數(shù)列專題復(fù)習(xí)教案

數(shù)列專題復(fù)習(xí)教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)系統(tǒng)梳理數(shù)列的相關(guān)概念，包括數(shù)列的定義、通項公式、前\(n\)項和公式等，使學(xué)生對數(shù)列有更清晰的認(rèn)識。熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及前\(n\)項和公式，并能靈活運用這些公式解決各種數(shù)列問題。能夠通過觀察、分析數(shù)列的規(guī)律，運用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列的通項公式，如累加法、累乘法、構(gòu)造法等。培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)列知識解決實際問題的能力，如數(shù)列在分期付款、增長率等方面的應(yīng)用。2.過程與方法目標(biāo)通過對數(shù)列知識的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)、知識整合的能力，構(gòu)建完整的數(shù)列知識體系。在解決數(shù)列問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生運用類比、歸納、猜想等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解題能力。通過實際問題的引入，讓學(xué)生體會數(shù)列與生活實際的緊密聯(lián)系，增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識。3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生對數(shù)列學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。通過團隊合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和交流能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗成功的喜悅。引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀，認(rèn)識到數(shù)學(xué)在實際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性。

二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及前\(n\)項和公式的靈活運用。求數(shù)列通項公式的方法，如累加法、累乘法、構(gòu)造法等。數(shù)列與函數(shù)、方程等知識的綜合應(yīng)用。2.教學(xué)難點數(shù)列通項公式和前\(n\)項和公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。如何引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)列知識解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。數(shù)列中一些復(fù)雜問題的求解，如數(shù)列與不等式的綜合問題、數(shù)列的通項公式與前\(n\)項和公式的相互轉(zhuǎn)化等。

三、教學(xué)方法1.講授法：系統(tǒng)講解數(shù)列的基本概念、公式和定理，使學(xué)生對數(shù)列知識有初步的認(rèn)識。2.討論法：組織學(xué)生對一些典型的數(shù)列問題進行討論，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。3.練習(xí)法：通過布置適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高解題能力。4.案例分析法：引入實際生活中的數(shù)列案例，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)列知識進行分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

四、教學(xué)過程

（一）知識梳理1.數(shù)列的概念數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的第\(n\)項\(a_{n}\)與\(n\)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。數(shù)列的前\(n\)項和公式：\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)，\(a_{n}=\begin{cases}S_{1},n=1\\S_{n}S_{n1},n\geq2\end{cases}\)2.等差數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母\(d\)表示。通項公式：\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)性質(zhì)：若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)。若\(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列，則\(a_{n}=a_{m}+(nm)d\)。若\(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列，\(S_{n}\)是其前\(n\)項和，則\(S_{n}\)，\(S_{2n}S_{n}\)，\(S_{3n}S_{2n}\)仍成等差數(shù)列。前\(n\)項和公式：\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)3.等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母\(q\)表示（\(q\neq0\)）。通項公式：\(a_{n}=a_{1}q^{n1}\)性質(zhì)：若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)。若\(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列，則\(a_{n}=a_{m}q^{nm}\)。若\(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列，\(S_{n}\)是其前\(n\)項和，則\(S_{n}\)，\(S_{2n}S_{n}\)，\(S_{3n}S_{2n}\)仍成等比數(shù)列（\(q\neq1\)）。前\(n\)項和公式：當(dāng)\(q=1\)時，\(S_{n}=na_{1}\)；當(dāng)\(q\neq1\)時，\(S_{n}=\frac{a_{1}(1q^{n})}{1q}=\frac{a_{1}a_{n}q}{1q}\)4.求數(shù)列通項公式的方法觀察法：通過觀察數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的規(guī)律，從而寫出數(shù)列的通項公式。累加法：對于形如\(a_{n+1}a_{n}=f(n)\)的遞推公式，可利用累加法求通項公式，即\(a_{n}=(a_{n}a_{n1})+(a_{n1}a_{n2})+\cdots+(a_{2}a_{1})+a_{1}\)。累乘法：對于形如\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(n)\)的遞推公式，可利用累乘法求通項公式，即\(a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n1}}\cdot\frac{a_{n1}}{a_{n2}}\cdots\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdota_{1}\)。構(gòu)造法：對于一些特殊的遞推公式，可通過構(gòu)造新的數(shù)列來求通項公式。例如，對于\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)（\(p\neq1\)），可構(gòu)造\(a_{n+1}+k=p(a_{n}+k)\)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

（二）典型例題講解1.等差數(shù)列的通項公式與前\(n\)項和公式的應(yīng)用例1：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(a_{10}=30\)，求\(a_{20}\)和\(S_{20}\)。解：首先求公差\(d\)，根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，可得\(a_{10}=a_{1}+9d\)，即\(30=3+9d\)，解得\(d=3\)。那么\(a_{20}=a_{1}+19d=3+19\times3=60\)。再根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)，可得\(S_{20}=\frac{20\times(3+60)}{2}=630\)。

例2：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(S_{3}=9\)，\(S_{6}=36\)，求\(a_{7}+a_{8}+a_{9}\)的值。解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知\(S_{3}\)，\(S_{6}S_{3}\)，\(S_{9}S_{6}\)成等差數(shù)列。已知\(S_{3}=9\)，\(S_{6}=36\)，則\(S_{6}S_{3}=369=27\)。設(shè)\(S_{9}S_{6}=x\)，那么\(2\times27=9+x\)，解得\(x=45\)，即\(a_{7}+a_{8}+a_{9}=S_{9}S_{6}=45\)。

2.等比數(shù)列的通項公式與前\(n\)項和公式的應(yīng)用例3：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{4}=16\)，求\(a_{n}\)和\(S_{n}\)。解：設(shè)等比數(shù)列的公比為\(q\)，根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(a_{n}=a_{1}q^{n1}\)，可得\(a_{4}=a_{1}q^{3}\)，即\(16=2q^{3}\)，解得\(q=2\)。所以\(a_{n}=2\times2^{n1}=2^{n}\)。當(dāng)\(q=2\)時，根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_{n}=\frac{a_{1}(1q^{n})}{1q}\)，可得\(S_{n}=\frac{2(12^{n})}{12}=2^{n+1}2\)。

例4：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(S_{3}=7\)，\(S_{6}=63\)，求\(a_{n}\)。解：當(dāng)\(q=1\)時，\(S_{n}=na_{1}\)，則\(S_{3}=3a_{1}\)，\(S_{6}=6a_{1}\)，那么\(\frac{S_{6}}{S_{3}}=2\)，而\(\frac{63}{7}=9\neq2\)，所以\(q\neq1\)。由等比數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_{n}=\frac{a_{1}(1q^{n})}{1q}\)可得\(\begin{cases}S_{3}=\frac{a_{1}(1q^{3})}{1q}=7\\S_{6}=\frac{a_{1}(1q^{6})}{1q}=63\end{cases}\)兩式相除得\(\frac{1q^{6}}{1q^{3}}=\frac{63}{7}=9\)，即\(1+q^{3}=9\)，解得\(q=2\)。把\(q=2\)代入\(\frac{a_{1}(1q^{3})}{1q}=7\)中，可得\(\frac{a_{1}(12^{3})}{12}=7\)，解得\(a_{1}=1\)。所以\(a_{n}=a_{1}q^{n1}=2^{n1}\)。

3.求數(shù)列通項公式的方法例5：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}a_{n}=2n\)，求\(a_{n}\)。解：由\(a_{n+1}a_{n}=2n\)，可得：\(a_{n}=(a_{n}a_{n1})+(a_{n1}a_{n2})+\cdots+(a_{2}a_{1})+a_{1}\)\(=2(n1)+2(n2)+\cdots+2\times1+1\)\(=2\times[1+2+\cdots+(n1)]+1\)\(=2\times\frac{(n1)n}{2}+1\)\(=n^{2}n+1\)

例6：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{n}\)，求\(a_{n}\)。解：由\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{n}\)，可得：\(a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n1}}\cdot\frac{a_{n1}}{a_{n2}}\cdots\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdota_{1}\)\(=\frac{n}{n1}\cdot\frac{n1}{n2}\cdots\frac{2}{1}\times1\)\(=n\)

例7：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，求\(a_{n}\)。解：將\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)變形為\(a_{n+1}+1=2(a_{n}+1)\)。則數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}+1\}\)是以\(a_{1}+1=2\)為首項，\(2\)為公比的等比數(shù)列。所以\(a_{n}+1=2\times2^{n1}=2^{n}\)，即\(a_{n}=2^{n}1\)。

4.數(shù)列與函數(shù)、方程等知識的綜合應(yīng)用例8：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項公式為\(a_{n}=n^{2}5n+4\)。（1）數(shù)列中有多少項是負數(shù)？（2）\(n\)為何值時，\(a_{n}\)有最小值？并求出最小值。解：（1）令\(a_{n}=n^{2}5n+4\lt0\)，即\((n1)(n4)\lt0\)，解得\(1\ltn\lt4\)。因為\(n\inN^+\)，所以\(n=2\)或\(n=3\)，即數(shù)列中有兩項是負數(shù)。（2）\(a_{n}=n^{2}5n+4=(n\frac{5}{2})^{2}\frac{9}{4}\)，因為\(n\inN^+\)，所以當(dāng)\(n=2\)或\(n=3\)時，\(a_{n}\)有最小值，最小值為\(a_{2}=a_{3}=2^{2}5\times2+4=2\)。

例9：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，且\(S