浙江專用2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題3.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值講含解析

PAGEPAGE1第03講利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值，最值講1.了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.2.高考預(yù)料：（1）以探討函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象等相結(jié)合，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢．（2）單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合探討函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)；（3）適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問題.3.備考重點(diǎn)：（1）嫻熟駕馭導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是基礎(chǔ)；（2）嫻熟駕馭利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，敏捷運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題.學(xué)問點(diǎn)1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的微小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a旁邊其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a旁邊的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b旁邊的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b旁邊的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．微小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和微小值統(tǒng)稱為極值．【典例1】（2024年文北京卷）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得微小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所?，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在x=1處取得微小值.若，則當(dāng)時(shí)，，所以.所以1不是的微小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.隨x的改變狀況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.①當(dāng)，即a=1時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當(dāng)，即0<a<1時(shí)，隨x的改變狀況如下表：x1+0?0+↗極大值↘微小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的改變狀況如下表：x+0?0+↗極大值↘微小值↗∴在x=1處取得微小值，即a>1滿意題意.（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.隨x的改變狀況如下表：x?0+0?↘微小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.【規(guī)律方法】求函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的全部根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，假如左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，假如左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取微小值．【變式1】（2024·北京高三期末（理））已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在處的切線方程為，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的極值．【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)樵谔幍那芯€方程為.所以，解得.（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以，①?dāng)，即時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞增；所以在無極值；②當(dāng)，即時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以在無極值；③當(dāng)，即時(shí)，改變?nèi)缦卤恚?0+單調(diào)遞減↘微小值單調(diào)遞增↗因此，的減區(qū)間為，增區(qū)間為．所以當(dāng)時(shí)，有微小值為，無極大值.學(xué)問點(diǎn)2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．【典例2】(2024北京，理19)已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【規(guī)律方法】求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．【變式2】（2024·天津高三期中（理））已知函數(shù)在處有極值.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）在時(shí)，求函數(shù)的最值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值為2，最小值為.【解析】(Ⅰ)由函數(shù)的解析式可得：，則，即：，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，，令可得或，由于：，，，故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為.考點(diǎn)1函數(shù)極值的辨析【典例3】（2024·浙江高考模擬）已知a＞0且a≠1，則函數(shù)f(x)＝(x－a)2lnx（）A．有極大值，無微小值B．有微小值，無極大值C．既有極大值，又有微小值D．既無極大值，又無微小值【答案】C【解析】由題意，，由，得或，由方程，結(jié)合函數(shù)圖象，作出和的圖象，結(jié)合圖象得和的圖象有交點(diǎn)，∴方程有解，由此依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系得到：函數(shù)既有極大值，又有微小值具有極大值，也有微小值，故選C.【易錯提示】（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．【變式3】（2024·吉林省試驗(yàn)高三期中（文））設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在R上圖象連續(xù)且存在唯一極值，若在x＝2處，f(x)存在極大值，則下列推斷正確的是()A．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.B．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.C．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.D．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【答案】A【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在處存在唯一極大值，∴當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故選A．考點(diǎn)2已知函數(shù)求極值點(diǎn)的個數(shù)【典例4】（2024·河南高考模擬（文））已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù).【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）依題意，，故，又，故所求切線方程為.（2）依題意.令，則，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，恒成立，.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故存在和，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的微小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個極值點(diǎn).【易錯提示】極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不肯定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號．【變式4】（2024·全國高考模擬（理））設(shè)，則函數(shù)（）A．僅有一個微小值B．僅有一個極大值C．有多數(shù)個極值D．沒有極值【答案】A【解析】，得.設(shè)，則.即為增函數(shù)，且.所以當(dāng),則單調(diào)遞減；當(dāng),則單調(diào)遞增，且.所以函數(shù)僅有一個微小值.故選A.考點(diǎn)3已知函數(shù)求極值（點(diǎn)）【典例5】（2024·山東高考真題（文））已知函數(shù).(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(II)設(shè)函數(shù),探討的單調(diào)性并推斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（Ⅱ）因?yàn)椋?，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是，當(dāng)時(shí)取到微小值，微小值是.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，無極大值也無微小值.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是；當(dāng)時(shí)取到微小值，微小值是.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有微小值，極大值是，微小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有微小值，極大值是，微小值是.【總結(jié)提升】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的全部根；④檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號,假如左正右負(fù),那么f(x)在x0處取極大值,假如左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取微小值．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y＝f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．【變式5】（2024·浙江高三開學(xué)考試）已知函數(shù)（1）推斷的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極值，求這些極值的和的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，令．，即時(shí)，恒成立，此時(shí)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；，即或時(shí)，有不相等的兩根，設(shè)為（），則，．當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在和上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．（2）對函數(shù)求導(dǎo)得.因?yàn)榇嬖跇O值，所以在上有解，即方程在上有解，即.明顯當(dāng)時(shí)，無極值，不合題意，所以方程必有兩個不等正根.設(shè)方程的兩個不等正根分別為，則，由題意知，由得，即這些極值的和的取值范圍為．考點(diǎn)4已知極值(點(diǎn))，求參數(shù)的值或取值范圍【典例6】（2024·北京高考真題（文））設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得微小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所?，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在x=1處取得微小值.若，則當(dāng)時(shí)，，所以.所以1不是的微小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.隨x的改變狀況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.①當(dāng)，即a=1時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當(dāng)，即0<a<1時(shí)，隨x的改變狀況如下表：x1+0?0+↗極大值↘微小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的改變狀況如下表：x+0?0+↗極大值↘微小值↗∴在x=1處取得微小值，即a>1滿意題意.（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.隨x的改變狀況如下表：x?0+0?↘微小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.【規(guī)律方法】由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍．探討極值點(diǎn)有無(個數(shù))問題，轉(zhuǎn)化為探討f′(x)＝0根的有無(個數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特殊留意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不肯定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號．【變式6】（2024·江西省撫州市第一中學(xué)高三期末（文））已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，令，若，是的兩個極值點(diǎn)，且，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）t.【解析】（Ⅰ）由，，則當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ），故，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，不滿意有兩個極值點(diǎn)，故.令，得,，又有兩個極值點(diǎn)；故有兩個根.故且或；且為微小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn).故令，由或得令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故，則時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故，則時(shí)；綜上所述：考點(diǎn)5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【典例7】（2024·全國高考真題（文））已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)見詳解；(2).【解析】(1)對求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)當(dāng)時(shí)從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是.若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，而，所以.即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.【易錯提示】求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要探討其極值狀況，還要探討其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值狀況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象視察得到函數(shù)的最值．【變式7】（2024·新疆高考模擬（文））已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．Ⅰ當(dāng)時(shí)，求的最小值；Ⅱ當(dāng)時(shí)，求在上的最小值．【答案】（I）；（II）【解析】（I）時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，取得最小值（II），令得作出和的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增的最小值為考點(diǎn)6依據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值（范圍）【典例8】（2024·北京高考模擬（理））已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求在上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：在上存在最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅲ）詳見解析.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以則，，所以切線方程為（Ⅱ）令，即，，得當(dāng)改變時(shí)，改變?nèi)缦拢?減最小值增所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為（Ⅲ）因?yàn)椋粤?，則因?yàn)?，所以所以即在?nèi)有唯一解當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以，又因?yàn)樗栽趦?nèi)有唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在處取得最小值即時(shí)，函數(shù)在上存在最小值【易錯提示】求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參