《微積分》課后習(xí)題答案詳解八

習(xí)題八

（A）

I.用級數(shù)收斂的定義或級數(shù)的性質(zhì)判斷下列級數(shù)的斂散性:

888

(1)T(VM+7-A/M)；(2)S----；(3)5cos—；

乙乙(3“-1)(3〃+2)乙2n

n=ln=ln=l

(4)J￡卑3"：(5)yJ—1^00―//-7：(6)yJ00.001

n=in=ln=i

00

解：(1)(>//1—1-->[n)=>/2—1+—V2+...+V?+1—+...=V/7+T—1

〃=l

因?yàn)閘im(J〃+l-1)-QC

X-XD

所以發(fā)散.

8

11VZ1I.IJII1II

(2)7-------------=—/(-------------)=—(-----+-----+...+

乙(3，LlX3〃+2)3-3/J-13〃+2325583〃-13〃+2)z%=。

〃=1"=1n=\

1J1、1

lim—(---------)=—

x->oo323〃+26

所以收斂.

⑶￡cos畀

J〃=|2〃

因?yàn)閘imcos—=1*0

In

所以發(fā)散.

⑷t罕=￡（苧”

n=\~w=l

所以是等比數(shù)列，又因?yàn)椤?苧

所以收斂.

00

（5）y---

占I。?！?/p>

因?yàn)閘im-------=----H0

x->oo100M-7100

所以發(fā)散.

⑹上高

因?yàn)閘im；------=1^0

XT840.001

所以發(fā)散.

2.證明：若正項(xiàng)級數(shù)收斂，則級數(shù)￡襦必收斂.并舉例說明其逆命題不成立.

解：因?yàn)樗源嬖诋?dāng)”>〃時(shí)

limun=0|M;J|<I

所以存在當(dāng)時(shí)，〃〃之“廣

又因?yàn)椤?收斂，所以如4收斂。

n=l.1=1

例如：=4

n〃/

￡4■收斂，而之［發(fā)數(shù)

w=l"n=l

所以其逆命題不成立。

3.證明：若級數(shù)￡*與￡說都收斂，則正項(xiàng)級數(shù)之小編，￡M+%）2,￡耳也

n=ln=i/i=lzi=ln=l

收斂.

解：因?yàn)?心（『+■）且宜（a1%）

n=l

所以才|%%|收斂

n=\

g

因?yàn)椋▋?V,,）2<（M；+vJ）且￡焉+*

所以力Y+吟收斂.

n=l

因?yàn)閲鴊*且1/收斂.

nJ

n=\

所以㈣收斂.

n

4.證明：若級數(shù)￡〃“與￡%都收斂，且存在整數(shù)N使得當(dāng)〃AN時(shí)不等式成立

n=ln=l

%￡%?孫

成立，則級數(shù)￡。〃必收斂.

W=1

若級數(shù)￡““與之％都發(fā)散，且存在正整數(shù)N使得當(dāng)〃>N時(shí)不等式成立

n=l

%V%41。

成立,試問級數(shù)￡%是否必發(fā)散？

〃=1

解：證明：

因?yàn)橹啊笆諗壳抑甀，”收斂.

n=lw=l

所以Z-%）收斂，所以Z-％+vn）收斂

n=ln=l

所以￡即收斂.

n=l

例如：￡%=-1發(fā)散，2""=】發(fā)散，￡%=。收斂.

n=ln=ln=l

所以級數(shù)Z跖未必發(fā)散.3SSS

n=i

5.已知正項(xiàng)級數(shù)z"〃與￡%都發(fā)散，試問正項(xiàng)級數(shù)tmax%。，4},￡min{““，/}是

w=ln=ln=l〃=1

否也發(fā)散？說明理由.

解：由比較判別法知正項(xiàng)級數(shù)￡max{〃”.心}必發(fā)散，但￡minE，%}未必發(fā)散,例如:

n=lH=\

1,〃是奇數(shù)，

令斯，V,,=1-//?

0,一是偶數(shù),

則min{〃“,7=0（Vn）}.

6.利用比較判別法及其極限形式判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：

（1）y（2）y3',in—；（3）y——-——；

I閃￡S4〃勺（2〃-IX"2）

少?“.

因?yàn)椤晖潦前l(fā)散的.

〃=1

所以之味是發(fā)散的.

/|=|

”+1

（3-一〃-1）2

又因?yàn)椤阯

（6）lim----8------3,收斂.

TOO（3/r-（3〃2一“一1）”

"/|=1

所以原級數(shù)收斂.

（沙I（箭”（為1

（7）——+-------

1----

16

因?yàn)橐?！?女（女為常數(shù)）且[1-（義）〃]收斂.

[]_（m〃]16

16

所以原式也收斂.

,1

r=￡00-―7?00

（8）￡yq

（〃+2）J〃々n+2-n+2

n=l、'------H=1W=1

因?yàn)椤晏?hào)收斂，所以原式收斂.

71=1

（9）f^<y±

（E〃）"￡〃”

因?yàn)橹諗?/p>

n=l4"

所以3收斂.

9On〃）〃

（10）當(dāng)ao時(shí)，工發(fā)散.當(dāng)”1時(shí)，-^-<y4

y—2Jy]+an七?M

/i=ln=\內(nèi)=1

06

因?yàn)椴稽c(diǎn)收斂,所以斗六

當(dāng)時(shí)，y--發(fā)散.

￡八1

所以當(dāng)“21收斂，當(dāng)a<l時(shí)發(fā)散.

7.利用比值判別法及根值判別法判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:

oo々oo

⑴z筌■⑶*

Q)學(xué)⑷Z7

￡4/rW=1I

〃=1n=ln=\2+-

n

80/.\n8

Y—]

⑸Z會(huì)（其中常數(shù).3；(6)n

hEl"

⑺E(w

n=l(lnM+l)]

800

(8)2?12?22…(10”-2)2000

￡十；(9)X(10)

⑵J+D"〃!

"=l..nn=ln=l

(〃+l+l"(”+1+1)3

解：⑴1而(〃+為<lim(〃+)<1

“f8+"f8(〃+1"

n\n\

所以收斂.

3叫〃+1)!

(2)lim皿=limS+!嚴(yán)=lim3(—),r=->1

unn->oo3”〃！"TOOn4-1e

所以發(fā)散.

K"+l過

「"〃+l[4〃+1)3

(3)lim=------=------------=oo

”f?un(〃!)“〃+l

才

所以發(fā)散.

所以是收斂的.

⑸lim"J—=Iim-=O<1

“TooYH->00n

所以收斂.

(6)linjQ巧二<1

n->ooV3〃-43

所以收斂.

(7)limJ------------=lim------------=0<I

…叫[ln(z?+1)"]〃->8ln(?i+1)

所以收斂.

(8)lim(〃+?向=e<l所以發(fā)散.

n->o>]

1+-

nn

212-22-(10n-2)..1.

(9)lim/)---------------=lim------=0n<1

n->coy(2n+l)nn-xc2n+1

所以收斂.

2000〃+l

z(n+1)!2000八,

(1i0m)lim-----=lim----=0<1

“廿2000“n+1

〃！

所以收斂

8.判別下列交錯(cuò)級數(shù)的斂散性，當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)要確定級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂:

8

(-1)1(-If-1（3）y（-：尸

(1)(2)X

M+i3/1-2

n=\/?=1

0（5）y（-1尸五

(4)(_尸2〃+l⑹￡“中

n(n+1)n—I

z〃=|

n=\W=1

oo8____

/八?！?1?兀2

(7)z㈠）戶嗎;(8)ZsinnV/1+1;

〃二1n=\

(9)

4i-4iV3+V2\4-V2V4+V2V5-V2V5+V2

111

(10)I--+3+2s+2n+,+

32323+2'13

解：⑴lim一一=0且一一>---4

M-XX+]M+i(n+|/+l

需又因?yàn)镹

所以￡M也收斂.

n=l

所以原級數(shù)是絕對收斂的.

(2)，吧彳r°且元F?

所以￡更;收斂，又因?yàn)椤臧装l(fā)散

n=\〃=1

所以W已二條件收斂.

J3〃一2

n=l

(3)lim---/=0且——(----->----=

ilnJJ+2lnV/r+2lnV(/?+i)2+2

所以之(?尸=0,又因?yàn)橹．a(chǎn)發(fā)散,

〃=1InV/r+2n=ilnJJ+2

所以原級數(shù)條件收斂.

.2H—2H------

(4)lim-n-=0k—S—山

n(n+1)〃+lZJ+1+1

所以3(-1)，1二二收斂.

—n(n+1)

n=l

又因?yàn)橹?2iL=y二發(fā)散.

Jn(n+\)Jn+1

n=ln=l

所以原級數(shù)條件收斂.

(5)lim-lim----!——=0

〃->8n-1"TOO___?_

且下，N1

Vn——T=J〃+1—----

J〃J〃+l

所以lim(-1)”收斂.

“->00

又因?yàn)閕im—發(fā)散

〃T8小廠孟I

所以原級數(shù)條件收斂.

(6)

〃->Rfl7!->CO/

因?yàn)?l<e"所以lim電”由=0

n-x?n

rnM-〃+1〃+I+1

因?yàn)槎?卞二

所以為㈠尸皿詈

n-1

又因?yàn)椤甑匾舶l(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.

/1=|

(7)lim-今si吟=0,因?yàn)?尢嗚)，<0,

〃一>00衣,

所以---rsin->----sin—^―

乃〃+1〃乃”+1+1〃+1

所以￡（-l）'i』sin工收斂.

￡/川n

又因?yàn)椤闖fsin?收斂，那么原級數(shù)絕對收斂.

n=l'

(8)因?yàn)椤ā?gt;xVn~+i—>n

所以sin^v?^+l—>sinHTT

所以limsin/rj/，+l=0

又.因?yàn)閟in;rj〃2+I>sin;rj(〃+1)?+1

所以ZsinJ』+1收斂.

w=l

又因?yàn)椤瓴穘”右7

"=|

所以原級數(shù)條件收斂.

⑼上迎

Jn

n=\

所以原級數(shù)發(fā)散.

8

(io)-y(-!---^―)

//2〃一32〃+

/r=l~

因?yàn)榉?7收斂，且之士7收斂?

n=\?=1

所以之（3-』）且*（17一*）收斂?

2〃一3"十^2。一|3己〃+1

〃=1ii=l

所以原級數(shù)收斂.

9.設(shè)a是一個(gè)常數(shù)，判別級數(shù)的斂散性，當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)要確定級數(shù)是絕對收斂

還是條件收斂.

二=￡收斂?

解：當(dāng)aw0時(shí)Z上「=￡”0時(shí)Z

當(dāng)時(shí)攵斂.

n=l

所以時(shí)工備絕對收斂.

n=l

當(dāng)時(shí)=i時(shí)￡■=升為常數(shù)）

n=l&

所以當(dāng)時(shí)=1時(shí)之上百發(fā)散工=2

?=1"

10.設(shè)a是一個(gè)常數(shù)，判別級數(shù)￡（-1廣，1-8542

的劍散性，當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)要確定級數(shù)是

n=lI）

絕對收斂還是條件收斂，而且其斂散性是否與常數(shù)〃的取值有關(guān).

解：因?yàn)?2(1-8$23)2=0因?yàn)椤═8,cosg->I

n

所以1-cos—>i-cos(—^―)

nn+\

所以〃…”產(chǎn)收斂.

71=1

又因?yàn)椤?1-COS4)2收斂

y〃

所以對任意常數(shù)“級數(shù)絕對收斂.

sin〃a1

11.設(shè)。是一個(gè)常數(shù)，判別級數(shù)是斂散性，當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)要確定級數(shù)

w=l

是絕對收斂還是條件收斂，而且其斂散性是否與常數(shù)a的取值有關(guān).

解：因?yàn)椋ㄊ?/p>

fCVn

r；r-pisina1sina1

所以丁一方＞即一右7

又因?yàn)椤考樱?3）=0

"T8"J"

所以之（當(dāng)卜產(chǎn)收斂.

￡〃24

又因?yàn)椤曜l(fā)散.

所以Z（詈-十）條件收斂.

8

12.已經(jīng)幕級數(shù)￡%（1-2）〃在點(diǎn)>0處收斂，在點(diǎn)x=4處發(fā)散，求累級數(shù)2。4的收斂

半徑與斂域.

解：因?yàn)槊麅裕?"2/在/=0處收斂.在點(diǎn)x=0處發(fā)散.

n=!

所以收斂半徑是R=2

所以￡斯.產(chǎn)的收斂半徑是R=2

/|=|

Z的收斂半域是［0,4J；

13.求下列需級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及收斂域:

X(3)￡

(1)

Z〃?2〃

n=l/|=1

oo00震人注意…

(4)z卜。其中〃是一個(gè)正整數(shù)）;⑸E

〃=1/1=1

8

(6)⑺Z(-I)”—（8）y（其中常數(shù)”>o）；

X(2〃-1)(2，—)！y〃-+i

n=lH=I

0

(9)z3"+(-2)J(10)

rt=1

I

(〃+1)2"n_1_

解：⑴limliin

"T8I“T工2/J+I2

2”?〃

所以R=2,所以收斂區(qū)間為（-2,2）

當(dāng)一2時(shí)，±可收斂.

n=\

當(dāng)戶2時(shí)，t3發(fā)散

〃=1

所以收斂域是［2,2）

5+1)!

(c、I.(〃+I)I./K1

(2)Inn-——/一=lim(-------)=-

”->oc〃->s〃+1e

F

所以R=e,收斂半徑區(qū)間為(~e,e),

當(dāng)x=-「時(shí)￡￡(—e)”發(fā)散,

〃=1"

當(dāng)時(shí)名發(fā)散?

n=\

所以收斂域?yàn)椋?e,e）.

4w+,+(-5)w+,4

〃4(--)H+(-5)

(3)lim”+1=lim=5

4"+(-5)”n->xn+1(++1

所以R=g收斂區(qū)間為（總占

31+A)"

當(dāng)R=—g時(shí)，存一^發(fā)散.

n=l

（_1產(chǎn)+（》

------匚收斂,

當(dāng)我4時(shí)，Zn

所以收斂域?yàn)椋?衿

(〃+1)人

5+D!

(4)lim=0,R=00,所以收斂區(qū)間和收斂域均是（-00,+oo）.

?-X>0

(5)lim

〃->oc—用2(2〃+1)4

所以R=4,所以收斂區(qū)間為（-4,4）

B2

當(dāng)x=T時(shí)'學(xué)/-4)〃發(fā)散.

￡⑵)！

當(dāng)x=4時(shí)，直（T）”發(fā)散.

所以收斂域?yàn)椋?4,4）

(6)lim(2"T)(2，T=|而與1=o

“th(2n)(2?)-nf?4n~

所以R=4<o,收斂區(qū)間和收斂域?yàn)椋?8,+8）.

(-1)”

(7)lim

〃一>工(-1尸

所以R=1

(-1-

lim|(2〃)(2，?！]=X〃<I,所以收斂半徑為1.

"TOO

(2n-lX2w-l)

當(dāng)』]時(shí)之(-1尸發(fā)散.

n=l

所以收斂域?yàn)椋?1,1）.

當(dāng)-22.____!—收斂.

中，2?+n-Hr

所以收斂域?yàn)?，￥

〃+1

3向+(-2)”〃+1II

(9)lim=lim

〃一KO3+(等”(-2)3

3"+(_2)”

所以R=3,收斂區(qū)間為（-3,3）

當(dāng)工=一3時(shí)元一y發(fā)散,

M（-1）"+（鏟

當(dāng)x=3時(shí)之發(fā)散.

￡1+旨

所以收斂域?yàn)椋?3,3）

n+2

)2〃-12|

(〃+2)(2〃-1)

(10)lim2n+\=lim

-

/?->f\+n)2〃-1“TOO(2〃+1)5+1)4

2n-l

所以R=4,收斂區(qū)間為（-4,4）.

2/r-i

當(dāng)…時(shí)￡3）

(-4)?發(fā)散.

2n-l

當(dāng)Y3)

4〃發(fā)散.

14.求下列轅級數(shù)的和函數(shù):

8

fix(3)

⑴Z⑵sAn-2￡里…

rt=ln=l〃=1

00oo

2〃-I，2w-2

x(5)

⑷E2”.(2/0!

n=\/l=l

解：(1)=0兒t"T=A(yXny=.v(—)'=—^(-1<X<1)

〃=l9Ii

In》

=—ln-^4(-l<A<l)

(2)彳2『2(小?3)心=/1-*

441-.V2

/|=1

800

=/Z(-l)f2(，L%=12(-DM.r2,,<iv=￡—!-y=arctanx(-\<x<\)

(3)

nclw=l"

(4)=(y-LA-2n-,)=(iy(^.)?)'=(-—^-)=2+a>\(-V2<A-<V2)

￡2"2、工(2-x2r

2

r2?

(5)y之(-1)?-'2_

y(2/0!

W=1

82n

cosx=、(-l)w———

々⑵川

n=l

￡r2n

：.y(-i)n-,?--=-cosx

y⑵?)！

n=l

=3（'+「）

15.利用利級數(shù)的和函數(shù)求卜.列級數(shù)的和:

00（2）y（-"-〃+】）00

(3)z

⑴Z(M2-1)2H

n=\/i=lZl=l

解:⑴之嵋*=￡6/川―?亦］

n=l〃=1

(-1尸二兀

令X=1則Z

2n-l4

n=]

82

“〃2_〃+1)/=之2Atx

(2)自"-Z(W-|)Z

(17)3l-.V

〃=1〃=1n=l

令x=6則Z

〃=1

⑶，士八*+竽-*訓(xùn)*)

1153

令x=~7=8-4

n=\

16.把下列函數(shù)展開成x的暴級數(shù)：

⑴標(biāo)⑵晤；

(3)cos2x;

(4)cos(x+—);(5)ln(3-2x-x2);(6)arutanx.

解:

則14岑什可孚―

0

(2)=-=-Iln(l+^)-ln(l-x)J=X+-A3+-X5+...=V,-■—A2n-I(.r€(-1,1))

2\-x235-2〃一1

n=l

cos2x+111(2A)2W./..

---------=-+->(-1)-——(JIG(^O,-HX>))

222乙(2〃)！

n=\

4..兀

4)=8sxeos----sinxsin—=.v-sinx)

4

2〃￡2〃+l

(-if---Y(-ir---](xe(-oo.+<0))

(2M)!—(2/2+1)!

?=i

5)=ln[(l-x、3+x)]=ln(l-.v)+ln(3+x)

=￡**)串3

-l]xn+ln3(x€[-1,1))

〃二1

6）=1士小工不廳―eITD

17.把下列函數(shù)展開成x-麗的哥級數(shù):

（1）/（.r）=sins,.^=—;(2)/⑶小=2.

6

解：1)/(.r)=sin(x-—+—)=sin(.v-----)cos-----cos(x-----)sin—

666666

V3..乃、T,兀、

=-^-sin(x--,1--cos(.t--)

1?(x--)2n+,?]

=?.￡(7)”/--y(-Dw--Kxe(^o.-Ho))

W=lW=1

2)r(A-)=(-i)x-2

ru)=(-ix-2)r3

r，(x)=(-IX-2)(-3)-x-4

:./（"）*）=

(-l)n

.」=好"-2)”

w=0/

收斂為w(0,4)

(B)

1.選擇題

（1）正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件是（D）.

〃=1

A.limu=0B.iimu=0,且〃底]<〃〃，〃=12…

〃T8n“TOCn

C.Iim3=p<lD.部分和數(shù)列有界

Un

（2）設(shè)級數(shù)￡叫絕對收斂，則級數(shù)+（B）.

〃=1n=l

A.條件收斂B.絕對收斂

C.發(fā)散D.的斂散性還不足以判定

(3)設(shè)“是一個(gè)常數(shù)，且級數(shù)2與絕對收斂，則級數(shù)2(-1)“〃〃2”由缶(c).

A.發(fā)散B.條件收斂

C.絕對收斂D.斂散性與”的取值有關(guān)

(4)設(shè)0《“”＜，(〃=],2...),則在下列級數(shù)中肯定收斂的是(D).

n

A.B.C.Z血

(5)設(shè)常數(shù)八0,且級數(shù)Z扉收斂，則級數(shù)Z(-v

A.發(fā)散B.條件收斂

C.絕對收斂D.收斂性與2有關(guān)

(6)在下列各選項(xiàng)中正確是的(A).

A.若￡*和之口都收斂，則收斂之%+%)2收斂

〃=1〃=ln=\

B.若以“+%|收斂，則￡*和之若都收斂

W=1w=l/1=1

c.若正項(xiàng)級數(shù)為““發(fā)散，則%

D.若級數(shù)￡廝收斂,且%之物(〃=12...)，則級數(shù)》＞〃也收斂

(7)設(shè)外=坐，%=&料(〃=1,2...)則在下列命題中正確的是(B).

A.若條件收斂，則名p”與名冊都收斂

〃=1〃=1n=l

B.若力樂絕對收斂，則與另外都收斂

w=i/1=1w=l

c.若之即條件收斂，則與￡金的斂散性都不定

n=\n=\w=1

D.若石即絕對收斂，則名〃“與名冊的斂散性都不定

（8）設(shè)%=若右冊發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論中正確的是（D）.

t=ln=1

A.￡“21收斂，石。2”發(fā)散

B.收斂，Xa2n-\發(fā)散

〃=1n=l/i=ln=l

8

C.Z（“2nT+。2〃）收斂D.E（"2〃T-%）收斂

〃二1n=l

（9）設(shè)有以下命題:

①若￡（〃2〃T+“）收斂，則￡與收斂;

n=ln=l

②若￡“”收斂，貝j￡"〃+1000收斂

n=ln=l

③若］貝〃發(fā)散；

④若￡（即+%）