常州卷-2025年中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2025年中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷常州卷注意事項(xiàng)：1．考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：120分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．-2025的倒數(shù)為（

）A．-2025 B．2025 C． D．2．二次根式有意義的條件是（

）A． B． C． D．3．下列各式中，計(jì)算結(jié)果是的是（

）A． B． C． D．4．如圖是由4個(gè)小正方體組成的幾何體，從正面看的平面圖是（

）A．B．C．D．5．有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．6．“月壤”是月球表面上的一層細(xì)膩沙土，平均粒徑約為，具有極高的科研價(jià)值．?dāng)?shù)據(jù)“”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．7．如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常先在墻的兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻，這樣做依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短D．兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離8．如圖1，汽車(chē)行駛時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)的溫度會(huì)升得很高，利用防凍冷卻液在散熱器管道內(nèi)循環(huán)流動(dòng)，將發(fā)動(dòng)機(jī)多余熱量帶走，能使發(fā)動(dòng)機(jī)以正常工作溫度運(yùn)轉(zhuǎn)．防凍冷卻液主要由水和不易汽化、密度比水小的某種防凍劑（簡(jiǎn)稱原液）混合而成，防凍冷卻液的凝固點(diǎn)和沸點(diǎn)與原液含量的關(guān)系圖象如圖2和圖3所示（選用時(shí)，防凍冷卻液的凝固點(diǎn)應(yīng)低于環(huán)境最低溫度10及以下，而沸點(diǎn)一般要高于發(fā)動(dòng)機(jī)最高工作溫度5及以上）．閱讀以上信息，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)原液含量逐漸增大時(shí)，防凍冷卻液的凝固點(diǎn)逐漸降低，沸點(diǎn)逐漸升高B．當(dāng)防凍冷卻液凝固點(diǎn)為時(shí)，原液含量約為C．若某品牌汽車(chē)的發(fā)動(dòng)機(jī)工作溫度為，所在地區(qū)最低溫度為，則選用原液含量為的防凍冷卻液較合適D．原液含量低于時(shí)，其凝固點(diǎn)一直隨原液含量的增大而升高第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分）9．實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是．10．因式分解：．11．計(jì)算：．12．某彈簧的自然長(zhǎng)度為13厘米，在彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量每增加1千克的重物時(shí)彈簧長(zhǎng)度增加0.5厘米，那么彈簧長(zhǎng)度y（厘米）與所掛重物的質(zhì)量x（千克）的關(guān)系式為．13．如圖，在平直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）．以，為邊作矩形，若將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．甲、乙兩地1月份連續(xù)五天的日平均氣溫如下表（單位：℃）．第1天第2天第3天第4天第5天甲地氣溫1211121012乙地氣溫040則甲、乙兩地這5天日平均氣溫的方差大小關(guān)系為：．（用“>”“<”或“=”填空）15．如圖，在中半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則為°．16．如圖，在中，，若，則的值為．17．如圖，點(diǎn)在等邊的內(nèi)部，且，，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，則的值為．18．圖1是一種拼裝玩具的零件，它可以看作是底面為正六邊形的六棱柱，其內(nèi)部挖去一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體后得到的幾何體，圖2是該零件的俯視圖，正方形的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正六邊形的頂點(diǎn)．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，正方形邊長(zhǎng)為a．（1）連接，的長(zhǎng)為；（2）a的取值范圍是．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共84分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19．（8分）（1）化簡(jiǎn)：；（2）解分式方程：．20．（6分）解不等式組：．21．（8分）清朝康熙年間編校的《全唐詩(shī)》包含四萬(wàn)多首詩(shī)歌，逾三百萬(wàn)字，是后人研究唐詩(shī)的重要資源．小云利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析《全唐詩(shī)》中李白和杜甫作品的風(fēng)格差異．下面給出了部分信息：a．《全唐詩(shī)》中，李白和杜甫分別有896首和1158首作品；b．二人作品中與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表．詞語(yǔ)頻數(shù)人數(shù)春風(fēng)東風(fēng)清風(fēng)悲風(fēng)秋風(fēng)北風(fēng)李白7224286268杜甫1946103014注：在文學(xué)作品中，東風(fēng)即春風(fēng)，常含有生機(jī)勃勃之意和喜春之情，如：等閑識(shí)得東風(fēng)面，萬(wàn)紫千紅總是春；北風(fēng)通常寄寓詩(shī)人凄苦的情懷，抒寫(xiě)傷別之情，如：千里黃云白日曛，北風(fēng)吹雁雪紛紛．根據(jù)所給信息，回答下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)全條形圖；（2）在與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)中，李白最常使用的詞語(yǔ)是______，大約每______首詩(shī)歌中就會(huì)出現(xiàn)一次該詞語(yǔ)（結(jié)果取整數(shù)），而杜甫最常使用的詞語(yǔ)是______；（3）下列推斷合理的是______．①相較于杜甫，與“風(fēng)”有關(guān)的詞語(yǔ)在李白的詩(shī)歌中更常見(jiàn)；②李白更常用“風(fēng)”表達(dá)喜悅，而杜甫更常用“風(fēng)”表達(dá)悲傷．22．（8分）通常情況下酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色．一次化學(xué)課上，學(xué)生用酚酞溶液檢測(cè)四瓶標(biāo)簽被污染無(wú)法分辨的無(wú)色溶液的酸堿性．已知四瓶溶液分別是A：鹽酸（呈酸性），B：硝酸鉀溶液（呈中性），C：氫氧化鈉溶液（呈堿性），D：氫氧化鉀溶液（呈堿性）．（1）小明將酚酞溶液隨機(jī)滴入其中一瓶溶液，結(jié)果變綠色是______事件（填“隨機(jī)”“必然”或“不可能”）；（2）小明將隨機(jī)選擇的兩瓶溶液同時(shí)滴入酚酞溶液進(jìn)行檢測(cè)，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求兩瓶溶液恰好都變紅色的概率（可用A，B，C，D表示）．23．（8分）如圖，平分，垂足分別為點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，，求的長(zhǎng)度．24．（8分）如圖，點(diǎn)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)B作軸，交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，求的面積．25．（8分）有一塊長(zhǎng)，寬的矩形鐵皮．（1）如圖，如果在鐵皮的四個(gè)角裁去四個(gè)邊長(zhǎng)一樣的正方形后，將其折成底面積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子，求裁去的正方形的邊長(zhǎng)．（2）由于需要，計(jì)劃制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，為了合理利用材料，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如圖的裁剪方案，陰影部分為裁剪下來(lái)的邊角料，其中左側(cè)的兩個(gè)陰影部分為正方形，若想折出底面積為的有蓋盒子，則裁剪下來(lái)的邊角料面積為_(kāi)_________cm．26．（10分）【材料閱讀】材料一：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)兩點(diǎn)和，定義兩點(diǎn)間距離：．材料二：數(shù)學(xué)課上，李老師提出如下問(wèn)題：如圖1，在中，，，求的最小值．經(jīng)過(guò)思考后，小明提出了自己的想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使得，則，連接…．

【概念理解】（1）①已知點(diǎn)，則______．②函數(shù)的圖象如圖2所示，點(diǎn)B在圖象上，，點(diǎn)B的坐標(biāo)是_______．（2）材料二中，的最小值為_(kāi)_____．【新知應(yīng)用】結(jié)合材料一和材料二，完成下列問(wèn)題：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形，若點(diǎn)M在菱形邊上，且．請(qǐng)利用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖中作出滿足條件的點(diǎn)M．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（4）如圖4，已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，直接寫(xiě)出取值范圍．

27．（10分）綜合與探究如圖，在平行四邊形中，分別是邊，上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）【特例感知】如圖（a），若四邊形是正方形，當(dāng)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________；（2）【深入探究】如圖（b），若四邊形是菱形，且，則線段與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；關(guān)于此問(wèn)，數(shù)學(xué)興趣小組給出如下兩種解決思路．請(qǐng)選擇其中一種思路解決問(wèn)題．思路一思路二如圖，在邊上取一點(diǎn)使，……如圖，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使，，……（3）【類(lèi)比遷移】如圖（c），若四邊形是菱形，為的中點(diǎn)，，請(qǐng)求出的值；（4）【聯(lián)系拓廣】如圖（d），在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且直線與直線所夾的銳角為60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)的長(zhǎng)．28．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)A0,3，兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上不與點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接，當(dāng)點(diǎn)在上方，時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）令．①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．參考答案一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．-2025的倒數(shù)為（

）A．-2025 B．2025 C． D．【答案】D【分析】本題考查了倒數(shù)的求解，根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：，的倒數(shù)是，故選：D．2．二次根式有意義的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件可得，即可求解．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，∴，故選：B．3．下列各式中，計(jì)算結(jié)果是的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用合并同類(lèi)項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，積的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．本題主要考查積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【詳解】解：A、不是同類(lèi)項(xiàng)不能合并，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．4．如圖是由4個(gè)小正方體組成的幾何體，從正面看的平面圖是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了從不同方向看幾何體，需要具備一定的空間想象能力和分析能力．根據(jù)從正面看得到的圖形判斷即可．【詳解】從正面看的平面圖是．故選：D．5．有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的減法運(yùn)算等知識(shí)，根據(jù)數(shù)軸可得，，再根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則，相反數(shù)的定義等求解即可．【詳解】解∶由數(shù)軸知∶，，∴，，故選：D．6．“月壤”是月球表面上的一層細(xì)膩沙土，平均粒徑約為，具有極高的科研價(jià)值．?dāng)?shù)據(jù)“”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．根據(jù)絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為，故A正確．故選：A．7．如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常先在墻的兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻，這樣做依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離【答案】B【分析】本題考查了直線的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線即可得解，熟練掌握直線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常先在墻的兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻，這樣做依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)確定一條直線，故選：B．8．如圖1，汽車(chē)行駛時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)的溫度會(huì)升得很高，利用防凍冷卻液在散熱器管道內(nèi)循環(huán)流動(dòng)，將發(fā)動(dòng)機(jī)多余熱量帶走，能使發(fā)動(dòng)機(jī)以正常工作溫度運(yùn)轉(zhuǎn)．防凍冷卻液主要由水和不易汽化、密度比水小的某種防凍劑（簡(jiǎn)稱原液）混合而成，防凍冷卻液的凝固點(diǎn)和沸點(diǎn)與原液含量的關(guān)系圖象如圖2和圖3所示（選用時(shí)，防凍冷卻液的凝固點(diǎn)應(yīng)低于環(huán)境最低溫度10及以下，而沸點(diǎn)一般要高于發(fā)動(dòng)機(jī)最高工作溫度5及以上）．閱讀以上信息，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)原液含量逐漸增大時(shí)，防凍冷卻液的凝固點(diǎn)逐漸降低，沸點(diǎn)逐漸升高B．當(dāng)防凍冷卻液凝固點(diǎn)為時(shí)，原液含量約為C．若某品牌汽車(chē)的發(fā)動(dòng)機(jī)工作溫度為，所在地區(qū)最低溫度為，則選用原液含量為的防凍冷卻液較合適D．原液含量低于時(shí)，其凝固點(diǎn)一直隨原液含量的增大而升高【答案】B【分析】本題考查了函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中正確獲取信息是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖2和圖3函數(shù)圖象的變化即可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)圖2的函數(shù)圖象即可判斷選項(xiàng)B正確；分別根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)工作溫度和所在地區(qū)最低溫度確定原液含量，由此即可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)圖2的函數(shù)圖象即可判斷選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】解：A、當(dāng)原液含量逐漸增大時(shí)，防凍冷卻液的凝固點(diǎn)先降低，再升高，沸點(diǎn)逐漸升高；則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、當(dāng)防凍冷卻液凝固點(diǎn)為時(shí)，原液含量約為，則此項(xiàng)正確，符合題意；C、根據(jù)汽車(chē)的發(fā)動(dòng)機(jī)工作溫度可知，應(yīng)該選用原液含量大于的防凍冷卻液；根據(jù)所在地區(qū)最低溫度可知，應(yīng)該選用原液含量大于的防凍冷卻液；綜合來(lái)看，選用原液含量為的防凍冷卻液較合適，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、由圖2可知，原液含量低于時(shí)，其凝固點(diǎn)一直隨原液含量的增大而降低；則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分）9．實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是．【答案】【分析】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．【詳解】解：；故答案為：10．因式分解：．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法和步驟是解題關(guān)鍵．先提出公因式，再根據(jù)平方差公式分解即可．【詳解】原式．故答案為：．11．計(jì)算：．【答案】3【分析】本題考查積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，正確變形再求值即可．【詳解】解：，故答案為：．12．某彈簧的自然長(zhǎng)度為13厘米，在彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量每增加1千克的重物時(shí)彈簧長(zhǎng)度增加0.5厘米，那么彈簧長(zhǎng)度y（厘米）與所掛重物的質(zhì)量x（千克）的關(guān)系式為．【答案】【分析】本題考查列函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)彈簧的總長(zhǎng)度等于原長(zhǎng)加上伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，列出函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意，得：；故答案為：13．如圖，在平直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．以，為邊作矩形，若將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；先根據(jù)題意得到，，再由矩形的性質(zhì)可得，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，據(jù)此可得第二象限內(nèi)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，，∵四邊形是矩形，∴，，，∵將矩形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點(diǎn)在第二象限，∴，，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．14．甲、乙兩地1月份連續(xù)五天的日平均氣溫如下表（單位：℃）．第1天第2天第3天第4天第5天甲地氣溫1211121012乙地氣溫040則甲、乙兩地這5天日平均氣溫的方差大小關(guān)系為：．（用“>”“<”或“=”填空）【答案】<【分析】本題考查方差，掌握方差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．先求出甲、乙地的平均氣溫，再根據(jù)方差公式求出甲和乙的方差，然后進(jìn)行比較，即可得出答案．【詳解】解：甲地的平均氣溫：；乙地的平均氣溫：；∵甲地的方差是：；乙地的方差是：；∴．故答案為：＜．15．如圖，在中半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則為°．【答案】29【分析】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵；連接，由題意易得，，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵半徑互相垂直，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為29．16．如圖，在中，，若，則的值為．【答案】/【分析】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)．先利用等高的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比求得，則，由，證明，得，進(jìn)而可求出的值．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，故答案為：．17．如圖，點(diǎn)在等邊的內(nèi)部，且，，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，連接，如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則可判定為等邊三角形得到，再證明得到，接著利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，然后根據(jù)正弦的定義求解．【詳解】解：連接，如圖，∵線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴為直角三角形，，∴．故答案為：．18．圖1是一種拼裝玩具的零件，它可以看作是底面為正六邊形的六棱柱，其內(nèi)部挖去一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體后得到的幾何體，圖2是該零件的俯視圖，正方形的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正六邊形的頂點(diǎn)．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，正方形邊長(zhǎng)為a．（1）連接，的長(zhǎng)為；（2）a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的找出正方形邊長(zhǎng)的最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．（1）正方形的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，分別在正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)，在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），點(diǎn)，分別是正六邊形的頂點(diǎn)．（2）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)、、、在正六邊形的邊上時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)的值最大，解直角三角形得到，當(dāng)正方形的對(duì)角線在正六邊形一組平行的對(duì)邊的中點(diǎn)上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)的值最小，是正方形的對(duì)角線，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，連接，，則，，是正六邊形的一條對(duì)角線，，在中，，，，，故答案為：；如圖①，當(dāng)正方形的對(duì)角線在正六邊形一組平行的對(duì)邊的中點(diǎn)上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)的值最小，是正方形的對(duì)角線，，，如圖②，當(dāng)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在正六邊形的邊上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)的值最大，是正方形的對(duì)角線，設(shè)時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)最大，，，設(shè)直線的解析式為，，，，，直線的解析式為，將代入得，此時(shí)，取最大值，，正方形邊長(zhǎng)的取值范圍是：．故答案為：．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共84分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19．（8分）（1）化簡(jiǎn)：；（2）解分式方程：．【答案】（1）；（2）【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式和完全平方公式，解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）首先利用平方差公式和完全平方公式求解，然后合并即可；（2）先去分母化為整式方程，再解一元一次方程，然后對(duì)所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】解：（1）原式

．

（2）方程兩邊乘以得：．

移項(xiàng)得：．解得：．

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．

所以原分式方程的解為．20．（6分）解不等式組：【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，先分別求出不等式①②的解集，再將不等式①②的解集分別表示在數(shù)軸上即可得出答案．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，將不等式①和②的解集分別表示在數(shù)軸上：由數(shù)軸可知，不等式組的解集為，∴不等式組的解集為：．21．（8分）清朝康熙年間編校的《全唐詩(shī)》包含四萬(wàn)多首詩(shī)歌，逾三百萬(wàn)字，是后人研究唐詩(shī)的重要資源．小云利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析《全唐詩(shī)》中李白和杜甫作品的風(fēng)格差異．下面給出了部分信息：a．《全唐詩(shī)》中，李白和杜甫分別有896首和1158首作品；b．二人作品中與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表．詞語(yǔ)頻數(shù)人數(shù)春風(fēng)東風(fēng)清風(fēng)悲風(fēng)秋風(fēng)北風(fēng)李白7224286268杜甫1946103014注：在文學(xué)作品中，東風(fēng)即春風(fēng)，常含有生機(jī)勃勃之意和喜春之情，如：等閑識(shí)得東風(fēng)面，萬(wàn)紫千紅總是春；北風(fēng)通常寄寓詩(shī)人凄苦的情懷，抒寫(xiě)傷別之情，如：千里黃云白日曛，北風(fēng)吹雁雪紛紛．根據(jù)所給信息，回答下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)全條形圖；（2）在與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)中，李白最常使用的詞語(yǔ)是______，大約每______首詩(shī)歌中就會(huì)出現(xiàn)一次該詞語(yǔ)（結(jié)果取整數(shù)），而杜甫最常使用的詞語(yǔ)是______；（3）下列推斷合理的是______．①相較于杜甫，與“風(fēng)”有關(guān)的詞語(yǔ)在李白的詩(shī)歌中更常見(jiàn)；②李白更常用“風(fēng)”表達(dá)喜悅，而杜甫更常用“風(fēng)”表達(dá)悲傷．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）春風(fēng)；12；秋風(fēng)（3）①②【分析】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖，頻數(shù)（率分布圖和用樣本估計(jì)總體，熟練掌握各種統(tǒng)計(jì)圖及統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二人作品中與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)中，李白最常使用的詞語(yǔ)，也是出現(xiàn)次數(shù)最多的詞語(yǔ)，即春風(fēng)；用春風(fēng)出現(xiàn)的頻數(shù)，即可得到答案；杜甫最常使用的詞語(yǔ)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的詞語(yǔ)；（3）先求出與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)在李白的詩(shī)歌中的占比，再求出與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)在杜甫的詩(shī)歌中的占比，兩者進(jìn)行比較，即可得出答案．【詳解】（1）解：補(bǔ)全條形圖如圖．（2）解：由題可知，在與“風(fēng)”相關(guān)的詞語(yǔ)中，李白最常使用的詞語(yǔ)，也是出現(xiàn)次數(shù)最多的詞語(yǔ)，即春風(fēng)；（首）；杜甫最常使用的詞語(yǔ)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的詞語(yǔ)，即秋風(fēng)；故答案為：春風(fēng)；12；秋風(fēng)；（3）解：①與“風(fēng)”有關(guān)的詞語(yǔ)在李白的詩(shī)歌中占，②而在杜甫的詩(shī)歌中占．由于，所以相比較杜甫，與“風(fēng)”有關(guān)的詞語(yǔ)在李白的詩(shī)歌中更常見(jiàn)，故①推斷合理；李白常用的“風(fēng)”是“春風(fēng)”，表達(dá)喜悅，而杜甫常用的“風(fēng)”是“秋風(fēng)”，表達(dá)悲傷，故②推斷合理．22．（8分）通常情況下酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色．一次化學(xué)課上，學(xué)生用酚酞溶液檢測(cè)四瓶標(biāo)簽被污染無(wú)法分辨的無(wú)色溶液的酸堿性．已知四瓶溶液分別是A：鹽酸（呈酸性），B：硝酸鉀溶液（呈中性），C：氫氧化鈉溶液（呈堿性），D：氫氧化鉀溶液（呈堿性）．（1）小明將酚酞溶液隨機(jī)滴入其中一瓶溶液，結(jié)果變綠色是______事件（填“隨機(jī)”“必然”或“不可能”）；（2）小明將隨機(jī)選擇的兩瓶溶液同時(shí)滴入酚酞溶液進(jìn)行檢測(cè)，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求兩瓶溶液恰好都變紅色的概率（可用A，B，C，D表示）．【答案】（1）不可能（2）【分析】本題考查了事件的分類(lèi)，用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求概率，熟記用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法及概率公式是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可；【詳解】（1）解：根據(jù)題意“通常情況下酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色”可得結(jié)果變綠色是不可能事件；故答案為：不可能．（2）解：列表如下；由表知，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩瓶溶液恰好都變紅色有，共2種結(jié)果，所以兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為．第2瓶第1瓶ABCDA

B

C

D

23．（8分）如圖，平分，垂足分別為點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）4【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，，進(jìn)而證明，即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和含的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：平分，，，，；在和中，，，；（2）解：由（1）可知，平分，，，，∵，，，，，∵在中，，，．24．（8分）如圖，點(diǎn)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)B作軸，交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，求的面積．【答案】（1）8（2）（3）6【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合熟練掌握待定系數(shù)法．（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出k的值即可；（2）先求出點(diǎn)，再求出直線表達(dá)式為：，求出當(dāng)時(shí)，，求出點(diǎn)；（3）根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為，是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)為，∴（2）解：∵，∴，∵軸，點(diǎn)為，∴把代入得：，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴；（3）解：．25．（8分）有一塊長(zhǎng)，寬的矩形鐵皮．（1）如圖，如果在鐵皮的四個(gè)角裁去四個(gè)邊長(zhǎng)一樣的正方形后，將其折成底面積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子，求裁去的正方形的邊長(zhǎng)．（2）由于需要，計(jì)劃制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，為了合理利用材料，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如圖的裁剪方案，陰影部分為裁剪下來(lái)的邊角料，其中左側(cè)的兩個(gè)陰影部分為正方形，若想折出底面積為的有蓋盒子，則裁剪下來(lái)的邊角料面積為_(kāi)_________．【答案】（1）截去的小正方形的邊長(zhǎng)；（2）．【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列一元二次方程求出邊長(zhǎng)．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)長(zhǎng)方體盒子的底面積為，列一元二次方程求解，要把不符合題意的解舍去；設(shè)左側(cè)陰影正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)盒子的底面積為為，列一元二次方程求出陰影正方形的邊長(zhǎng)，再求出盒子底面的長(zhǎng)和寬，從而可以求出右側(cè)陰影長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式求出邊角料的面積．【詳解】（1）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得：，整理得：，分解因式得：，解得：，（舍去），答：裁去的正方形的邊長(zhǎng)為；（2）解：設(shè)左側(cè)陰影正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得：，整理得：，分解因式得：，解得：，（舍去），盒子的底面寬為，長(zhǎng)為，右側(cè)陰影長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，裁剪下來(lái)的邊角料面積為，故答案為：．26．（10分）【材料閱讀】材料一：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)兩點(diǎn)和，定義兩點(diǎn)間距離：．材料二：數(shù)學(xué)課上，李老師提出如下問(wèn)題：如圖1，在中，，，求的最小值．經(jīng)過(guò)思考后，小明提出了自己的想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使得，則，連接…．

【概念理解】（1）①已知點(diǎn)，則______．②函數(shù)的圖象如圖2所示，點(diǎn)B在圖象上，，點(diǎn)B的坐標(biāo)是_______．（2）材料二中，的最小值為_(kāi)_____．【新知應(yīng)用】結(jié)合材料一和材料二，完成下列問(wèn)題：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形，若點(diǎn)M在菱形邊上，且．請(qǐng)利用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖中作出滿足條件的點(diǎn)M．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（4）如圖4，已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，直接寫(xiě)出取值范圍．

【答案】（1）①3；②或；（2）；（3）作圖見(jiàn)解析；（4）【分析】（1）①由定義即可求解；②由題意可設(shè)，則由定義得到，再解方程即可；（2）當(dāng)時(shí)，最小，，解即可；（3）過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)，在點(diǎn)右側(cè)軸上截取，連接并延長(zhǎng)與菱形邊的交點(diǎn)即為點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，故，進(jìn)而證明，，即可得出；（4）由對(duì)稱得：，則，取的中點(diǎn)，則，則，確定點(diǎn)軌跡為以為直徑的圓，圓心記作，顯然，在軸上取點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，故，那么當(dāng)與相切于左側(cè)時(shí)，最大，即最大，即最大，過(guò)作軸于，再利用勾股定理以及解直角三角形即可求解，則，而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，由勾股定理得：，那么，則此時(shí)，故，則，即可求出取值范圍．【詳解】解：（1）①由題意得，故答案為：3；②由題意可設(shè)，∵，∴，∴，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)，均是方程的解，∴或，故答案為：2,3或；（2）當(dāng)時(shí)，最小，如圖：

∵，∴，∴在中，，故答案為：；（3）如圖，點(diǎn)M即為所求：

過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)，在點(diǎn)右側(cè)軸上截取，連接并延長(zhǎng)與菱形邊的交點(diǎn)即為點(diǎn)，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，∴，∵，而∴；（4）由對(duì)稱得：，即為中點(diǎn)，∴，取的中點(diǎn)，則，∵，，∴，∵，∴點(diǎn)軌跡為以為直徑的圓，圓心記作，∵，則，在軸上取點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則為等腰直角三角形，∴，∴∴當(dāng)與相切于左側(cè)時(shí)，最大，即最大，即最大，如圖：過(guò)作軸于，如圖：

∵與相切，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，則，∴，∴在等腰中，∵，，∴，∴，∴，∴∵，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖：

∵，，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴此時(shí)，∴，則，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，涉及解直角三角形，圓的切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，垂線段最短，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，正確理解題意，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．27．（10分）綜合與探究如圖，在平行四邊形中，分別是邊，上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）【特例感知】如圖（a），若四邊形是正方形，當(dāng)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________；（2）【深入探究】如圖（b），若四邊形是菱形，且，則線段與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；關(guān)于此問(wèn)，數(shù)學(xué)興趣小組給出如下兩種解決思路．請(qǐng)選擇其中一種思路解決問(wèn)題．思路一思路二如圖，在邊上取一點(diǎn)使，……如圖，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使，，……（3）【類(lèi)比遷移】如圖（c），若四邊形是菱形，為的中點(diǎn)，，請(qǐng)求出的值；（4）【聯(lián)系拓廣】如圖（d），在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且直線與直線所夾的銳角為60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)的長(zhǎng)．【答案】（1）[特例感知]（2）[深入探究]思路一：，證明見(jiàn)詳解；思路二：，證明見(jiàn)詳解（3）[例比遷移]（4）[聯(lián)系拓廣]的長(zhǎng)為或【分析】（1）[特例感知]根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，可證，由此即可求解；（2）[深入探究]思路一：四邊形是菱形，可得，，根據(jù)是三角形的外角，，可證，如圖，在邊上取一點(diǎn)使，則，可證，由此可證，即可求解；思路二：由思路一可得，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使，，可得，可證，由此即可求解；（3）[例比遷移]如圖所示，連接BD交于點(diǎn)，可得是等邊三角形，，可證，得到，再證，可得，，即，由此即可求解；（4）[聯(lián)系拓廣]根據(jù)題意，分類(lèi)討論：第一種情況，直線與直線所夾的銳角時(shí)，如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理分別得到，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，求出，證明，得到的值，再證明，得