特殊的平行四邊形

18.2特殊的平行四邊形第1課時矩形的性質(zhì)第十八章平行四邊形

1.如圖，四邊形ABCD是矩形，直線EF分別交AD，BC，BD于點E，

F，O，下列條件中，不能證明△BOF≌△DOE的是（

D

）A.

O為矩形ABCD兩條對角線的交點B.

EO＝FOC.

AE＝CFD.

EF⊥BD（第1題）D1234567892.

（2023·臺州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在邊AD上

取一點E，使BE＝BC，過點C作CF⊥BE，垂足為F，則BF的長

為

?.（第2題）

1234567893.

（2024·福州期末）如圖，四邊形BFGE是矩形，EF，BG相交于點

O，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線與矩形的對角線EF

所在的直線重合，連接BD.

（1）求證：BD⊥BG.

（第3題）123456789（2）

當AB＝BE＝1時，求EF的長.

（第3題）（第3題答案）123456789

4.

（2023·蘭州）如圖，在矩形ABCD中，E為BA延長線上的一點，F(xiàn)

為CE的中點，以點B為圓心、BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點

G，連接BG.

若AB＝4，CE＝10，則AG的長為（

C

）A.

2B.

2.5C.

3D.

3.5（第4題）C1234567895.

（2023·蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（9，

0），點C的坐標為（0，3），以OA，OC為鄰邊作矩形OABC.

動點

E，F(xiàn)分別從點O，B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA，BC

向終點A，C移動.當移動時間為4秒時，AC·EF的值為（

D

）A.

B.

9

C.

15D.

30（第5題）D1234567896.

（2024·晉中平遙二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，

以BC為斜邊在矩形的外部作直角三角形BEC，F(xiàn)是CD的中點，則EF

長的最大值為

?.（第6題）9

123456789

（第7題）

1234567898.

★如圖①，在銳角三角形ABC中，CD，BE分別是邊AB，AC上的

高，M，N分別是線段BC，DE的中點，連接DM，ME，MN.

（第8題）（1）求證：MN⊥DE.

123456789（2）猜想∠A與∠DME之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想.

123456789（3）如圖②，當∠BAC變?yōu)殁g角時，上述（1）（2）中的結論是否都

成立？若成立，請直接回答，無須證明；若不成立，請說明理由.

123456789

9.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC與BD交于點O，E

為BC上一點.（第9題）（1）

△BOC與△DOC的周長之差為

?.（2）連接AE，若AE平分∠BAD，則△ACE的面積為

?.2

6

123456789②

求BE的長.

（3）連接EO，當EO⊥OC時.①如果∠BCA＝α，那么∠BOE的度數(shù)為

（用含α的式子

表示）.90°－2α

（第9題）12345678918.2特殊的平行四邊形第2課時矩形的判定第十八章平行四邊形

1.

（2024·德州期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，

∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一個條件后，仍不能判定四

邊形ABCD是矩形的為（

B

）A.

OA＝OCB.

AB＝CDC.

∠BCD＝90°D.

AD∥BC（第1題）B123456789102.如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，連接

AC，BD還要添加條件：

，才能保證四

邊形EFGH是矩形（寫出一個條件即可）.（第2題）答案不唯一，如AC⊥BD

123456789103.

（2024·西安期末）如圖，在?ABCD中，AC⊥BC，MN經(jīng)過AC的

中點O，分別交AB，CD于點M，N，連接AN，CM，BN，且

CM⊥AB.

（1）求證：四邊形AMCN為矩形.解：（1）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

AB∥CD，AO＝CO.

∴

∠OAM＝

∠OCN，∠AMO＝∠CNO.

∴

△OAM≌△OCN.

∴

AM＝CN.

又∵

AB∥CD，∴四邊形

AMCN是平行四邊形.∵

CM⊥AB，∴

∠AMC

＝90°.∴四邊形AMCN為矩形.（第3題）12345678910（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求BN的長.

（第3題）12345678910

4.

（2023·石家莊模擬）依據(jù)所標數(shù)據(jù)，下列四邊形中，不一定為矩形

的是（

D

）

A.B.C.D.D123456789105.

（2024·南通通州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝

30°，P是邊AB上的一個動點，過點P分別作邊BC，AC的垂線，垂

足為D，E，連接DE.

若BC＝4，則DE長的最小值為

?.（第5題）

123456789106.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝

2∠CAD，點E在邊BC上，∠DEC＝45°.若BC＝5CE＝15，則AC的

長為

?.（第6題）17

123456789107.

（2024·鹽城期末）如圖，AB＝AC，設△ABE的面積為S1，△ACF

的面積為S2，矩形BCFE的面積為S3，則S1，S2，S3之間的等量關系

為

?.（第7題）

123456789108.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點，P是線

段EF的中點，過點P分別作PG⊥BC于點G，PH⊥CD于點H，連接

GH.

若AB＝8，AD＝6，EF＝4，則GH長的最小值是

?.（第8題）8

123456789109.

（2023·東莞期中）如圖，在?ABCD中，CE⊥AD于點E，延長DA

至點F，使得EF＝AD，連接BF，CF.

（1）求證：EF平行且等于BC.

解：（1）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

AD∥BC，AD＝BC.

∵

EF＝AD，∴

EF＝BC，

EF∥BC，即EF平行且等于BC.

（第9題）（2）求證：四邊形BCEF是矩形.解：（2）由（1），知EF＝BC，EF∥BC.

∴四邊形

BCEF是平行四邊形.∵

CE⊥AD，∴

∠CEF＝90°.

∴四邊形BCEF是矩形.12345678910（3）

若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的長.

（第9題）12345678910

10.

（2024·馬鞍山期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝

4cm，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，分別從點A，C同時出發(fā)相向

而行，速度均為1cm/s，運動時間為ts（0≤t≤5）.（1）

若G，H分別是AB，DC的中點，求證：四邊形EGFH是平行四

邊形.

（第10題）12345678910（2）在（1）的條件下，當t為何值時，四邊形EGFH為矩形.

（第10題）1234567891018.2特殊的平行四邊形第3課時菱形的性質(zhì)第十八章平行四邊形

1.

（2024·廊坊期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P，

Q分別在邊CD，AD上運動（不與點A，C，D重合），滿足DP＝

AQ，連接AP，CQ交于點E.

有下列結論：①

AP＝CQ；②

∠AEC的

度數(shù)不變；③

∠APD＋∠CQD＝180°.其中，正確的是（

D

）A.

①②B.

①③C.

②③D.

①②③（第1題）D123456789102.

（2024·南通）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱

形的高為

cm.

12345678910（1）求證：AE＝AF.

（第3題）3.

（2023·舟山）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD

于點F，連接EF.

12345678910（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度數(shù).解：（2）

∵四邊形ABCD是菱形，∴

AD∥BC.

∴

∠B＋∠BAD＝180°.∵

∠B＝60°，∴

∠BAD＝

120°.∵

∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴

∠BAE＝

30°.由（1），知△ABE≌△ADF，∴

∠BAE＝

∠DAF＝30°.∴

∠EAF＝120°－30°－30°＝

60°.∵

AE＝AF，∴

△AEF是等邊三角形.∴

∠AEF

＝60°.（第3題）12345678910

A.

5B.

4C.

3D.

2（第4題）C123456789105.

（2023·常州期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，

點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且BE＝AF，則EF長的最小值是

（

D

）A.

2B.

3C.

2

D.

3

（第5題）D123456789106.如圖，菱形ABCD沿射線AC平移，得到菱形EFGH，延長AD，GH

交于點M，延長AB，GF交于點N.

若AB＝3BN＝3，∠ABC＝

120°，則EC的長是（

D

）A.

3B.

4C.

D.

2

（第6題）D123456789107.

（2023·合肥肥東期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠D＝

120°

，M，N是對角線AC上的三等分點，P是菱形ABCD邊上的動

點，則滿足PM＋PN＝AB的點P的個數(shù)為（

B

）A.

2B.

4C.

8D.

12（第7題）B12345678910

12345678910（1）連接DG，求證：四邊形AGDE是平行四邊形.解：（1）

∵

DE∥AB，∴

∠BAD＝∠ADE，∠AGE

＝∠DEG.

∵

F是AD的中點，∴

AF＝DF.

∴

△AFG≌△DFE.

∴

AG＝DE.

又∵

AG∥DE，∴

四邊形AGDE是平行四邊形.（第9題）9.

（2024·聊城三模）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，過點D作

DE∥AB，F(xiàn)是AD的中點，連接EF，延長EF交AB于點G.

12345678910（2）若四邊形AGDE是菱形，D是BC的中點，試判斷△ABC是什么特

殊三角形，并說明理由.

（第9題）12345678910

（1）求證：OE＝CD.

（第10題）12345678910

（第10題）12345678910

（第10題）1234567891018.2特殊的平行四邊形第4課時菱形的判定第十八章平行四邊形

1.

（2024·杭州三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點

O，OA＝OC，且AB∥CD，則添加下列一個條件能判定四邊形ABCD是

菱形的為（

B

）A.

AC＝BDB.

∠ADB＝∠CDBC.

∠ABC＝∠DCBD.

AD＝BC（第1題）B123456789102.

（2024·連云港期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝

4，BC＝3，D為斜邊AB上的一點，以CD，CB為鄰邊作?CDEB，當

AD＝

時，四邊形CDEB為菱形.（第2題）

123456789103.

（2024·青島期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的

直線MN∥AB，D為邊AB上的一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN

于點E，垂足為F，連接CD，BE.

（1）求證：四邊形ADEC是平行四邊形.解：（1）

∵

DE⊥BC，∴

∠DFB＝90°.

∵

∠ACB＝90°，∴

∠ACB＝∠DFB.

∴

AC∥DE.

∵

MN∥AB，即CE∥AD，∴四邊

形ADEC是平行四邊形.（第3題）12345678910（2）

當D為AB的中點時，求證：四邊形BECD是菱形.解：（2）由（1）知，四邊形ADEC是平行四邊

形，∴

AD＝CE.

∵

D為AB的中點，∴

AD＝

BD.

∴

CE＝BD.

∵

BD∥CE，∴四邊形BECD

是平行四邊形.∵

∠ACB＝90°，D為AB的中

點，∴

CD＝BD.

∴四邊形BECD是菱形.（第3題）12345678910

4.

（2023·張家口蔚縣模擬）下列是4名同學所畫的圖形，依據(jù)所標數(shù)

據(jù)，不一定為菱形的是（

B

）

A.B.C.D.B123456789105.

（2023·菏澤曹縣期中）如圖，點E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊AB，BC

上，AE＝CF.

有下列三個條件：①

∠1＝∠2；②

∠3＝∠4；③

DE＝

DF.

添加其中一個能使四邊形ABCD是菱形的條件個數(shù)為（

C

）A.

0B.

1C.

2D.

3（第5題）C123456789106.

（2023·盤錦一模）如圖，兩個全等的矩形紙片重疊在一起，矩形的

長和寬分別是8和6，則重疊部分的四邊形的周長是

?.（第6題）25

123456789107.

（2024·南京秦淮期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD

到點E，使DE＝AD，且BE⊥DC，連接CE.

若△ADB是邊長為3的等

邊三角形，點P，M，N分別在線段BE，BC，CE上運動，則PM＋

PN的最小值為

?.（第7題）

123456789108.

（2023·咸陽秦都模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點

O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，P為線段AC上的一個動點，過點P

分別作PM⊥AD于點M，PN⊥DC于點N，連接PB.

在點P的運動過

程中，PM＋PN＋PB的最小值為

?.（第8題）7.8

123456789109.如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD，O是四

邊形ABCD內(nèi)一點，且OA＝OB＝OD.

求證：（1）

∠BOD＝∠BCD.

解：（1）如圖，延長AO，交CD于點E.

∵

OA＝

OB，∴

∠BAO＝∠ABO.

又∵

∠BOE＝∠BAO＋

∠ABO，∴

∠BOE＝2∠BAO.

同理，可得∠DOE＝

2∠DAO.

∴

∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝

2（∠BAO＋∠DAO），即∠BOD＝2∠BAD.

又∵

∠BCD＝2∠BAD，∴

∠BOD＝∠BCD.

（第9題）（第9題答案）12345678910（2）四邊形OBCD是菱形.

（第9題）（第9題答案）12345678910

10.

（2024·開封期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC

＝90°，AB＝18cm，BC＝13cm，CD＝23cm，動點P從點A出發(fā)，以

1cm/s的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿

B→C→D向終點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨

之停止運動，設運動時間為ts.（第10題）12345678910解：（1）

∵

點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向終點

B運動，∴

AP＝t×1＝t（cm）.∵

AB＝18cm，

∴

PB＝AB－AP＝（18－t）cm.（第10題）（1）用含t的式子表示PB的長.12345678910（2）

當t為何值時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的

一部分是平行四邊形？解：（2）

∵

BC＝13cm，∴

點Q在BC上的運動時間

為13÷2＝6.5（s）.∵

BC＋CD＝13＋23＝36

（cm），∴

點Q的運動時間最長為36÷2＝18

（s）.∴當6.5≤t≤18，即點Q在邊CD上時，直線

PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是

平行四邊形..（第10題）12345678910

（第10題）（第10題答案）12345678910（3）只改變點Q的運動速度，使運動過程中某一時刻的四邊形PBCQ

為菱形，則點Q的運動速度應為多少？

解：（3）設點Q的運動速度為xcm/s，由（2）可

知，當點Q在邊CD上時，四邊形PBCQ可為菱形.

∵

PB∥CQ，∴只需滿足PB＝BC＝CQ即可.由

（1），知PB＝（18－t）cm，由（2），可知CQ＝

（xt－13）cm，∵

BC＝13cm，∴

18－t＝13，xt－

13＝13，解得t＝5，x＝5.2.∴當點Q的運動速度為

5.2cm/s時，四邊形PBCQ在某一時刻為菱形.（第10題）1234567891018.2特殊的平行四邊形第5課時正方形第十八章平行四邊形01基礎進階02素能攀升03思維拓展目錄

1.

（2024·呼倫貝爾）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD

相交于點O，E是邊BC上的一點，F(xiàn)是BD上的一點，連接DE，EF.

若

△DEF與△DEC關于直線DE對稱，則△BEF的周長是（

A

）A.

2

B.

2＋

C.

4－2

D.

（第1題）A123456789102.

（2023·廣西）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是

BC，CD上的動點，M，N分別是EF，AF的中點，則MN長的最大值

為

?.（第2題）

12345678910

（1）試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由.

（第3題）12345678910（2）當?ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形BPCO是正方形？

（第3題）12345678910

4.

（2023·常德）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點

O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的點，且EF∥AD，連接AF，DE.

若

∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為（

C

）A.

80°B.

90°C.

105°D.

115°（第4題）C12345678910

A.

4B.

5C.

8D.

10（第5題）B123456789106.

（2024·北京）如圖，在正方形ABCD中，點E在AB上，AF⊥DE于

點F，CG⊥DE于點G.

若AD＝5，