2025年中考數(shù)學總復習《線段問題（旋轉(zhuǎn)綜合題）》專項檢測卷附答案

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《線段問題（旋轉(zhuǎn)綜合題）》專項檢測卷附答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．在中，，，根據(jù)題意完成下列問題：(1)如圖①，點為內(nèi)的點，連接，，，將繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得．連接，，若，，，求證：．(2)如圖②，若點是中斜邊上的點（點不與點、重合），試求、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．在中，，以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)，得到；再以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)，得到；連結(jié)，

(1)如圖，若，，求的長；(2)如圖，，探究與的位置關(guān)系，并說明理由．3．在中，，點D是線段上的動點（不與點B，C重合），將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)連結(jié)，證明：．(2)在線段延長線上取一點F，滿足，作點E關(guān)于直線的對稱點G，連接，，補充圖形，直接寫出的大小，并說明理由．4．如圖1，在中，，，點D在上，交于點E，F(xiàn)是中點．(1)線段與線段的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是_____；(2)如圖2，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與線段的關(guān)系是否發(fā)生變化？寫出你的結(jié)論并證明；(3)將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果，，直接寫出線段長的取值范圍_______．5．如圖1，已知、都是等腰直角三角形，，，E為的中點，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角，如圖2，連接．(1)求證：；(2)當時，求的值；(3)當A、D、E三點在同一直線上時，求的長．6．如圖，已知點是等邊內(nèi)一點，且，，．(1)求的度數(shù)；以下是甲，乙，丙三位同學的談話：甲：我認為這道題的解決思路是借助旋轉(zhuǎn)，我選擇將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°或繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°；乙：我也贊成旋轉(zhuǎn)，不過我是將進行旋轉(zhuǎn)；丙：我是將進行旋轉(zhuǎn)．請你借助甲，乙，丙三位同學的提示，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蟮亩葦?shù)；(2)若改成，，，的度數(shù)＝______°，點到的距離為______；類比遷移：(3)已知，，，，，，求的度數(shù)．7．在中，，，為平面內(nèi)的一點．(1)如圖1，當點在邊上時，，且，求的長；(2)如圖2，當點在的外部，且滿足，求證：；(3)如圖3，，當、分別為、的中點時，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)角為，直線與的交點為，連接，直接寫出旋轉(zhuǎn)中面積的最大值．8．如圖，在中，，，于點D．點G是射線AD上一點，過G作分別交AB、AC于點E、F：

(1)如圖①所示，若點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當點G與點D重合時，求證：；(2)如圖②所示，當點G在線段AD外，且點E與點B重合時，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)當點G在線段AD上時，請直接寫出的最小值．參考公式：9．已知，在中，，，E是邊上一點．(1)如圖1，點D是邊上一點，連接，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接．若，，求的面積；(2)如圖2，連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，取的中點N，連接．證明：；(3)如圖3，已知，連接，P為上一點，在的上方以為邊作等邊，剛好點Q是點P關(guān)于直線的對稱點，連接，當取最小值的條件下，點G是直線上一點，連接，將沿所在直線翻折得到（與在同一平面內(nèi)），連接，當取最大值時，請直接寫出的值．10．在中，，是上一點．(1)如圖1，是中點，，，，求線段的長度；(2)如圖2，，點在線段上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點，當時，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，在（2）的條件下，點在上，點在上，，連接，若，直接寫出的最小值．11．在中，，，點是邊上的一動點．是邊上的動點．連接并延長至點，交于，連接．且，．

(1)如圖1，若，，求的長．(2)如圖2，若點是的中點，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作△，取的中點為，連接．當最大時，直接寫出的值．12．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系

(1)思路梳理：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由，得，，即點F、D、G共線，易證_________，故之間的數(shù)量關(guān)系為_________．(2)類比引申：如圖2，點E、F分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并給出證明．(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在中，，點D、E均在邊上，且．若，直接寫出和的長．13．在中，，，，點是邊上任意一點，點是直線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．

(1)如圖1，，，點在射線上，求的長；(2)如圖2，，于點，，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：(3)如圖3，，點在射線上，點是上一點且滿足，連接，直接寫出當最小時，點到的距離．14．如圖所示，等腰直角中，．(1)如圖1所示，若D是內(nèi)一點，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，，則線段、的關(guān)系為______；(2)如圖2所示，若D是外一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，且，求證：；(3)如圖3所示，若是斜邊的中線，為下方一點，且，，，求出的長．15．如圖，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α到，點D是平面內(nèi)一點，連接，，，，且．

(1)如圖1，當時，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當時，探究是否為定值，并說明理由；(3)當，，時，請直接寫出的長．參考答案1．(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)平行線的判定定理得到；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴，∵將繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得，∴，，∴，∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：，理由：將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，則，，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)平行，理由見詳解【分析】（1）通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，和，證明四邊形為正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出．（2）過點作交于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，易證，因為，所以四邊形為平行四邊形，故可得出．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得當時，，∴四邊形為矩形，∵旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴四邊形為正方形，∴．∴的長為．（2）與的位置關(guān)系是平行．理由：如圖，過點作交于點，

則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．∴與的位置關(guān)系是平行．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．(1)見詳解(2)【分析】（1）連接并延長，交于點M，取中點N，連接，由等腰三角形的“三線合一”得到，，可證明，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求證；（2）在射線上取點H，使得，連接，先證明，則可得，再證明，則，繼而，可證明，因此，可證明，繼而求解．【詳解】（1）證明：連接并延長，交于點M，取中點N，連接，由題意得，，∵中點為點N，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即：；（2）解：，在射線上取點H，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴∵點E與點G關(guān)于對稱，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)＝，⊥；(2)線段與線段的關(guān)系不發(fā)生變化．證明見解析；(3)．【分析】（1）由直角三角形斜邊中線定理即可證明，進而可證；（2）如圖，延長到M使得，延長到N，使得，連接、、、，延長交于H，交于O，證明，推出，再利用三角形中位線定理即可解決問題；（3）分別求出的最大值、最小值即可解決問題．【詳解】（1）∵，，∴，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，，故答案為：＝，⊥；（2）線段與線段的關(guān)系不發(fā)生變化．理由如下：如圖，延長到M使得，延長到N，使得，連接、、、，延長交于H，交于O，

∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，同理可證，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，，同理可證，，∴，∵，，∴，∴，∴，；（3）如圖2，連接．

∵，∴如圖3時取得最大值時，點E落在上時，

∵，，∴，∵，∴，∵點F是的中點，∴，∴的最大值；如圖4中，當點E落在的延長線上時，的值最小，

∵，，∴，∵點F是的中點，∴，∴的最小值，綜上所述，．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊的關(guān)系，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．5．(1)見解析(2)(3)長為或．【分析】此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，判斷出是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）先判斷出，再判斷出夾角相等，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出是等邊三角形，進而判斷出，求出，借助（1）的結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況：先判斷出，利用勾股定理求出，進而得出，最后借助（1）結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，，，，，同理：，，，，，，；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)前，點是的中點，，在中，取的中點，連接，，，由旋轉(zhuǎn)知，，是等邊三角形，，，，，，，由（1）知，，，；（3）①當點在線段上時，如圖3，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，，，由（1）知，，，；②當點在線段的延長線上，如圖4，同①的方法得，，，由（1）知，，，，即：滿足條件的長為或．6．(1)(2)，4.(3)【分析】（1）甲：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，分別計算與的度數(shù)即可得到的度數(shù)．乙：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，分別計算與的度數(shù)即可得到的度數(shù)．（2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性質(zhì)可求點到的距離；（3）利用（1）中的方法，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，同理可得，，由此即可求出．【詳解】（1）解：（1）選擇甲：如圖1，作，且，連接，，則是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，；乙：如圖2，同理可得，，，；丙：如圖3同理可得，，，；（2）同理（1）可得：，∴，如圖4，過點作的垂線，垂足為，∴，∴，故答案為：，4.（3）如圖5，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，∴，，，∴，，∴，∴【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進行計算求解．7．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）將沿折疊，得到，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求解即可；（2）過作，且，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求解即可；（3）連接交于G，證明出，得到，然后證明出為直角三角形，點P在以中點M為圓心，為半徑的圓上，連接交所在直線于點N，當時，點P到直線的距離最大，然后利用三角形中位線和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，將沿折疊，得到，連接，

∵，∴，將沿折疊，得到，∴∴，，，∴，∴為等邊三角形，為等腰直角三角形∴，∴；（2）如圖，過作，且，連接，

∵∴，又∵，∴∴又∵，∴，，即，，∴∴；（3）如圖3，連接交于G點∵繞A點旋轉(zhuǎn)∴，，∵∴∴∴∵∴∴為直角三角形∴點P在以中點M為圓心，為半徑的圓上，連接交所在直線于點N，當時，點P到直線的距離最大，∵∴A、P、B、C四點共圓∵，∴N是的中點∵M是的中點∴∵，∴，∴，∴，∴點P到所在直線的距離的最大值為．∴的面積最大值為．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線性質(zhì)，四點共圓性質(zhì)，勾股定理等知識，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．8．(1)證明見詳解(2)，理由如下(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求證；（2）過點作上交延長線于點，由等腰直角三角形可得，，由““可證，可得，可得結(jié)論；（3）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點作，交的延長線于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則當點，點，點，點共線時，的值最小，最小值為的長，由角所對直角邊是斜邊一半和勾股定理可求解．【詳解】（1）解：由題：在中，，，于點，,則也是上的中點，即是的垂直平分線，，，，，，，．（2），理由如下：如圖1，過點作交延長線于點，AI

，，，，，，，，，，又，，，．（3）如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點作，交的延長線于點，

，，，，，，是等邊三角形，，，當點，點，點，點共線時，的值最小，最小值為的長，，，，，，，的最小值為：．【點睛】考查綜合運用旋轉(zhuǎn)的知識作輔助線證明的能力，用旋轉(zhuǎn)的知識解決幾何最值問題，對于與等腰直角三角形有關(guān)的證明題往往要進行圖形的旋轉(zhuǎn)，把要證明的要素集中到一個熟悉的圖形中進行，最值問題常常要通過軸對稱和旋轉(zhuǎn)把要求的線段之和或差轉(zhuǎn)化為俱有固定端點的折線，然后據(jù)兩點之間線段最短來解決．9．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明，可得，由三角形的面積公式可求解；（2）作輔助線如解析圖，證明，可得，進一步可得，證明，可得，從而可得結(jié)論；（3）作輔助線如解析圖，可得當點，P，N三點共線時，有最小值，由折疊的性質(zhì)可得，進而得點K在以C為圓心，為半徑的圓上運動，可得當點K落在的延長線上時，有最大值，然后由直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：如圖1，過點F作直線于H，

∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴的面積；（2）證明∶如圖2，過點M作，交直線于點G，過點E作，交于Q，

∵，∴，∵點N是的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，作點C關(guān)于的對稱點，連接，

∵點Q是點P關(guān)于直線的對稱點，∴平分垂直平分，∵是等邊三角形，∴，∴，∵點C與點關(guān)于對稱，∴，∴，∴為等邊三角形，∵，∴當點，P，N三點共線時，有最小值，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴點K在以C為圓心，為半徑的圓上運動，∴當點K落在的延長線上時，有最大值，∵為等邊三角形，，∴垂直平分，∵，∴，∵，，∴，，

∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，確定點P的位置是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過點E作交于點G，由題意得到，利用勾股定理得到，根據(jù)是中點，，得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，，即可求出的長；（2）延長，在延長線上截取，取的中點Q，連接，證明，得到，設，則，根據(jù)點C，Q分別為的中點推出，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，推出是等腰三角形，故得到，即可得出結(jié)論；（3）連接，取的中點P，連接，將繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點P作，交于點S，交于點T；根據(jù)是等腰直角三角形，得，利用勾股定理求得，則，由題意證明，得到，進而得到，是等腰直角三角形，推出，，此時當點N與點T重合時，有，有最小值，則有最小值，最后根據(jù)，利用銳角三角函數(shù)求解出的長即可得出的長，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過點E作交于點G，

，，，即，，，即，，，是中點，，，，是等腰三角形，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長，在延長線上截取，取的中點Q，連接，

線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，設，則，點C，Q分別為的中點，，，，是等腰三角形，，，，即；（3）解：如圖，連接，取的中點P，連接，將繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點P作，交于點S，交于點T；

是等腰直角三角形，點P是的中點，，，，，，，則，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，如圖，此時當點N與點T重合時，有，有最小值，則有最小值，

，在中，，，，都是直角三角形，，，設，則，，，，，，，即，解得：，，．【點睛】本題考查了三角形綜合問題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，解直角三角形，正確構(gòu)造輔助線，證明三角形全等和構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解等腰三角形求得，解斜三角形，求得，證明，進而求得結(jié)果；（2）作于，作于，連接，作交的延長線于，由得出，證明可得，解斜三角形可得，進而得出和的關(guān)系，進一步求得結(jié)論；（3）可得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當點運動到的延長線交的處時，最大，然后解直角三角形和斜三角形，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，

作于，作交的延長線于，，，，，在四邊形中，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖2，

作于，作于，連接，作交的延長線于，由（1）知：，，，，點是的中點，，，，，，點、、、共圓，，，，，，在中，，在和中，，，，，，，設，則，在中，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，

由（2）得：，點是的中點，，，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當點運動到的延長線交的處時，最大，設，，，，，，，在中，，，，，，，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)綜合題，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理了、三角函數(shù)等．第三問的難度較大，確定動點的運動軌跡是解題關(guān)鍵．12．(1)，(2)，證明見解析(3)，【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，計算，即點、、共線，再根據(jù)證明，得，可得結(jié)論；（2）作輔助線：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，所以；（3）同理作輔助線：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，先由勾股定理求的長，證明，求出，，繼而得到，過A作，垂足為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，可得，利用勾股定理可得．【詳解】（1）解：如圖1，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，即點、、共線，四邊形為矩形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：，；（2）如圖2，，理由是：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則在上，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，連接，，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，．，，，，過A作，垂足為，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過類比聯(lián)想，引申拓展，可達到解一題知一類的目的，本題通過旋轉(zhuǎn)一三角形的輔助線作法，構(gòu)建另一三角形全等，得出結(jié)論，從而解決問題．13．(1)；(2)，理由見解析；(3)．【分析】（1）過點作于點，由旋轉(zhuǎn)及等腰直角三角形的性質(zhì)得，，，，，進而求得，然后分別在、和中，解直角三角形即可得解；（2）如圖，過點作，交的延長線于點，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而得最后證明，，即可得解；（3）如圖，在、上分別取點、，使得，則，連接，延長到，使得，連接，先證、和都是等邊三角形，得，，，，進而證明，得，由三角形相似得，于是有點在等邊的外接圓的上運動，如圖，連接、，分別過、作，于點、，則，利用解直角三角形及勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：過點作于點，

∵，，，點是邊上任意一點，點是直線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，，∴，，，，∴，∵，∴，在中，，即，解得，∴，在中，，即，∴，在中，，即，解得；（2）解：，理由如下：如圖，過點作，交的延長線于點，

∵，∴，，∵，∴，化簡得，∵，，，點是邊上任意一點，點是直線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，，即，∴，∵在和中，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴；（3）解：如下圖，在、上分別取點、，使得，則，連接，延長到，使得，連接，

∵，，，點是邊上任意一點，點是直線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，，∴和都是等邊三角形，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∵，即，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點在等邊的外接圓的上運動，如圖，連接、，分別過、作，于點、，則，

∴，∵，∴，∵，，∴，∴即，解得，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及解直角三角形等知識，綜合性較強，根據(jù)題意，作出相應輔助線是解題的關(guān)鍵．14．(1)垂直且相等(2)見解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，然后由證，即可得出結(jié)論；（2）連接、，交于點，交于點，連接，證，得，再證，則，然后由等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（3）過點作，且，連接、，并延長交于點，交于點，連接，證，得，，再證，則是等腰直角三角形，得，設，則，然后在中，由勾股定理得出方程，解