湖南省2024年中考數(shù)學(xué)試卷含真題解析

湖南省2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在日常生活中，若收入300元記作元，則支出180元應(yīng)記作（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【解析】【解答】解：若收入為“”，則支出為“”，所以支出180元記作元．故答案為：C.【分析】由正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，根據(jù)題意，正數(shù)表示收入，那么負(fù)數(shù)表示支出，即可作答.2．據(jù)《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內(nèi)有效發(fā)明專利量達(dá)到401.5萬件，高價值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內(nèi)有效發(fā)明專利數(shù)量突破400萬件的國家．將4015000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為．故答案為：B.

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．3．如圖，該紙杯的主視圖是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：該紙杯的主視圖是選項A，故答案為：A.【分析】主視圖是從幾何體的正面觀察，即可得出答案．4．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵，∴該選項計算錯誤，不符合題意；B、∵，∴該選項計算正確，符合題意；C、∵，∴該選項計算不正確，不符合題意；D、∵，∴該選項計算不正確，不符合題意；故答案為：B.

【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，分別對各個選項計算驗證，即可解答.5．計算的結(jié)果是（）A． B． C．14 D．【答案】D【解析】【解答】解：，故答案為：D.

【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案即可．6．下列命題中，正確的是（）A．兩點之間，線段最短 B．菱形的對角線相等C．正五邊形的外角和為 D．直角三角形是軸對稱圖形【答案】A【解析】【解答】解：A、兩點之間，線段最短，該選項是真命題，符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，但不一定相等，該選項是假命題，不符合題意；C、正五邊形的外角和為，該選項是假命題，不符合題意；D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，該選項是假命題，不符合題意；故答案為：A.

【分析】根據(jù)多邊形外角和，菱形的性質(zhì)，軸對稱圖形的特點及兩點之間線段最短，逐一判斷即可作答.7．如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：．故答案為：C.

【分析】根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．8．某班的5名同學(xué)1分鐘跳繩的成績（單位：次）分別為：179，130，192，158，141．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．130 B．158 C．160 D．192【答案】B【解析】【解答】解：從小到大排序為130，141，158，179，192，最中間的數(shù)是158，∴中位數(shù)是158，故答案為：B.

【分析】先把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即可解答.9．如圖，在中，點，分別為邊，的中點．下列結(jié)論中，錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：∵點分別為邊的中點，∴，，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴，∴，故錯誤；故答案為：D.

【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可判斷正確，相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，即可得出結(jié)果.10．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，若，均為整數(shù)，則稱點為“整點”，特別地，當(dāng)（其中的值為整數(shù)時，稱“整點”為“超整點”．已知點在第二象限，下列說法正確的是（）A．B．若點為“整點”，則點的個數(shù)為3個C．若點為“超整點”，則點的個數(shù)為1個D．若點為“超整點”，則點到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10【答案】C【解析】【解答】解：∵點在第二象限，∴，∴，故選項A錯誤；∵點為“整點”，，∴整數(shù)a為，，0，1，∴“整點”點P的個數(shù)為4個，故選項B錯誤；∴“整點”P為，，，，∵，，，∴“超整點”P為，故選項C正確；∵點為“超整點”，∴點P坐標(biāo)為，∴點P到兩坐標(biāo)軸的距離之和，故選項D錯誤，故答案為：C.

【分析】根據(jù)象限點的特征，先判斷出a的取值范圍，再根據(jù)題中新定義，找到符合條件的“整點”“超整點”，再由點到坐標(biāo)軸的距離即可對四個選項逐一判斷.二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11．計算：．【答案】2024【解析】【解答】解：故答案為：2024.

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，化簡多重符號即可.12．有四枚材質(zhì)、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機(jī)翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是．【答案】【解析】【解答】解：∵共有4枚棋子“”“”“”“”，∴從中隨機(jī)翻開一張，恰好翻到棋子“”的概率是．故答案為：.【分析】根據(jù)概率公式“概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比”，即可作答．13．分式方程的解為．【答案】【解析】【解答】解：最簡公分母為：x+1

方程的兩邊同乘（x+1），得2=x+1，解得x=1．檢驗：當(dāng)x=1時，x+1=2≠0．所以原方程的解為x=1．故答案為：x=1．【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟，先找到分式方程的最簡公分母，再去分母將分式方程化為整式方程求解，注意解后必須要檢驗.14．若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為，則它的頂角的度數(shù)為．【答案】100【解析】【解答】解：等腰三角形兩個底角相等，都為40°所以其頂角.

故答案為：100.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角）及三角形內(nèi)角和定理即可解答.15．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．【答案】2【解析】【解答】解：∵

∴，解得：故答案為：2.

【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則判別式，列出關(guān)于

k的方程，即可解答.16．在一定條件下，樂器中弦振動的頻率與弦長成反比例關(guān)系，即為常數(shù)，．若某樂器的弦長為0.9米，振動頻率為200赫茲，則的值為．【答案】180【解析】【解答】解：將，代入，得，解得，故答案為：180．

【分析】利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，即可求解.17．如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點，作射線，交于點，過點作于點．若，，則，【答案】6【解析】【解答】解：由題意，是的平分線

∵是邊上的高，，

∴，

∴

∴，故答案為：6．【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟，判斷出BP是的平分線，再由角平分線的性質(zhì)及題中線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可計算出AM的長.18．如圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂chōng搗谷物的工具——“碓duì”的結(jié)構(gòu)簡圖，圖2為其平面示意圖．已知于點，與水平線相交于點，．若分米，分米，，則點到水平線的距離為分米（結(jié)果用含根號的式子表示）．【答案】【解析】【解答】解：∵，

∴

如圖，延長交l于點H，連接

在中，，，∴

在中．故答案為：．

【分析】根據(jù)已知條件，延長交l于點H，連接，構(gòu)造出和，再利用特殊角三角函數(shù)值和解直角三角形的相關(guān)知識求解即可.三、解答題：本題共8小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．計算：．【答案】解：原式．【解析】【分析】題目主要考查實數(shù)的混合運算，特殊角的三角函數(shù)、零次冪的運算等，先化簡絕對值、零次冪及特殊角的三角函數(shù)、算術(shù)平方根，然后計算加減法即可，熟練掌握各個運算法則是解題關(guān)鍵．20．先化簡，再求值：，其中．【答案】解：原式，當(dāng)時，原式．【解析】【分析】根據(jù)分式混合運算的法則，將原式先化簡再代入求值即可.21．某校為了解學(xué)生五月份參與家務(wù)勞動的情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．家務(wù)勞動的項目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學(xué)校德育處根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次被抽取的學(xué)生人數(shù)為人：（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“4項及以上”部分所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是；（4）若該校有學(xué)生1200人，請估計該校五月份參與家務(wù)勞動的項目數(shù)量達(dá)到3項及以上的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）100（2）“3項”的人數(shù)為：（人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：（3）36（4）（人，答：估計該校五月份參與家務(wù)勞動的項目數(shù)量達(dá)到3項及以上的學(xué)生人數(shù)大約為300人．【解析】【解答】（1）解：根據(jù)題意得：人，故答案為：100；（3），故答案為：36；

【分析】（1）用參與1項家務(wù)勞動的人數(shù)除以其所占的比例即可得出結(jié)果；（2）先根據(jù)（1）求出的總?cè)藬?shù)即可算出3項家務(wù)勞動的學(xué)生人數(shù)，然后補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（3）用360度乘以4項及以上所占的比例即可；（4）總?cè)藬?shù)1200乘以參與家務(wù)勞動的項目數(shù)量達(dá)到3項及以上的比例，用樣本數(shù)據(jù)估計總體．22．如圖，在四邊形中，，點在邊上，▲．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求線段的長．【答案】（1）選擇①或②，證明如下：選擇①，，，，四邊形為平行四邊形；選擇②，，，，，四邊形為平行四邊形；故答案為：①或②；（2）由（1）可知，四邊形為平行四邊形，，，，，即線段的長為6．【解析】【分析】（1）若選擇①，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；若選擇②，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由勾股定理即可求解．23．某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富．已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？【答案】（1）解：設(shè)臍橙樹苗的單價為元，黃金貢柚樹苗的單價為元，由題意得：，解得：，答：臍橙樹苗的單價為50元，黃金貢柚樹苗的單價為30元；（2）解：設(shè)可以購買臍橙樹苗棵，則購買黃金貢柚樹苗棵，由題意得：，解得：，答：最多可以購買臍橙樹苗400棵．【解析】【分析】（1）設(shè)臍橙樹苗的單價為元，黃金貢柚樹苗的單價為元，根據(jù)“購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元”列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)可以購買臍橙樹苗棵，則購買黃金貢柚樹苗棵，根據(jù)“總費用不超過38000元”列一元一次不等式求解即可．24．某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時間進(jìn)行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測繪過程與數(shù)據(jù)信息①在水池外取一點，使得點，，在同一條直線上；②過點作，并沿方向前進(jìn)到點，用皮尺測得的長為4米；③在點處用測角儀測得，，；④用計算器計算得：，，，，，．請根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題（結(jié)果保留整數(shù)）（1）求線段和的長度；（2）求底座的底面的面積．【答案】（1），的長為4米，，，（米；，米，（米；（2）過點作于點，如圖所示：，，米，米，米，底座的底面的面積為：（平方米）．【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，，即可解出CE的長度，再由判斷出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的長.

（2）過點A作于點M，先得出四邊形AMEB是矩形，由性質(zhì)得，然后在Rt△AMF中，，即可解出MF的長，從而得到AB，再根據(jù)矩形的面積即可解答.25．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，，，是此二次函數(shù)的圖象上的兩個動點．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，此二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點，點在直線的上方，過點作軸于點，交于點，連接，，．若，求證：的值為定值；（3）如圖2，點在第二象限，，若點在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點作軸于點，求線段長度的最大值．【答案】（1）解：將點的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，則，即拋物線的表達(dá)式為：；（2）證明：為定值，理由：令，則，則點，由點、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點、、的表達(dá)式分別為：，、，、，，則，同理可得：，則為定值；（3）解：點、的表達(dá)式分別為：，、，，由點、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，則，故的最大值為：．【解析】【分析】（1）將A點代入二次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求解即可；（2）先根據(jù)A、B兩點坐標(biāo)，求出直線的解析式，表示出，，，由，：，分別表示出的面積，代入即可解答；（3）根據(jù)題意，若，則，根據(jù)P、Q坐標(biāo)，求出直線的解析式，把代入直線解析式后，利用配方法即可求出線段長度的最大值．26．【問題背景】已知點是半徑為的上的定點，連接，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作的切線，在直線上取點，使得為銳角．（1）【初步感知】如圖1，當(dāng)時，▲；（2）【問題探究】以線段為對角線作矩形，使得邊過點，連接，對角線，相交于點．①如圖2，當(dāng)時，求證：無論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立：②如圖3，當(dāng)，時，請補(bǔ)全圖形，并求及的值．【答案】（1）30（2）①證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，在和中，，，，，．即無論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立．②解：是切線，，，．設(shè)，則，，，，，，即點