(biāo)的運(yùn)算，增強(qiáng)學(xué)生的直觀理解和動(dòng)手操作能力。通過(guò)小組合作，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中共同探索，提高學(xué)生的合作學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決能力。五、教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞“平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示”，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，如“如何理解向量基本定理的幾何意義？”、“向量坐標(biāo)的運(yùn)算有哪些規(guī)則？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解向量基本定理和坐標(biāo)表示的概念。

思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)，如“向量坐標(biāo)的運(yùn)算如何應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題？”

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

幫助學(xué)生提前了解“平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示”，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過(guò)實(shí)際生活中的向量應(yīng)用案例，如力的分解，引出“平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示”課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解向量基本定理的證明過(guò)程和向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生分組證明向量基本定理，并討論向量坐標(biāo)的運(yùn)算應(yīng)用。

解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，如“如何確定向量的坐標(biāo)？”進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

聽(tīng)講并思考：認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，體驗(yàn)向量基本定理和坐標(biāo)表示的應(yīng)用。

提問(wèn)與討論：針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過(guò)詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解向量基本定理和坐標(biāo)表示的核心概念。

實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)小組討論和證明活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握技能。

合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

幫助學(xué)生深入理解向量基本定理和坐標(biāo)表示，掌握相關(guān)技能。

通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：布置與向量基本定理和坐標(biāo)表示相關(guān)的習(xí)題，如向量線性組合的證明、向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用等，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提供拓展資源：提供與向量相關(guān)的拓展資源，如在線課程、數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)，指出錯(cuò)誤原因并提供改進(jìn)建議。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考，如研究向量在物理學(xué)中的應(yīng)用。

反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議，如如何提高向量運(yùn)算的熟練度。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的向量基本定理和坐標(biāo)表示的知識(shí)點(diǎn)。

通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。六、教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-向量在物理學(xué)中的應(yīng)用：介紹向量在物理學(xué)中的重要性，如力的分解、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的速度和加速度等。

-向量在工程學(xué)中的應(yīng)用：探討向量在工程學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用，如結(jié)構(gòu)分析、電路設(shè)計(jì)等。

-向量在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用：講解向量在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的作用，如三維建模、動(dòng)畫(huà)制作等。

-向量在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：分析向量在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用，如供需分析、市場(chǎng)預(yù)測(cè)等。

-向量在生物學(xué)中的應(yīng)用：介紹向量在生物學(xué)研究中的應(yīng)用，如細(xì)胞運(yùn)動(dòng)、分子結(jié)構(gòu)分析等。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書(shū)籍：推薦閱讀《向量分析》、《應(yīng)用向量分析》等書(shū)籍，深入了解向量的理論知識(shí)和應(yīng)用。

-觀看教學(xué)視頻：推薦觀看在線教學(xué)視頻，如《向量分析入門(mén)》、《向量在物理學(xué)中的應(yīng)用》等，通過(guò)視頻學(xué)習(xí)向量知識(shí)。

-參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等，提升解題能力和應(yīng)用能力。

-實(shí)踐項(xiàng)目：組織學(xué)生參與實(shí)踐項(xiàng)目，如設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的三維模型、模擬電路設(shè)計(jì)等，將向量知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

-小組討論：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自對(duì)向量知識(shí)的理解和應(yīng)用，促進(jìn)交流與合作。

-制作思維導(dǎo)圖：引導(dǎo)學(xué)生制作向量知識(shí)的思維導(dǎo)圖，梳理知識(shí)點(diǎn)，加深對(duì)向量概念的理解。

-研究案例：選取與向量相關(guān)的實(shí)際案例，如力學(xué)問(wèn)題、電路設(shè)計(jì)等，讓學(xué)生分析案例，提出解決方案。

-探索向量與其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系：引導(dǎo)學(xué)生探索向量與其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系，如線性代數(shù)、解析幾何等，拓寬知識(shí)面。

-制作教學(xué)課件：鼓勵(lì)學(xué)生制作教學(xué)課件，分享給同學(xué)，提高教學(xué)效果。

-參加數(shù)學(xué)講座：組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)講座，了解數(shù)學(xué)前沿動(dòng)態(tài)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

-交流學(xué)習(xí)心得：鼓勵(lì)學(xué)生撰寫(xiě)學(xué)習(xí)心得，總結(jié)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為他人提供參考。七、課后作業(yè)為了鞏固學(xué)生對(duì)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的理解，以下提供了五個(gè)課后作業(yè)題目，每個(gè)題目都包含了解答和答案。

1.題目：已知向量\(\vec{a}=(3,4)\)和向量\(\vec=(2,-1)\)，求向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的和\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)。

解答：向量加法可以通過(guò)坐標(biāo)分別相加來(lái)實(shí)現(xiàn)。

\[

\vec{a}+\vec=(3,4)+(2,-1)=(3+2,4+(-1))=(5,3)

\]

答案：\(\vec{a}+\vec=(5,3)\)

2.題目：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)和向量\(\vec=(4,-5)\)，求向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的差\(\vec{a}-\vec\)的坐標(biāo)。

解答：向量減法可以通過(guò)坐標(biāo)分別相減來(lái)實(shí)現(xiàn)。

\[

\vec{a}-\vec=(2,3)-(4,-5)=(2-4,3-(-5))=(-2,8)

\]

答案：\(\vec{a}-\vec=(-2,8)\)

3.題目：已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)和標(biāo)量\(k=3\)，求向量\(\vec{a}\)的標(biāo)量乘積\(k\vec{a}\)的坐標(biāo)。

解答：標(biāo)量乘法可以通過(guò)將向量的每個(gè)坐標(biāo)乘以標(biāo)量來(lái)實(shí)現(xiàn)。

\[

k\vec{a}=3\cdot(1,2)=(3\cdot1,3\cdot2)=(3,6)

\]

答案：\(k\vec{a}=(3,6)\)

4.題目：已知向量\(\vec{a}=(5,-2)\)和向量\(\vec=(3,1)\)，驗(yàn)證向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)是否滿足平面向量基本定理。

解答：平面向量基本定理指出，任意向量可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合。我們需要驗(yàn)證是否存在標(biāo)量\(k\)和\(l\)，使得\(\vec{a}=k\vec+l\vec{c}\)。

\[

5=3k+lc\quad\text{和}\quad-2=k+lc

\]

解這個(gè)方程組，我們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有合適的\(k\)和\(l\)使得等式成立，因此\(\vec{a}\)和\(\vec\)不滿足平面向量基本定理。

答案：\(\vec{a}\)和\(\vec\)不滿足平面向量基本定理。

5.題目：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)和向量\(\vec=(4,-1)\)，求向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的數(shù)量積。

解答：向量數(shù)量積（點(diǎn)積）可以通過(guò)坐標(biāo)相乘后相加來(lái)實(shí)現(xiàn)。

\[

\vec{a}\cdot\vec=(2,3)\cdot(4,-1)=(2\cdot4)+(3\cdot(-1))=8-3=5

\]

答案：\(\vec{a}\c