初中奧數(shù)簡(jiǎn)化 2

第一講：因式分解(一)

1.運(yùn)用公式法

在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如:

(l)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3-b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

⑷a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：

(5)a2-b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3-b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an"+an'：!b+an-V+--?-abn-2+bn,)n為正整數(shù)：

(8)an-bn=(a+b)(an-,-an-2b+a',-3b2--+abn-2-bn-),其中n為偶數(shù)；

(9)ar，-b'-(a+b)(a11'-a^b+a"Jb2...ab'^+b"1'1),其中n為奇數(shù).

運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.

15H,32

例3分解因式：x+x+x+-+x+x+l.

2.拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅

符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)

式中的英一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).拆項(xiàng)、

添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.

例4分解因式：x'-9x+8.

3.換元法

換元法指的是將一個(gè)較狂雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從

而使運(yùn)算過程簡(jiǎn)明清晰.

例6分解因式：(x2+x+l)(xz+x+2)-12.

第二講：因式分解(二)

1.雙十字相乘法

分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十

字相乘法分解因式.

例如，分解因式2x27xy-22yL5x+35y-3.我們將上式按x降帚排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為

2x-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.

對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為

2y-3

-UyXi

即：-22y2+35y-3=(2y-3)(Tly+1).

再利月十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解

x(2廠3)

2xX(-Hy41)

所以，原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+l)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述國式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：

它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：

(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22yJ；

(x-3)(2x+l)=2x°-5x-3；

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

2

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙一字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx-i-ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,

第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

2.求根法

我們把形如an-gxf…為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式,并用f(x),g(x),…等記

號(hào)表示，如

f(x)=X2-3X+2,g(x)=x5+x2+6,…，

當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)

f(l)=l2-3X1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.

定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a.

根據(jù)國式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x),要求出

它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判

定它是否有有理根.

若既約分?jǐn)?shù)a是整系數(shù)多項(xiàng)式

p

a

定理2f(x)-aox+ap￡Z+a/A-.+xx+a*

的根，則必有p是加的約數(shù)，q是即的約數(shù).特別地，當(dāng)加=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為心的約數(shù).

我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

例2分解因式:X3-4X2+6X-4.

3

3.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.

在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定,

這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)

應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母

系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

第三講實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用

實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ).在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗婕暗綐O限的概

念.這一概念對(duì)中學(xué)生而言，有一定難度.但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實(shí)數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)

學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了.例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的.因此，適當(dāng)學(xué)

習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而

且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的.本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用.

n用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個(gè)有理數(shù)

的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除（零不能做除數(shù)）是封閉的.

性質(zhì)1任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)（整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù)）或循環(huán)小數(shù)的形式,反之亦然.

例1證明循環(huán)小數(shù)2.61545454-=2.61次是有理數(shù).

性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則

（l）a+b,a-b是無理數(shù);

（2）當(dāng)a/0時(shí)，a*b,；是無理數(shù).

b

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即

4

有限小數(shù)［有理數(shù)

實(shí)數(shù)（小物則榜

L無限小數(shù)（不循環(huán)小數(shù)——無理數(shù)

在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實(shí)數(shù)，也沒有最大的實(shí)數(shù).任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大小.全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有

點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)（即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉

性）.任一實(shí)數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù).

例2

1

求證是有理數(shù).

11-122-25

個(gè)門個(gè)

第四講分式的化簡(jiǎn)與求值

分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時(shí)才有意

義；乜像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分

式運(yùn)算中通分和約分的理論根據(jù).在分式運(yùn)算中，主要是通過約分和通分來化簡(jiǎn)分式，從而對(duì)分式進(jìn)行求值.除

此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速準(zhǔn)確的解答.本講主要介紹分式的化簡(jiǎn)與求值.

例3若abc=l,求獨(dú)+a+lbc+b+1ca+c+1

第五餅恒等式的證明

5

1.由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)

恒等式證明最基木的思路是“由繁到簡(jiǎn)”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)”(即將等式兩邊同

時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式).

例1已知x+y+z=xyz,證明：x(l-y2)(1-z2)+y(1-x2)(l-z2)+z(l-x2)(l-y2)=4xyz.

2.比較法

比較法利用的是：若a-b=O,則a=b(比差法)；或若;=1,則

a=b(比商法).這也是證明恒等式的重要思路之一.

例3求證：

a2-beb2-caab-c2

----------------+-----------------=-----------------

(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)

3.分析法與綜合法

根據(jù)推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法.分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求

在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即

所謂“執(zhí)吳索因”.而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論.

例6己知a'+b'+c'+dJ4abed,且a,b,c?d都是正數(shù),求證：a=b=c=d.

4.其他證明方法與技巧

例8已知a+b+c=O,求證2(a'+b'+c")=(&2+b2+c2)2.

6

第六講代數(shù)式的求值

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，經(jīng)常被采用.

例1己知x?+x=；,求6x4+15x3+10x2的值.

2.利用乘法公式求值

例3已知x+y=m,x3+y3=n,m#0,求的值.

3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值

如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)），以便溝通數(shù)量關(guān)

系，這叫作設(shè)參數(shù)法.有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個(gè)字母來替換，這叫換元法.

例5已知仁———求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

4.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值

若幾人非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，這個(gè)性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用.

例8若x2?4x+|3x?y|=?4,求y'的值.

7

5.利用分式、根式的性質(zhì)求值

分式與根式的化簡(jiǎn)求值問題，內(nèi)容相當(dāng)豐富，因此設(shè)有專門講座介紹，這里只分別舉一個(gè)例子略做說明.

例10已知xyzt=l,求下面代數(shù)式的值：

1+x+xy+xyz1+y+yz+yzt1+z+zt+ztx1+t+tx+txy

第七講根式及其運(yùn)算

二次根式的概念：式子加(a>0)叫作二次根式.

二次根式的性質(zhì)：

(1)(6)2=a(a>0)；

a,當(dāng)a〉0時(shí)，

(2)7?-|a|-0,當(dāng)a=0時(shí)，

-a,當(dāng)a<0時(shí).

二次根式的運(yùn)算法則：

(1)a而+b赤'=(a+b)右？(m>0)；

(2)-/a--7b-Tab(a^O,b>0);

(3),/(a>0,b>0)；

(4)而、朽(a>0).

若a〉b〉O,則

設(shè)a,b,c,d,m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d時(shí)，a+b^T=c+d&L

形如x=a+赤y=a-6的兩個(gè)根式互稱為共箱根式

當(dāng)兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.

例1叱簡(jiǎn)：

(1)Vx2-4x+4+|1-x|,其中l(wèi)<x<2;

(2)Ja-b?Ja-b-yj(b~a)2-|b-a|.

8

例4比簡(jiǎn):

⑴14-辰⑵63-6而+443-2、也.

第八講非負(fù)數(shù)

所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù).非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處.常見的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的偶次幕、實(shí)數(shù)

的絕對(duì)值和算術(shù)根.

1.實(shí)數(shù)的偶次累是非負(fù)數(shù)

若a是任意實(shí)數(shù)，則a2n20(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=l時(shí)，有a?2。.

2.實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)

若a是實(shí)數(shù)，則

a,當(dāng)a〉0時(shí)?

0,當(dāng)a=0時(shí);

-a,當(dāng)a<0時(shí)

性質(zhì)絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是零.'

3.一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)

性質(zhì)襲實(shí)數(shù)，則好=Ial>0.

4.非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)

(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù).(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即若秘，加，…，

心為非負(fù)數(shù)，則

ai+a2H-----l-an^O.

(3)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零,那么每一個(gè)加數(shù)也必為零，即若小,&,…，金為非負(fù)數(shù),且ai+a?+…+a0=0,則

必有ai=a2=***=an=0.

在利月非負(fù)數(shù)解決問題的過程中，這條性質(zhì)使用的最多.

(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù).

(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒有最大的非負(fù)數(shù).

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式△:b??4ac為非負(fù)數(shù).

應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問題的關(guān)鍵在于能否識(shí)別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧

妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決.

例1已知Ia-3l+./b+2=0,求竺微的值.

a-b

9

數(shù)學(xué)思維的教育

第九講一元二次方程

一元二次方程是中學(xué)代數(shù)的重要內(nèi)容之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他方程、不等式、函數(shù)等的基礎(chǔ)，其內(nèi)容非常豐富,

本講主要介紹一元二次方程的基本解法.

方程ax2+bx+c=0(aW0)稱為一元二次方程.

一元二次方程的基本解法有開平方法、配方法、公式法和國式分解法.

對(duì)于方程ax2+bx+c=0(aW0),△:b/ac稱為該方程的根的判別式.當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即

-b±7△

肛2=~；

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即

b

—五;

當(dāng)avo時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

例5解方程：X2-3IxI-4=0.

第十講三角形的全等及其應(yīng)用

例4如圖2-6所示.ZA=90°,AB=AC,M是AC邊的中點(diǎn),AD_LBM交BC于D,交BM于E.求證:

圖2-6

ZAMB=ZDMC.

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數(shù)學(xué)思維的教育

第十一講勾股定理與應(yīng)用

勾股定理宜角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊。的平方，即

勾股定理逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c有下面關(guān)系：

a2+b2=c2

那么這個(gè)三角形是直角三角形.

早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法.

關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的.下面的證法1是歐幾里得證法.

定理在三角形中，銳角(或鈍角)所對(duì)的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一

邊在這邊(或其延長(zhǎng)線)上的射影的乘積的2倍.

例1如圖2-21所示.已知：在正方形ABCD中，NBAC的平分線交BC于E,作EFJLAC于F,作FGJLAB于G.求

證：AB2=2FG2.

第十二講平行四邊形

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

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數(shù)學(xué)思維的教育

例6如圖2-37所示.正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,F,使DE=AD,DF=BD,連接BF分別交CD,CE

于H,G.求證：△GHD是等腰三角形.

第十三講梯形

例6如圖2-48所示.等腰梯形ABCD中，AB〃CD,對(duì)角線AC,BD所成的角NA0B=60°,P,Q,R分別是OA,BC,

01）的中點(diǎn),求證：APOR是等邊三角形.

第十四講中位線及其應(yīng)用

中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的

計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用.

例5如圖2-59所示.梯形ABCD中,例〃CD,E為BC的中點(diǎn),AD=DC+AB.求證：DEJ_AE.

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數(shù)學(xué)思維的教育

第十五講相似三角形（一）

例1如圖2-64所示，已知AB〃EF〃CD,若AB=6厘米，CD=9厘米.求EF.

111

NBAC交BC于D.求證:AD=AB+AC

例3如圖2?66所示.在aABC中，ZBAC=120°,AD平分

例5（梅內(nèi)勞斯定理）一條直線與三角形ABC的三邊BC,CA,AB（或其延長(zhǎng)線）分別交于D,E,F（如圖2-68所示）.求

BDCEAF,

證:----X-----X—=1.

DCEAFB

第十六講相似三角形（二）

例3如圖2-78所示.在aABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：4.

求證'AB+AC'BC

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數(shù)學(xué)思維的教育

第十七講*集合與簡(jiǎn)易邏輯

1.集合的描述方法

(1)列舉法

當(dāng)一人集合所含元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，一個(gè)最笥單的描述方法就是把它所含的每個(gè)元素都列舉出來，這叫列舉法.用

列舉法表示集合，通常是將這個(gè)集合的每個(gè)元素一一填寫在｛｝中，每個(gè)元素之間用逗點(diǎn)隔開.填寫集合的元素時(shí),

與元素的排列次序無關(guān).例如：

(i)由a,b,c,d,e五個(gè)小寫字母組成的集合A,記作

A={a,b,c,d,e),

(2)特征性質(zhì)描述法

當(dāng)一人集合所含元素較多時(shí)，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征性質(zhì)描述法.

所謂特征性質(zhì)是指集合中元素的特征性質(zhì)，即：(i)這個(gè)集合中每個(gè)元素都具有這些性質(zhì)；(ii)具有這些性質(zhì)的

事物都是這個(gè)集合的元素.

例如，集合=｛1,-1)用特征性質(zhì)描述法表示就是

A={x|x2=l},

2.集合之間的關(guān)系和運(yùn)算

(D包含與子集

設(shè)有集合A^B,若任何屬于A的元素也必定屬于B,則稱A為B

的一個(gè)子集或B包含A,我們用符號(hào)AuB或BnA表達(dá)上述關(guān)系(也

可用AqB或BqA表示).如果集合A,B分別用兩個(gè)圓表示，那

么AuB可表示成圖2-87,這種圖稱為文氏圖.例如，

圖2-87

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數(shù)學(xué)思維的教育

例1發(fā)人={1,2,3,4},試寫出A的所有子集.

(3)并集運(yùn)算

對(duì)于給定的兩個(gè)集合A,B,把它們所含的元素合并起來所構(gòu)成的集合，叫作集合A,B的并集，我們用符號(hào)A

UB表示A,B的并集(圖2-92).例如

圖2-92

(i)設(shè)M,N分別表示你班上男生、女生的集合，那么MUN就是你班上同學(xué)的集合.

(ii)設(shè)

A=(1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6),

則AUB={1,2,3,4,5,6,7,9).

注意在求上述集合A,B的并集時(shí)，雖然在A,B中都有3和5,但在AUB中，3,5只取一次.

(5)設(shè)￡={x|x是實(shí)數(shù)，且x24},

F={xx是實(shí)數(shù)，且xW-4},G={x|X2^16).

則EUF=G.

一般地說，如果a,B分別是集合A,B的特征性質(zhì)，即

A={x|x具有性質(zhì)a},B={x|x具有性質(zhì)8},則AUB就是那些具有性質(zhì)a或性質(zhì)B的元素組成的集合，也

就是

AUB={x|x具有性質(zhì)a或B},

例3沒人={1,a,a2),B={1,a,b),假定A,B中的元素都是整數(shù)，并且ACB={1,3},AUB={1,a,2a,

3a},求a,b的值.

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數(shù)學(xué)思維的教育

簡(jiǎn)易邏輯

邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學(xué)科.數(shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系非常密切，在此，對(duì)邏輯知識(shí)做

?些初步介紹.

1.推出關(guān)系

如果設(shè)A={x|x是4的倍數(shù)},B={x|x是2的倍數(shù)},則A中元素具有性質(zhì)Q一—4的倍數(shù)；B中元素具有性質(zhì)

B——2的倍數(shù).我們知道：如果某元素x是4的倍數(shù)，那么x一定是2的倍數(shù)，即具有性質(zhì)a的元素，一定具有性質(zhì)B.

一般地說，如果具有性質(zhì)a的元素也具有性質(zhì)B,我們便說由a推

2.命題和證明

例2某校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，A,B,C,D,E,F,G,H八位同學(xué)獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰是第一名.A說：

”或者F,或者H是第一名.”B說：“我是第一名.”C說：“G是第一名.”D說：“B不是第一名.”E說：“A

說的不對(duì).”F說：“我不是第一名.”G說：“C不是第一名.”H說：“我同意A的意見.”老師說八個(gè)人中有

三人猜對(duì)7,那么試問第一名是誰？

第十八講歸納與發(fā)現(xiàn)

歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重

要手段.這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先從筒單的特殊情況的觀察入手，取得

一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命

題的思考方法.下面舉幾個(gè)例題，以見一般.

例1如圖2?99,有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)（相鄰兩邊公用一

個(gè)點(diǎn)）；第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，…這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？

圖2-99

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數(shù)學(xué)思維的教育

例2在平面上有過同一點(diǎn)P,并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無

其他公共點(diǎn)，那么試問：

圖2TOO

(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域?

(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)?

第二十二講面積問題與面積方法

幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們測(cè)量土地面積的需要.面積不僅是幾何學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容，而且也是用來研究幾

何學(xué)的一個(gè)有力工具.

下面，我們把常用的一些面積公式和定理列舉如下.

(1)三角形的面積

(D三角形的面積公式

S=g嘰=Jp(p_a)(p_b)(F-c)-pr,

其中a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，\是邊a上的高，P=f(a+

b+c)是半周長(zhǎng)，r是aABC的內(nèi)切圓半徑.

(ii)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.

(iii)兩個(gè)等底三角形的面積之比等于高之比；兩個(gè)等高三角形的面積之比等于底邊之比；兩個(gè)三角形面積之比

等于底、高乘積之比.

(iv)相似三角形的面積之比等于相似比的平方.

(2)梯形的面積

梯形的面積等于上、下底之和與高的乘積的一半.

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數(shù)學(xué)思維的教育

（3）扇形面積

e

260^

其中r為半徑，1為弧長(zhǎng)，0為弧1所對(duì)的圓心角的度數(shù)，a是弧度數(shù).

1.有關(guān)圖形面積的計(jì)算和證明

例2已知凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且△ABC,AACD,AABD的面積分別為Si=5,S2=10,S3=6.求

△ABO的面積（圖2-128）.

例5在一個(gè)面積為1的正方形中構(gòu)造一個(gè)如圖2-131所示的正方形：將單位正方形的每一條邊n等分，然后將

每個(gè)頂點(diǎn)和它相對(duì)的頂點(diǎn)最接近的分點(diǎn)連接起來.如果小正方形（圖中陰影部分）的面積恰為擊’我的值.

2.利用面積解題

例8如圖2?134,已知D,E,F分別是銳角三角形ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且AD,BE,CF相交于

點(diǎn)P,AP=BP=CP=6,設(shè)PD=x,PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28,求xyz的值.

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數(shù)學(xué)思維的教育

第二十三講幾何不等式

定理1在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊.

定理2同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，反之亦然.

定理3在兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形中，第三邊大的，所對(duì)的角也大，反之亦然.

定理4三角形內(nèi)任一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)距離之和，小于另一頂點(diǎn)到這兩頂點(diǎn)距離之和.

定理5自直線1外一點(diǎn)P引直線1的斜線，射影較長(zhǎng)的斜線也較長(zhǎng)，反之，斜線長(zhǎng)的射影也較長(zhǎng).

定理6在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，則有

PA這max{AB,AC},

例2已知P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)(圖2-138).

(1)求證：

g(a+b+c)<PA+PB+PC

Va+b+c；

(2)若aABC為正三角形，且邊長(zhǎng)為1,求證：

PA+PB+PCV2.

?2-138

第二十四講話整數(shù)的整除性

1.整除的基本概念與性質(zhì)

所謂整除，就是一個(gè)整數(shù)被另一個(gè)整數(shù)除盡，其數(shù)學(xué)定義如下.

定義設(shè)a,b是整數(shù)，bKO.如果有一個(gè)整數(shù)q,使得a=bq,那么稱a能被b整除，或稱b整除a,并記作bI

a.如果不存在這樣的整數(shù)q,使得a=bq,則稱a不能被b整除，或稱b不整除a,記作bXa.

關(guān)于整數(shù)的整除，有如下一些基本性質(zhì)：

性質(zhì)1若bIa,cIb,則cIa.

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數(shù)學(xué)思維的教育

性質(zhì)2若cIa,cIb,則cI(a±b).

性質(zhì)3若cIa,cXb,則cX(a土b