北京市2024年中考數(shù)學(xué)試卷附真題解析

北京市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、此選項中的圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、此選項中的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、此選項中的圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、此選項中的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故答案為：B.

【分析】把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形；把一個平面圖形，繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°后，能與自身重合的圖形就是中心對稱圖形，根據(jù)定義即可逐一判斷得出答案.2．如圖，直線和相交于點O，，若，則的大小為()A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵OE⊥OC，

∴∠COE=90°，

∵∠AOC=58°，

∴∠EOB=180°-∠AOC-∠COE=180°-58°-90°=32°.

故答案為：B.

【分析】由垂直的定義得∠COE=90°，從而根據(jù)平角的定義，由∠EOB=180°-∠AOC-∠COE代入計算即可得出答案.3．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：A、由數(shù)軸可得-2＜b＜-1，故A選項錯誤，不符合題意；

B、由數(shù)軸可得-2＜b＜-1，∴1＜|b|＜2，故B選項錯誤，不符合題意；

C、由數(shù)軸可得-2＜b＜-1＜2＜a，∴|a|＞|b|，∴a+b＞0，故C選項正確，符合題意；

D、由數(shù)軸可得-2＜b＜-1＜2＜a，∴ab＜0，故D選項錯誤，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】由數(shù)軸可得-2＜b＜-1＜2＜a，據(jù)此可直接判斷A選項；然后根據(jù)絕對值的幾何意義，可判斷B選項；由有理數(shù)的加法法則“絕對值不相等得異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值”，據(jù)此可判斷C選項；由有理數(shù)的乘法法則“異號兩數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)”可判斷D選項.4．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為()A． B． C．4 D．16【答案】C【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

∴△=b2-4ac=0，即（-4）2-4c=0，

解得c=4.

故答案為：C.

【分析】對于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）”中，當(dāng)b2-4ac＞0時方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)b2-4ac=0時方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)b2-4ac＜0時方程沒有實數(shù)根，據(jù)此斌結(jié)合題意列出方程，求解即可.5．不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其他差別從中隨機(jī)取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機(jī)取出一個小球，則兩次都取到白色小球的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得：

第一次取到白球的概率為：

第二次取到白球的概率為：

則兩次都取到白球的概率為：

故答案為：D.

【分析】根據(jù)簡單事件的概率即可求出答案。6．為助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，北京積極推進(jìn)多個公共算力中心的建設(shè).北京數(shù)字經(jīng)濟(jì)算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為Flops（Flops是計算機(jī)系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計實現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達(dá)到mFlops，則m的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：m=5×4×1017=20×1017=2×10×1017=2×1018.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)m=5×日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力列出式子，然后根據(jù)單項式乘以單項式法則進(jìn)行計算，進(jìn)而再根據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1，據(jù)此可得答案.7．下面是“作一個角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點C，D；（2）作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則.上述方法通過判定得到，其中判定的依據(jù)是()A．三邊分別相等的兩個三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【答案】A【解析】【解答】解：由作圖過程可得OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，

∴△COD≌△C'O'D'（SSS），

∴∠AOB=∠A'O'B'.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)作圖過程可得OC=O'C'=OD=O'D'，CD=C'D'，從而結(jié)合全等三角形的判定定理即可答案.8．如圖，在菱形中，，O為對角線的交點.將菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個菱形的公共點為E，F(xiàn)，G，H.對八邊形給出下面四個結(jié)論：

①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點O到該八邊形各頂點的距離都相等；④點O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是()A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】【解答】解：延長BD和DB，連接OH，

∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，

∴∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，

∵菱形ABCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形A'B'C'D'，

∴點A'、B'、C'、D'一定在對角線AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，∴AD'=C'D，∠D'AH=∠DC'H=30°，

又∵∠D'HA=∠DHC'，

∴△AD'H≌△C'DH（AAS），

∴D'H=DH，C'H=AH，

同理可證D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG，

∵∠EA'B=∠HC'D=30°，A'B=C'D，∠A'BE=∠C'DH=120°，

∴△A'BE'≌△C'DH（ASA），

∴DH=BE，

∴DH=BE=D'H=D'E=BF=B'F=B'G=DG，

∴該八邊形各邊都相等，故①正確；

根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得點O到該八邊形各邊所在直線的距離相等，故④正確；

根據(jù)題意得∠ED'H=120°，

∵∠D'OD=90°，∠OD'H=∠ODH=60°，

∴∠D'HD=150°，

∴該八邊形各個內(nèi)角不相等，故②錯誤；

∵OD=OD'，D'H=DH，OH=OH，

∴△D'OH≌△DOH（SSS），

∴∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°，

∴OD≠OH，

∴點O到該八邊形各頂點的距離不相等，故③錯誤，

綜上，正確的有①④.

故答案為：B.

【分析】延長BD和DB，連接OH，由菱形性質(zhì)得∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得點A'、B'、C'、D'一定在對角線AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，從而可用AAS判斷出△AD'H≌△C'DH，得D'H=DH，C'H=AH，同理可證D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG；由ASA判斷出△A'BE'≌△C'DH，得DH=BE，據(jù)此可判斷①；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得點O到該八邊形各邊所在直線的距離相等，可判斷④；通過角度計算可判斷②；用SSS判斷出△D'OH≌△DOH，得∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°，???????據(jù)此可判斷③.二、填空題9．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.【答案】【解析】【解答】解：由題意得x-9≥0，

解得x≥9.

故答案為：x≥9.

【分析】由二次根式的被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)，列出不等式，求解即可.10．分解因式：.【答案】【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).

故答案為：x(x+5)(x-5).

【分析】先提取各項的公因式x，再將剩下的商式利用平方差公式進(jìn)行第二次分解即可.11．方程的解為.【答案】【解析】【解答】解：，

方程兩邊同時乘以x(2x+3)約去分母，

得x+2x+3=0，

解得x=-1，

當(dāng)x=-1時，x(2x+3)≠0，

∴原分式方程的解為：x=-1.

故答案為：x=-1.

【分析】方程兩邊同時乘以x(2x+3)約去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解整式方程求出x的值，再檢驗即可得出原方程根的情況.12．在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值是.【答案】0【解析】【解答】解：∵點(3，y1)在函數(shù)的圖象的圖象上，

∴

∵點(-3，y2)在函數(shù)的圖象的圖象上，

∴，

∴.

故答案為：0.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點將兩點坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)的解析式，用含k的式子表示出y1與y2，最后再求和即可.13．某廠加工了200個工件，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽取10個工件檢測了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02，當(dāng)一個工件的質(zhì)量x（單位：g）滿足時，評定該工件為一等品.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這200個工件中一等品的個數(shù)是.【答案】160【解析】【解答】解：∵工件的質(zhì)量滿足49.98≤x≤50.02時，評定該工件為一等品，

∴抽取的十個工件質(zhì)量為一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02共8個，

∴估計這200個工件中一等品的個數(shù)是（個）.

故答案為：160.

【分析】用工廠加工的工件總數(shù)量乘以抽取的樣本中質(zhì)量為一等品的所占的分率即可得出答案.14．如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則°.【答案】55【解析】【解答】解：∵直徑AB平分非直徑的弦CD，

∴AB⊥CD，

∴∠B=90°-∠D=55°，

∴∠C=∠B=55°.

故答案為：55.

【分析】由平分非直徑的弦得直徑垂直于弦可得AB⊥CD，由直角三角形兩銳角互余可得∠B的度數(shù)，進(jìn)而再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠C的度數(shù).15．如圖，在正方形中，點E在上，于點F，于點G.若，，則的面積為.【答案】【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=5，∠ADC=∠DAB=90°，AB∥CD，

∵CG⊥DE，AF⊥DE，

∴∠AFD=∠AFE=90°，

∴∠CGD=90°，

在Rt△CDG中，∠CGD=90°，

，

∵∠ADF+∠CDG=∠CDG+∠DCG=90°，

∴∠ADF=∠DCG，

在△ADF與△DCG中，

∵∠CGD=∠DFA=90°，∠ADF=∠DCG，AD=CD，

∴△ADF≌△DCG（AAS），

∴DG=AF=3，

∵AB∥CD，

∴∠CDG=∠AEF，

∴tan∠CDG=tan∠AEF，

∴，即，

∴，

∴.

故答案為：.

【分析】由正方形的性質(zhì)得AD=CD=5，∠ADC=∠DAB=90°，AB∥CD，在Rt△CDG中，由勾股定理算出DG的長，由同角的余角相等得∠ADF=∠DCG，從而用AAS判斷出△ADF≌△DCG，由全等三角形對應(yīng)邊相等得DG=AF=3，由二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠CDG=∠AEF，由等角的同名三角函數(shù)值相等并結(jié)合正切函數(shù)的定義可得，據(jù)此求出EF的長，最后根據(jù)三角形的面積計算公式計算即可.16．聯(lián)歡會有A，B，C，D四個節(jié)目需要彩排.所有演員到場后節(jié)目彩排開始.一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始.每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）.若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時間為min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排【答案】60；【解析】【解答】解：節(jié)目D的演員的候場時間為30+10+20=60min；

若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按C-A-B-D的先后順序進(jìn)行彩排.

故答案為：60；C-A-B-D.

【分析】根據(jù)候場時間的定義進(jìn)行計算可得第一空的答案；由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣，彩排時長不一樣，那么時長長的節(jié)目應(yīng)該放在后面，故那么C在A的前面；B和D彩排時長一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時長會短一些，故B在D前面.三、解答題17．計算：【答案】解：原式

【解析】【分析】先根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)“任何一個不為零的數(shù)的零次冪都等于1”、二次格式的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡，再計算乘法，最后計算有理數(shù)的減法及合并同類二次根式即可.18．解不等式組：.【答案】解：解不等式①，得，

解不等式②，得，不等式組的解集為【解析】【分析】分別解出不等式組中兩個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了確定出解集即可.19．已知，求代數(shù)式的值.【答案】解：原式，，，原式【解析】【分析】將待求式子的分子去括號合并同類后利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，進(jìn)而約分化簡；由已知等式可得a-b=1，從而整體代入化簡后的式子計算即可.20．如圖，在四邊形中，E是的中點，，交于點F，，.（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的長.【答案】（1）證明：E是的中點，，∴，，四邊形為平行四邊形；（2）解：，，在中，，，，E是的中點，，，四邊形為平行四邊形，，在中，由勾股定理得.【解析】【分析】（1）由三角形的中位線定理得EF∥AD，然后根據(jù)兩組對邊分別平行得四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；

（2）在Rt△EFB中，由∠FEB的正切函數(shù)及EF的長可求出FB的長，由三角形的中位線定理可求出AD=2EF=2，由平行四邊形的對邊相等可得CF=AD=2，最后在Rt△BCF中，利用勾股定理可算出BC的長.21．為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對某型號汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求A類物質(zhì)排放量不超過，A，B兩類物質(zhì)排放量之和不超過.已知該型號某汽車的A，B兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車的A類物質(zhì)排放量降低了，B類物質(zhì)排放量降低了，A，B兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說明理由.【答案】解：設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，由題意得：，解得：，，這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量是符合“標(biāo)準(zhǔn)”.【解析】【分析】設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為xmg/km，則B類物質(zhì)排放量為(40-x)mg/km，改進(jìn)前該汽車的A類物質(zhì)排放量為mg/km，B類物質(zhì)排放量為mg/km，然后根據(jù)改進(jìn)前該型號某汽車的A，B兩類物質(zhì)排放量之和為92mg/km，列出方程，求出x的值，再與35進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.22．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點.（1）求k，b的值；（2）當(dāng)時，對于x的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出m的取值范圍.【答案】（1）解：由題意得將（2，1）代入得：，解得：，將，（2，1），代入函數(shù)中，得：，解得：，，；（2）解：m的取值范圍為.【解析】【解答】解：（2）解：，，兩個一次函數(shù)的解析式分別為，，當(dāng)時，對于x的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，即當(dāng)時，對于x的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，則畫出圖象為：由圖象得：當(dāng)直線與直線平行時符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時的夾角也符合題意，當(dāng)直線與直線平行時，，當(dāng)時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方時，，m的取值范圍為.【分析】（1）將點(2，1)代入y=-kx+3可得-2k+3=1，解得k=1，再將k=1與(2，1)代入y=kx+b，可求出b的值；

（2）由（1）中所求的k、b的值可求出兩個一次函數(shù)的解析式為y=x-1與y=-x+3，由題意可得當(dāng)x＞2時，對于x的每一個值，直線y=mx的圖象在直線y=x-1和直線y=-x+3的上方，畫出草圖，由圖象可得直線y=mx與y=x-1平行及直線y=mx與x軸的夾角大于直線y=x-1與x軸的夾角兩種情況都符合題意，進(jìn)而根據(jù)兩直線平行則比例系數(shù)k一樣可得m=1，再根據(jù)直線與x軸夾角越大其比例系數(shù)k的絕對值越大可得m＞1，綜上即可得出答案.23．某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.（1）初賽由10名數(shù)師評委和45名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）對評委給某位選手的打分進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.a.教師評委打分：b.學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）：c.評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評委m學(xué)生評委根據(jù)以上信息，回答下列問題：①m的值為，n的值位于學(xué)生評委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第組；②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為，則（填“>”“=”或“<”）；（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專業(yè)評委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：評委1評委2評委3評委4評委5甲乙丙k若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是，表中k（k為整數(shù)）的值為.【答案】（1）91；4；<（2）甲；【解析】【解答】解：（1）①從10名教師評委的打分可以發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)次數(shù)最多的是91分，出現(xiàn)了四次，

∴教師評委打分的眾數(shù)m=91；

根據(jù)直方圖，學(xué)生評委45為同學(xué)的打分從低到高排列后，排23位的成績在第4組，

故答案為：91；4；

②去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為

故答案為：＜；

（2）甲選手的平均數(shù)為×(93+90+92+93+92)=92，

甲選手的方差S2甲=×[2×(92-92)2+2×(93-92)2+（90-92）2]=1，

乙選手的平均數(shù)為×(91+92+92+92+92)=91.8，

乙選手的方差S2乙=×[4×(92-91.8)2+(91-91.8)2]=0.16，

∵甲選手的平均分高于乙選手的平均分，

∴甲的排序在乙的前面，

∵丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，

∴丙選手的平均數(shù)大于或等于乙選手的平均數(shù)，小于或等于甲選手的平均數(shù)，

∵5名專業(yè)評委給丙選手的打分為90，94，90，94，k

∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k≥91+92+92+92+92，

即92≥k≥91，

∵k為整數(shù)，

∴k=92或91，

當(dāng)k=92時，

丙選手的平均數(shù)為×(90+94+90+94+92)=92，

丙選手的方差為S2丙=×[2×(90-92)2+2×(94-92)2+（92-92）2]=3.2，

甲選手的平均分等于丙選手的平均分，丙選手的平均分大于乙選手的平均分，且丙選手的方差大于甲選手的方差，則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，這三位選手排序最靠前的是甲，符合題意；

當(dāng)k=91時丙選手的平均數(shù)為×(90+94+90+94+91)=91.8，

丙選手的方差為S2丙=×[2×(90-91.8)2+2×(94-91.8)2+（91-91.8）2]=3.36，

甲選手的平均分大于丙選手的平均分，丙選手的平均分等于乙選手的平均分，且丙選手的方差大于乙選手的方差，則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，不符合題意；

不符合題意.

故答案為：92.

【分析】（1）平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)之和，除以這組數(shù)的個數(shù)；眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，(眾數(shù)可能有多個)；中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)個時，則處在最中間的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)個時，則處在最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，據(jù)此求解即可；

（2）由題意可得丙選手的平均數(shù)大于或等于乙選手的平均數(shù)，小于或等于甲選手的平均數(shù)，據(jù)此建立不等式組求出k的取值范圍，再結(jié)合k是整數(shù)，分情況算出甲、乙、丙的平均數(shù)及方差，再比較即可得出結(jié)論.24．如圖，是的直徑，點C，D在上，平分.（1）求證：；（2）延長交于點E，連接交于點F，過點B作的切線交的延長線于點P.若，，求半徑的長.【答案】（1）證明：平分，，

又∵，，；（2）解：，，不妨設(shè)，，則，，，，，，，解得，取的中點M，連接，

∴，，，是的切線，，，解得x=

故半徑的長為.???????【解析】【分析】（1）由角平分線定義得∠AOC=2∠AOD，由圓周角定理得∠AOC=2∠B，則∠B=∠AOD，由同位角相等，兩直線平行，得OD∥BC；

（2）由題意設(shè)OF=5x，BF=6x，則OB=OF+BF=11x=OC=OE，OP=11x+1，由平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似得△OFE∽△BFC，由相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程可得，取BC的中點M，連接OM，由垂徑定理得OM⊥BC；由二直線平行，內(nèi)錯角相等，得∠OBM=∠POB，由切線的性質(zhì)得OB⊥PB，從而根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等并結(jié)合余弦函數(shù)的定義可建立方程求出x的值，得出答案.

25．小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當(dāng)1號杯和2號杯中都有VmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：cm）和2號杯的水面高度（單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：V/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與V，與V之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一部分水倒入1號杯中，當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.【答案】（1）解：由題意得，設(shè)V與h1的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，解得：，，當(dāng)時，，；

補(bǔ)全表格如下：V/mL040100200300400500/cm01.02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（2）解：根據(jù)表格所給出的數(shù)據(jù)，利用描點法畫出函數(shù)v關(guān)于h1的函數(shù)圖象及v關(guān)于h2的函數(shù)圖象如下：（3）1.2；8.5【解析】【解答】解：（3）①將v=320代入v=40h1，

得40h1=320，

解得h1=8；

由圖象可得當(dāng)v=320時，h2≈9.2cm，

∴當(dāng)1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為9.2-8=1.2cm；

故答案為：1.2；

②從圖象可得，當(dāng)兩個水杯中水面高度相同時，其水面高度約為8.5cm.

故答案為：8.5.

【分析】（1）根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)可得v與h1成正比例函數(shù)關(guān)系，從而利用待定系數(shù)法求出v關(guān)于h1的解析式，進(jìn)而將v=40代入計算可求出對應(yīng)的h1得值，據(jù)此補(bǔ)全表格即可；

（2）根據(jù)表格所給出的數(shù)據(jù)，將v的值作為點的橫坐標(biāo)，對應(yīng)的h1的值作為點的縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平行內(nèi)分別描出各點，再連線，即可得到v關(guān)于h1的函數(shù)圖象，同理可得v關(guān)于h2的函數(shù)圖象；

（3）①將v=320代入v=40h1，算出對應(yīng)的h1的值，再通過圖象讀出當(dāng)v=320時，對應(yīng)的h2的值，再求差即可；

②通過圖象在v=320的左右兩側(cè)分別找出h1=h2的值即可.26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求a的取值范圍.【答案】（1）解：把代入得，

，拋物線的頂點坐標(biāo)為；（2）解：由題意得y1=a×(3a)2-2a2×3a=3a3，

y2=ax22-2a2x2，

∵y1＜y2，

∴y2-y1=ax22-2a2x2-3a3=a(x22-2ax2-3a2)=a(x2-3a)(x2+a)＞0，

分兩種情況：①當(dāng)時，(x2-3a)(x2+a)＞0，

∴或解得x2＞3a或x2＜-a，

又∵3≤x2≤4，

∴3a＜3或-a＞4，

∴a＜1或a＜-4又，；

當(dāng)時，(x2-3a)(x2+a)＜0，

∴或解得3a＜x2＜-a，

又∵3≤x2≤4，

∴3a＜3且-a＞4，

解得a＜-4

綜上，當(dāng)或a＜-4，都有y1＜y2.【解析】【分析】（1）經(jīng)a=1代入y=ax2+2a2x得出拋物線的解析式，再將解析式配成頂點式可得頂點坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特點表示出y1與y2，利用作差法建立出x2與a的不等式組，由于a的值不確定，故需要分類討論，最后再根據(jù)取值范圍進(jìn)行取舍即可.27．已知，點B，C分別在射線，上，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點D作的垂線交射線于點E.（1）如圖1，當(dāng)點D在射線上時，求證：C是的中點；（2）如圖2，當(dāng)點D在內(nèi)部時，作，交射線于點F，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】（1）證明：連接，由題意得：，，，，，，，，，，，點C是的中點；（2）解：，證明如下：在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，，，，，又，，，，，，，，G是的中點，，，，，，，，，.【解析】【分析】（1）連接CD，由等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理可求出∠BDC=，則∠A=∠BDC，由等角對等邊得CA=CD，由等角得余角相等可推出∠1=∠2，再由等角對等邊得CD=CE，則CA=CE，據(jù)此可得結(jié)論；

（2）EF=2AC，證明如下：在射線AM上取點H，使得BH=BA，取EF的中點G，連接DG，由等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理推出，由等式性質(zhì)推出∠ABC=∠HBD，用SAS判斷出△ABC≌△BHD，由全等三角形的性質(zhì)得AC=HD，∠BHD=∠A=由角的構(gòu)成推出∠FHD=2a，由二直線平行，同位角相等得∠EFD=∠A=，∠EDF=∠3=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得GF=GD，EF=2GD，由等邊對等角及三角形外角性質(zhì)推出∠HGD=∠FHD=2，由等角對等邊得DG=DH，從而即可得出結(jié)論.28．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點C，給出如下定義：若點C關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部，且，則稱點C是弦的“可及點”.（1）如圖，點，.①在點，，中，點是弦的“可及點”，其中；②若點D是弦的“可及點”，則點D的橫坐標(biāo)的最大值為；（2）已知P是直線上一點，且存在的弦，使得點P是弦的“可及點”.記點P的橫坐標(biāo)為t，直接寫出t的取值范圍.【答案】（1）；45；（2）解：t的取值范圍是或.【解析】【解答】解：（1）①反過來思考，由相對運(yùn)動理解，作出⊙O關(guān)于AB的對稱圓⊙O'，∵若點C關(guān)于直線AB的對稱點C'在⊙O上或其內(nèi)部，且∠ACB＝α，則稱點C是弦AB的“α可及點”，∴點C應(yīng)在⊙O'的圓內(nèi)或圓上，∵點A（0，1），B（1，0），∴OA＝OB＝1，又∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，由對稱得：∠O'BA＝O'AB＝45°，∴△O'BA為等腰直角三角形，∴O'（1，1），設(shè)⊙O半徑為R，則，故C1在⊙O'外，不符合題意；

C2O'＝2﹣1＝1＝R，故C2在⊙O'上，符合題意；

故C3在⊙O'外，不符合題意，∴點C2是弦AB的“α可及點”，可知B，O'，C2三點共線，∵，∴，