優(yōu)化方法第1章第1-2節(jié)學(xué)習(xí)資料

2025/3/22最優(yōu)化方法1最優(yōu)化方法授課教師：王艷秋生物數(shù)學(xué)教研室wangyq16@163.com2025/3/22最優(yōu)化方法2舉例例1：對(duì)邊長(zhǎng)為a的正方形鐵板，在四個(gè)角處剪去相等的正方形以制成方形無(wú)蓋水槽，問(wèn)如何剪法使水槽的容積最大？解設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為x，由題意易知，與此相應(yīng)的水槽容積為要使其最大，則令得兩個(gè)駐點(diǎn)：因此，每個(gè)角剪去邊長(zhǎng)為的正方形可使所制成的水槽容積最大．

2025/3/22最優(yōu)化方法3舉例例2：某單位擬建一排四間的車(chē)庫(kù)，平面位置如圖所示．由于資金及材料的限制，圍墻和隔墻的總長(zhǎng)度不能超過(guò)40m，為使車(chē)庫(kù)面積最大，應(yīng)如何選擇長(zhǎng)、寬尺寸？x2x1圖1.12025/3/22最優(yōu)化方法4舉例解：設(shè)四間車(chē)庫(kù)長(zhǎng)為，寬為.由題意可知面積為且變量，應(yīng)滿足即求 2025/3/22最優(yōu)化方法5舉例例3.（混合飼料配合）以最低成本確定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過(guò)1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng)成分為：2025/3/22最優(yōu)化方法6配料每磅配料中的營(yíng)養(yǎng)含量(%)鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.080.01640.04630.1250舉例2025/3/22最優(yōu)化方法7舉例解:設(shè)x1,x2,x3

是生產(chǎn)100磅混合飼料所需的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。第1章基本概念1.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介1.2凸集和凸函數(shù)1.3最優(yōu)性條件1.4

最優(yōu)化方法概述2025/3/22最優(yōu)化方法82025/3/22最優(yōu)化方法9第1章基本概念

1.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介（一）最優(yōu)化（optimization

）的定義所謂最優(yōu)化就是在眾多可行的方案或方法中找到最好的方案和方法。最優(yōu)方案就是達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案。最優(yōu)化方法就是搜尋最優(yōu)方案的方法。

2025/3/22最優(yōu)化方法10（二）最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型實(shí)際問(wèn)題—建立模型—分析求解模型—檢驗(yàn)并評(píng)價(jià)模型求得最優(yōu)解1.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介重點(diǎn)2025/3/22最優(yōu)化方法111.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介建立最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的三要素：

（1）決策變量。決策變量是由數(shù)學(xué)模型的解確定的未知量。（2）約束或限制條件。由于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的客觀物質(zhì)條件限制，模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內(nèi)的約束條件，而這通常是用約束的數(shù)學(xué)函數(shù)形式來(lái)表示的。（3）目標(biāo)函數(shù)。優(yōu)化問(wèn)題決策變量的一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，它用來(lái)衡量?jī)?yōu)化問(wèn)題的效率，即優(yōu)化問(wèn)題追求的目標(biāo)。2025/3/22最優(yōu)化方法12模型的轉(zhuǎn)換1、2、1.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介2025/3/22最優(yōu)化方法131.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介最優(yōu)化問(wèn)題的劃分（根據(jù)不同的性質(zhì)對(duì)最優(yōu)化有不同的劃分）：2025/3/22最優(yōu)化方法141.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介2025/3/22最優(yōu)化方法151.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介（三）基本概念1.約束最優(yōu)化問(wèn)題（1.1.1）是最優(yōu)化問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式。只要在問(wèn)題中存在任何約束條件，就稱(chēng)為約束最優(yōu)化問(wèn)題。2025/3/22最優(yōu)化方法161.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介（1）等式約束最優(yōu)化（2）不等式約束最優(yōu)化（3）混合約束最優(yōu)化：既有等式約束又有不等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題。2025/3/22最優(yōu)化方法171.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介2.無(wú)約束最優(yōu)化如果問(wèn)題中無(wú)任何約束條件，則稱(chēng)為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。其數(shù)學(xué)模型為3.離散最優(yōu)化

最優(yōu)化模型中決策變量的取值為離散的最優(yōu)化問(wèn)題。4.連續(xù)最優(yōu)化

最優(yōu)化模型中決策變量的取值為連續(xù)的最優(yōu)化問(wèn)題。2025/3/22最優(yōu)化方法181.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介5.光滑最優(yōu)化連續(xù)最優(yōu)化模型中函數(shù)為光滑的最優(yōu)化問(wèn)題。即模型（1.1.1）中所有函數(shù)都是連續(xù)可微的。只要有一個(gè)函數(shù)非光滑的，則稱(chēng)為非光滑最優(yōu)化。6.線性規(guī)劃2025/3/22最優(yōu)化方法191.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介線性規(guī)劃問(wèn)題的一般形式為：2025/3/22最優(yōu)化方法201.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介線性規(guī)劃問(wèn)題的矩陣表示：2025/3/22最優(yōu)化方法211.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介7.二次規(guī)劃問(wèn)題（它為非線性規(guī)劃問(wèn)題）2025/3/22最優(yōu)化方法221.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介8.非線性最優(yōu)化

模型（1.1.1）中的函數(shù)中有一個(gè)關(guān)于x是非線性的，就稱(chēng)為非線性最優(yōu)化問(wèn)題。9.可行點(diǎn)（feasiblepoint）10.可行域（feasibleregion）所有可行點(diǎn)的全體稱(chēng)為可行域。2025/3/22最優(yōu)化方法231.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介11、有效約束（activeconstraint）和無(wú)效約束（inactiveconstraint）2025/3/22最優(yōu)化方法24例1.11.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介2025/3/22最優(yōu)化方法251.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介13、有效集在一個(gè)可行點(diǎn)，所有有效約束的全體被稱(chēng)為該可行點(diǎn)的有效集，記為14、可行域的內(nèi)點(diǎn)15、可行域的邊界不是內(nèi)點(diǎn)的可行點(diǎn)稱(chēng)為可行域的邊界點(diǎn)2025/3/22最優(yōu)化方法261.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介15、最優(yōu)解、嚴(yán)格最優(yōu)解2025/3/22最優(yōu)化方法271.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介16、局部最優(yōu)解、嚴(yán)格局部最優(yōu)解則稱(chēng)x*為最優(yōu)化問(wèn)題（1.1.1）的局部最優(yōu)解，如果不等式嚴(yán)格成立，則稱(chēng)為嚴(yán)格局部最優(yōu)解。2025/3/22最優(yōu)化方法281.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介例1.2下圖中的決策變量哪些是局部極小解，哪些是嚴(yán)格局部極小解？2025/3/22最優(yōu)化方法291.1最優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)介17、凸規(guī)劃如果最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是凸的，可行域是凸集，則問(wèn)題的任何最優(yōu)解（不一定唯一）必是全局最優(yōu)解，這樣的最優(yōu)化問(wèn)題稱(chēng)為凸規(guī)劃。重點(diǎn)2025/3/22最優(yōu)化方法301.2凸集和凸函數(shù)（一）凸集1、凸集的定義重點(diǎn)2025/3/22最優(yōu)化方法312、凸集的例子1.2凸集和凸函數(shù)2025/3/22最優(yōu)化方法323、凸集的性質(zhì)1.2凸集和凸函數(shù)2025/3/22最優(yōu)化方法331.2凸集和凸函數(shù)2025/3/22最優(yōu)化方法341.2凸集和凸函數(shù)2025/3/22最優(yōu)化方法35證明：（歸納法）由凸集的定義知當(dāng)m=2顯然成立，假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立，驗(yàn)證當(dāng)m=k+1時(shí)成立。1.2凸集和凸函數(shù)2025/3/22最優(yōu)化方法361.2凸集和凸函數(shù)2025/3/22最優(yōu)化方法371.2凸集和凸函數(shù)（二）凸函數(shù)1、定義重點(diǎn)2025/3/22最優(yōu)化方法381.2凸集和凸函數(shù)2025/3/22最優(yōu)化方法391.2凸集和凸函數(shù)問(wèn)題：什么樣的F是凸集，什么樣的函數(shù)是凸函數(shù)呢？重點(diǎn)2025/3/22最優(yōu)化方法4