福建省2024年中考真題數(shù)學試卷附真題解析

福建省2024年中考真題數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】【解答】解：-3，0是整數(shù)，是分數(shù)，它們都是整數(shù)，不是無理數(shù)；

是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù).故答案為：D.【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)的小數(shù)，常見的無理數(shù)有四類：①開方開不盡的數(shù)，②與π有關的數(shù)，③規(guī)律性的數(shù)，如0.101001000100001000001…（每兩個1之間依次多一個0）這類有規(guī)律的數(shù)，④銳角三角函數(shù)，如sin60°等，根據(jù)定義即可逐個判斷得出答案.2．據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數(shù)據(jù)69610用科學記數(shù)法表示為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：69610=6.961×104，故答案為：C.【分析】把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1，據(jù)此可得答案.3．如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓，圓內部中間有一個矩形.故答案為：C.【分析】根據(jù)從上邊向下看得到的正投影就是俯視圖，即可求解.4．在同一平面內，將直尺、含角的三角尺和木工角尺按如圖方式擺放，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：如圖：

∵AB∥CD，

∴∠CDB=∠ABF=60°，

∵CD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∴∠1=180°-60°-90°=30°．故答案為：A.【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠CDB=∠ABF=60°，結合平角及垂直定義即可求解.5．下列運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、a3?a3=a6，故此選項計算錯誤，不符合題意；

B、a4÷a2=a2，故此選項計算正確，符合題意；

C、（a3）2=a6，故此選項計算錯誤，不符合題意；

D、2a2-a2=a2，故此選項計算錯誤，不符合題意.故答案為：B.【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可判斷A選項；由同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可判斷B選項；由冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，可判斷C選項；由合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變，可判斷D選項.6．哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：列表如下：2352（2，3）（，2，5）3（3，2）（3，5）5（5，2）（5，3）共有6種等可能的結果，其中和是偶數(shù)的結果有：（3，5），（5，3），共2種，

∴和是偶數(shù)的概率為.

故答案為：B.【分析】先列表得出所有等可能的結果數(shù)以及和是偶數(shù)的結果數(shù)，再利用概率公式即可求解.7．如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵C為的中點，∠AOB=72°，

∴∠AOC=∠BOC=36°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠OAC=72°，

∵直線MN與⊙O相切，切點為C，

∴∠OCM=90°，

∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°，故答案為：A.【分析】根據(jù)等弧所對的圓心角也相等可得∠AOC=∠BOC=36°，根據(jù)等邊對等角和三角形內角和是180°可得∠ACO=∠OAC=72°，由切線的性質得∠OCM=90°，最后根據(jù)∠ACM=∠OCM-∠ACO即可求解.8．今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：（1+4.7%）x=120327.故答案為：A.【分析】根據(jù)今年第一季度社會消費品零售總額=去年第一季度社會消費品零售總額×（1+4.7%），即可列出關于x的一元一次方程.9．小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖．其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點分別是底邊的中點，．下列推斷錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵△OAB與△ODC關于直線l對稱，

∴∠AOB=∠COD，

∵點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，

∴，，

∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，

∵OE⊥OF，

∴∠BOE+∠BOF=90°，

∵∠BOE=∠DOF，

∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，

∴OB⊥OD，故A選項正確，不符合題意；

∵∠AOB與∠BOC的度數(shù)不能確定，

∴無法證明∠BOC與∠AOB的關系，故B選項錯誤，符合題意；

∵△OAB與△ODC關于直線l對稱，

∴△OAB≌△ODC，

又∵點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，

∴OE=OF，故C選項正確，不符合題意；

∵OB⊥OD，

∴∠BOC+∠COD=90°①，

∵OE⊥OF，

∴∠COF+∠EOC=90°，

∵∠COF=∠AOE，

∴∠AOE+∠EOC=90°，

∴OC⊥OA，

∴∠AOB+∠BOC=90°②，

①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，

即∠BOC+∠AOD=180°，故D選項正確，不符合題意.故答案為：B.【分析】根據(jù)軸對稱的性質得出∠AOB=∠COD，根據(jù)等腰三角形底邊上的中線和頂角的角平分線重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再結合OE⊥OF即可判斷A選項，根據(jù)軸對稱的性質得出△OAB≌△ODC，根據(jù)全等三角形對應邊上的中線相等可得OE=OF，即可判斷C選項，結合A選項中結論即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判斷D選項.10．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，則下列判斷正確的是（）A．可以找到一個實數(shù)，使得B．無論實數(shù)取什么值，都有C．可以找到一個實數(shù)，使得D．無論實數(shù)取什么值，都有【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函數(shù)解析式為y=x2-2ax+a（a≠0），

∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，頂點坐標為（a，a-a2），與y軸的交點為（0，a），當a＞0時，，則a-a2＜y1＜a，

當a＜0時，，則a-a2＜y1＜a，A和B選項說法錯誤；

由二次函數(shù)對稱性可知點（0，a）和點（2a，a）關于對稱軸對稱，且在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，

當a＞0時，0＜a＜2a＜3a，則y2＞a＞0；

當a＜0時，3a＜2a＜a＜0，則y2＞a，不一定大于0，C選項說法正確，D選項說法錯誤.故答案為：C.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得二次函數(shù)開口向上，對稱軸為x=a，頂點坐標為（a，a-a2），與y軸的交點為（0，a），結合二次函數(shù)的性質逐項分析即可求解.二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．因式分解：x2+x=【答案】x（x+1）【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．【分析】根據(jù)觀察可知原式公因式為x，直接提取可得．12．不等式的解集是．【答案】???????【解析】【解答】解：3x-2＜1，

3x＜1+2，

3x＜3，

x＜1，

∴不等式3x-2＜1的解集是：x＜1，故答案為：x＜1.【分析】根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟進行計算即可求解.13．學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學生測試成績的中位數(shù)是．（單位：分）【答案】90【解析】【解答】解：這12名學生測試成績從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)都是90，因此中位數(shù)是，故答案為：90.【分析】中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到?。┑捻樞蚺帕泻螅绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)個時，則處在最中間的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)個時，則處在最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，據(jù)此并結合條形統(tǒng)計圖提供的信息求解即可.14．如圖，正方形的面積為4，點分別為邊的中點，則四邊形的面積為．【答案】2【解析】【解答】解：連接HF、EG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC∥AD，BC=AD，

∵H、F分別為邊BC、DA的中點，

∴AH=BF，AH∥BF，

∴四邊形BFHA是平行四邊形，

∴AB=HF，AB∥HF，

同理可得：BC=EG，BC∥EG，

∵AB⊥BC，

∴HF⊥EG，

∴四邊形EFGH的面積是；

故答案為：2.

【分析】連接HF、EG，根據(jù)正方形的對邊平行且相等可得BC∥AD，BC=AD，根據(jù)一組對邊且相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊平行且相等得出AB=HF，AB∥HF，同理得出BC=EG，BC∥EG，推得HF⊥EG，根據(jù)對角線互相垂直的四邊形得面積等于兩對角線乘積的一半即可求解.15．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為．【答案】【解析】【解答】解：根據(jù)圓和反比例函數(shù)都是軸對稱圖形，得點A與B關于直線y=x對稱，

設直線AB的解析式為y=-x+b，

將點A（1，2）坐標代入得：2=-1+b，

解得：b=3，

∴直線AB解析式為：y=-x+3，

∵點A（1，2）在反比例函數(shù)圖象上，

∴反比例函數(shù)解析式為，

聯(lián)立方程組得：，

解得：，；

∴B（2，1），故答案為：（2，1）.【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)及圓的軸對稱性得出點A與B關于直線y=x對稱，根據(jù)互相垂直的直線比例系數(shù)乘積為“-1”根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，聯(lián)立方程組，解方程組求出點B的坐標.16．無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：，則．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】128【解析】【解答】解：如圖，

∵∠PDA=70°，∠PDQ=30°，

∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°，∠1=∠PDQ=30°，

∵AB∥QD，

∴∠BAD=∠ADQ=40°，

在Rt△ABD中，F(xiàn)=AD=400，∠ABD=90°，

∴F2=BD=AD?sin∠BAD=400?sin40°=400×0.64=256，

由題意可知，BD⊥DQ，

∴∠BDC+∠1=90°，

∴∠BDC=90°-∠1=60°，

在Rt△BCD中，BD=256，∠BCD=90°，

∴，故答案為：128.【分析】先求出∠ADQ=40°，∠1=30°，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠BAD=∠ADQ=40°，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出F2=256，求出∠BDC=90°-∠1=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求解.三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．計算：．【答案】解：原式．【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪：a0=1（a≠0）、負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)、如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根，先進行計算，再根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算即可.18．如圖，在菱形中，點分別在邊和上，且．求證：．【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，

在和中，

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴BE=DF【解析】【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等，對角相等可得AB=AD，∠B=∠D，根據(jù)兩角及其一角的對邊對應相等的三角形全等可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的對應邊相等即可證明.19．解方程：．【答案】解：原方程兩邊都乘（x+2）（x-2），

去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），

整理得：3x-10=2x，

解得：x=10，

檢驗：當x=10時，（x+2）（x-2）≠0，

故原方程的解為x=10.【解析】【分析】方程兩邊同時乘以(x+2)(x-2)約去分母將原方程化為整式方程，再解整式方程求出x的值，最后檢驗即可.20．已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校．在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有考生3000人，數(shù)學平均分為90分：乙類學校有考生2000人，數(shù)學平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學平均分；（2）若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明．【答案】（1）解：由題意，得A地考生的數(shù)學平均分為（分）．（2）解：不能，舉例如下：如B地甲類學校有考生1000人，乙類學校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學平均分為．因為，所以不能判斷B地考生數(shù)學平均分一定比地考生數(shù)學平均分高．【解析】【分析】（1）根據(jù)若n個數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權分別是w1，w2，w3，…，wn，則（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做這n個數(shù)的加權平均數(shù)列式計算即可求解；

（2）根據(jù)加權平均數(shù)的意義舉例解答即可.21．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．【答案】（1）解：（1）將A（-2，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c，

得，解得，所以，二次函數(shù)的表達式為y=x2+x-2.（2）解：設P（m，n），因為點在第二象限，所以m＜0，n＞0，依題意，得，

即，

∴．由已知，得，所以，由，解得：m1=-3，m2=2（舍去），所以點坐標為.【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

（2）設P（m，n），根據(jù)同底邊三角形的面積比就是對應底邊上高的比求得n=4，代入二次函數(shù)解析式求得點P的橫坐標，即可求解.22．如圖，已知直線．（1）在所在的平面內求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．【答案】（1）解：所以直線就是所求作的直線．（2）解：①當∠BAC=90°，AB=AC時，

∵l∥l1∥l2，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：，，．②當時，分別過點作直線的垂線，垂足為，

．∵l∥l1∥l2，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③當時，同理可得，．

綜上所述，的面積為1或．【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作圖方法，過直線l1上任意一點作l1的垂線，再根據(jù)垂直平分線的作法即可作出直線l；

（2）分①當∠BAC=90°，AB=AC時，②當∠ABC=90°，BA=BC時，③當∠ACB=90°，CA=CB時，三種情況畫出圖形，結合等腰直角三角形性質及三角形的面積公式計算即可.23．已知實數(shù)滿足．（1）求證：為非負數(shù)；（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．【答案】（1）證明：因為，所以b=a（3m+n），c=amn，則．因為a，m，n是實數(shù)，

所以，所以為非負數(shù)．（2）解：不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．①當都為奇數(shù)時，則必為偶數(shù)．又，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．②當為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則必為偶數(shù)．又因為，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．綜上所述，不可能都為整數(shù)．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可得b=a（3m+n），c=amn，將其代入原式進行因式分解，可得原式=a2（3m-n）2，結合a，m，n是實數(shù)，即可證明；

（2）根據(jù)若m，n都為整數(shù)的情況：①m，n都為奇數(shù)、②m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)、分別進行分析即可求解.24．在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（）圖4A． B．C． D．（3）今有三種不同型號的矩形卡紙，其規(guī)格、單價如下表所示卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）【答案】（1）解：2.（2）C（3）解：需要卡紙如表所示；理由如下：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5cm，則要制作一個邊長為10cm的正方體的展開圖形為：

型號Ⅰ卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖：

型號Ⅱ卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖：

∴型號Ⅲ卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖：∴可選擇型號Ⅲ卡紙2張，型號Ⅱ卡紙3張，型號Ⅰ卡紙1張，則10×2+2×3+1×1=27（個），

∴所用卡紙總費用為：20×2+5×3+3×1=58（元）.【解析】【解答】解：如圖：

上述圖形折疊后變成如圖：

由折疊和題意可知，GH=AE+FB，AH=DH，

∵四邊形EFNM是正方形，

∴EM=EF，即AG=EF，

∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，

∵AH=DH，

∴，

∴的值為2；

（2）根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應面上，“祥”和“意”在對應面上，而對應面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，

∴C選項符合題意，

故答案為：C.

【分析】（1）由折疊和題意可知，GH=AE+FB，AH=DH，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得EM=EF，推得AG=EF，即可求解；

（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；

（3）由題意可得，每張型號Ⅲ卡紙可制作10個正方體，每張型號Ⅱ卡紙可制作2個正方體，每張型號Ⅰ卡紙可制作1個正方體，即可求解.25．如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．（1）求的值；（2）求證：；（3）求證：與互相平分．【答案】（1）解：，且是的直徑，，，在中，．，在中，．，

．（2）證明：過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M，∴∠BAE=∠ABM，∠AEO=∠BMO=90°．

∵AO=BO，

∴△AOE