2025年四川省綿陽市涪城區(qū)九年級中考數(shù)學(xué)第二次診斷試卷（含答案）

2025年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數(shù)學(xué)第二次診斷試卷考生注意：本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題，共36分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求.1.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A.-2 B.-（-2） C. D.-2.正方形的對稱軸有（）A.2條 B.3條 C.4條 D.8條3.從中國科學(xué)院國家天文臺獲悉，“中國天眼”FAST發(fā)現(xiàn)了6個距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類迄今直接探測到的最遠(yuǎn)的一批中性氫星系.“50億光年”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.50×108光年 B.5×108光年 C.5×109光年 D.5×1010光年4.下列各式中，計(jì)算結(jié)果等于的是（）A. B. C. D.5.如圖，和是兩個全等的等腰直角三角形，，D是的斜邊AC的中點(diǎn)，BC與DF交于點(diǎn)G.如果，那么的度數(shù)為（）A.50° B.55° C.65° D.70°6.如圖，一轟炸機(jī)自東向西飛行，在高空A處測得地面指揮臺C的俯角，飛行10km到達(dá)B處，測得指揮臺C的俯角，則該轟炸機(jī)的飛行高度為（）A.5km B. C.10km D.7.當(dāng)時(shí)，二次根式一定有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.8.《孫子算經(jīng)》中有一個有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，長木幾何?”其大意是：用繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量這根長木，長木還剩余1尺，問這根長木長多少尺？此問題中長木的長為（）A.2.5尺 B.5.5尺 C.6.5尺 D.11尺9.如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（）A.5m B.70m C.5m或70m D.10m10.如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心.若，，則拱門所在圓的半徑為（）A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m11.拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.或C. D.或12.如圖，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD，AB的中點(diǎn)，CE交DF于點(diǎn)G，連接BG，過點(diǎn)D作交EC于點(diǎn)H，則的值為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共114分）二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分.13.因式分解：_______.14.如圖，將正方形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C，D在第一象限內(nèi).若點(diǎn)B到x軸的距離為1，點(diǎn)D到x軸的距離為2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______.15.化簡代數(shù)式（m，n是正整數(shù)）可得一個關(guān)于x，y的三次二項(xiàng)式，則的值為_______.16.炎炎夏日，清涼爽口的西瓜是最受歡迎的水果之一.某大型超市每天從當(dāng)?shù)氐奈鞴戏N植基地購進(jìn)甲、乙兩種西瓜共600千克.根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，甲種西瓜的進(jìn)貨量不低于乙種西瓜的進(jìn)貨量，但不能超過乙種西瓜進(jìn)貨量的3倍.若甲種西瓜每千克獲利1.2元，乙種西瓜每千克獲利1.4元，則該超市每天能獲得的最大利潤是_______元.17.不等式組的整數(shù)解均滿足不等式組，則的取值范圍是_______.18；如圖，在菱形ABCD中，，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且，P為線段BD上的一個動點(diǎn)，則的最小值是_______.三、解答題：本大題共7個小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.（本題共2個小題，每小題8分，共16分）（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值：，其中，.20.（本題滿分12分）為保證每位同學(xué)在學(xué)校組織的課外體育活動中，都能參與自己最喜歡的球類項(xiàng)目，學(xué)校體育社團(tuán)隨機(jī)抽取部分同學(xué)進(jìn)行“最喜歡的球類項(xiàng)目”的調(diào)查（每人只能選擇一項(xiàng)），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題：（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是_______人，估計(jì)全校1500名學(xué)生中最喜歡乒乓球項(xiàng)目的有_______人；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）學(xué)校體育社團(tuán)為了制訂訓(xùn)練計(jì)劃，將從最喜歡籃球項(xiàng)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任選兩名進(jìn)行個別訪談，請用列表法或畫樹狀圖法求抽取的兩人恰好是甲和乙的概率.21.（本題滿分12分）如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)，，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D.（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）若x軸上有一點(diǎn)M，使得，求點(diǎn)M的坐標(biāo).22.（本題滿分12分）某商場籌集資金12.8萬元，計(jì)劃一次性購進(jìn)空調(diào)、彩電共30臺.根據(jù)市場需要，這些空調(diào)、彩電可以全部銷售，全部銷售后利潤不少于1.5萬元，其中空調(diào)、彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)見下表.商品名稱空調(diào)彩電進(jìn)價(jià)（元/臺）54003500售價(jià)（元/臺）61003900設(shè)該商場計(jì)劃購進(jìn)空調(diào)x臺，空調(diào)和彩電全部銷售后商場獲得的利潤為y元.（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不考慮x的取值范圍）；（2）該商場有哪幾種進(jìn)貨方案可供選擇？（3）選擇哪種進(jìn)貨方案，商場獲利最大？最大利潤是多少元？23.（本題滿分12分）如圖，AD是以AB為直徑的的切線，點(diǎn)C在AB上方的圓弧上，，CE垂直平分BD，CE分別交BD，AB于點(diǎn)F，E.（1）證明：四邊形BCDE是菱形；（2）若，求的半徑.24.（本題滿分12分）如圖1，在矩形ABCD中，，，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上從點(diǎn)A出發(fā)沿折線勻速運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度，運(yùn)動時(shí)間為t（秒），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動，過點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)Q.（1）當(dāng)與相似時(shí)，求t的值.（2）記的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.（3）如圖2，將沿AC翻折得，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中是否存在時(shí)刻t，使的頂點(diǎn)恰好落在邊CD上？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.25.（本題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，連接AC，BC，，點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，其縱坐標(biāo)為，連接BD，CD，并延長CD交拋物線于點(diǎn)E，連接BE.（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求的面積；（3）若點(diǎn)K在拋物線上，且滿足，求點(diǎn)K的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題1--5ACCBD6--10BCCAB11-12BB二、填空題13.或14.（1，3）15.16.78017.18.三、解答題19.（1）解：原式.（2）解：原式.將，代入可得，原式.20.解：（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是18+36%=50（人），估計(jì)全校1500名學(xué)生中最喜歡乒乓球項(xiàng)目的有（人）.（2）喜歡籃球的人數(shù)為50×24%=12（人），喜歡羽毛球的人數(shù)為50-18-12-10-4=6（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩人恰好是甲和乙的結(jié)果有2種，∴所求概率為.21.解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，將代入，可得，解得，∴反比例函數(shù)的解析式為.把代入，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，∴.設(shè)一次函數(shù)的解析式為，將，代入，可得解得∴一次函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，可得，解得，∴，∴，∴.∵，∴，∴.當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，.綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.22.解：（1）.（2）由題意，得解得.∵為整數(shù)，共有3種進(jìn)貨方案，具體方案如下：方案1：購進(jìn)空調(diào)10臺，彩電20臺；方案2：購進(jìn)空調(diào)11臺，彩電19臺；方案3：購進(jìn)空調(diào)12臺，彩電18臺.（3）∵，且，∴y隨x的增大而增大.∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，.∴當(dāng)購進(jìn)空調(diào)12臺，彩電18臺時(shí)，商場獲利最大，最大利潤是15600元.23.（1）證明：∵CE垂直平分BD，∴，，.∵，∴.在和中，∴，∴，即四邊形BCDE的對角線互相平分，∴四邊形BCDE是平行四邊形.又，∴四邊形BCDE是菱形.（2）解：如圖，連接AC.設(shè).由（1）得.∵是的切線，∴.在中，，即.∵，∴.在中，，即.∵AB為的直徑，∴.在中，，即，整理得，解得或（舍去）.∴，∴.∴的半徑為.24.解：（1）要使與相似，還需.∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到時(shí)，.此時(shí)，∴，∴，∴.（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，即時(shí)，由可得，∴，∴（當(dāng)時(shí)也符合此式）.如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，即時(shí)，.此時(shí)，由可得，∴.∴.又，∴（當(dāng)時(shí)也符合此式）.∴（3）存在.當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，假設(shè)時(shí)刻點(diǎn)恰好落在CD上，則連接，令交AC于點(diǎn)，如圖3.由對稱性可知：，.在和中，∴，∴，即是AC的中點(diǎn)，∴此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)O重合，.由得，∴.當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)，由對稱性可知不存在滿足條件的時(shí)刻.綜上所述，.25.解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，和均為直角三角形.∵，∴.又，∴，∴，∴，即.又，，∴，，∴，∴，即.設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，將代入，得，∴.∴拋物線的函數(shù)解析式為，即.（2）∵拋物線的對稱軸為直線，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴.設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為，將，代入，得解得∴直線CD的函數(shù)解析式為.聯(lián)立解得∴如圖1，過點(diǎn)E作平行于y軸的直線交BC于點(diǎn)H.設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為，將，代入，得解得∴直線BC的函數(shù)解析式為.令，得，∴，∴.∴.（3）①如圖2，作交拋物線于點(diǎn)K，則.∵直線BC的函數(shù)解析式為，∴設(shè)直線D