山東省青島市四區(qū)部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期零模（期初調(diào)研）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)第21頁(yè)，共21頁(yè)2025高三青島市零模數(shù)學(xué)試題（高三下期初調(diào)研）數(shù)學(xué)2025年2月注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題1.設(shè)復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）．A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，可得答案.【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).故選：B.2.圓在點(diǎn)處的切線斜率是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷點(diǎn)在圓上，再根據(jù)切線和半徑的垂直關(guān)系求切線斜率.【詳解】如圖：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓：上.所以圓在點(diǎn)處的切線與半徑所在的直線垂直.又，所以切線的斜率為：.故選：C3.設(shè)，，則的值為（）．A.2 B.3 C. D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式及同角公式求解即得.【詳解】由，，得，，因此，，所以.故選：D4.《九章算術(shù)》中記載：“今有臺(tái)，上廣二尺，下廣四尺，高五尺．”其大致意思為：“現(xiàn)有一個(gè)棱臺(tái)，上底面為邊長(zhǎng)為2正方形，下底為邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5”，則這個(gè)棱臺(tái)的體積為（）A. B. C.100 D.140【答案】B【解析】【分析】由棱臺(tái)體積公式可得答案.【詳解】由題可得上底面積，下底面積為，高為，則棱臺(tái)體積為：.故選：B5.下表反映了12月份（共21個(gè)工作日）中，李華同學(xué)在每天的數(shù)學(xué)課上攜帶教材的情況，以及數(shù)學(xué)課上坐在李華同桌位置的同學(xué)，只有梓晴、陳偉和劉瑞可以作為李華的同桌．日期1234567891011教材無(wú)有有無(wú)有有無(wú)有有無(wú)無(wú)同桌梓晴陳偉劉瑞梓晴陳偉劉瑞梓晴陳偉梓晴梓晴陳偉日期（續(xù)）12131415161718192021教材（續(xù)）有有有無(wú)無(wú)有有無(wú)無(wú)有同桌（續(xù)）劉瑞梓晴陳偉劉瑞梓晴陳偉劉瑞梓晴陳偉劉瑞從表格信息，我們可以推斷（）：（附：）A.有不小于95%的把握認(rèn)為李華與梓晴同桌時(shí)上數(shù)學(xué)課有更大的概率攜帶教材B.有不小于99%的把握認(rèn)為李華與梓晴同桌時(shí)上數(shù)學(xué)課有更大的概率攜帶教材C.有不小于95%的把握認(rèn)為李華與劉瑞、陳偉同桌時(shí)上數(shù)學(xué)課有相等的概率攜帶教材D.若強(qiáng)制劉瑞或陳偉與李華同桌，可能一定程度上提升李華上數(shù)學(xué)課攜帶教材的概率【答案】D【解析】【分析】完善相應(yīng)的列聯(lián)表，求得卡方值，比較臨界值，逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】與梓晴同桌8天，2天帶教材，6天沒(méi)帶；與陳偉同桌7天，5天帶教材，2天沒(méi)帶；與劉瑞同桌6天，5天帶教材，1天沒(méi)帶；帶教材沒(méi)帶教材合計(jì)梓晴268其他同桌10313合計(jì)12921，所以認(rèn)為有95%的把握認(rèn)為李華是否帶教材與誰(shuí)是同桌有關(guān)；，所以認(rèn)為沒(méi)有99%的把握認(rèn)為李華是否帶教材與誰(shuí)是同桌有關(guān)；故AB錯(cuò)誤；帶教材沒(méi)帶教材合計(jì)劉瑞516陳偉527合計(jì)10313，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為李華是否帶教材與誰(shuí)是同桌有關(guān)，C錯(cuò)誤；從數(shù)據(jù)：與梓晴同桌8天，2天帶教材，6天沒(méi)帶；與陳偉同桌7天，5天帶教材，2天沒(méi)帶；與劉瑞同桌6天，5天帶教材，1天沒(méi)帶；可以認(rèn)為強(qiáng)制劉瑞或陳偉與李華同桌，可能一定程度上提升李華上數(shù)學(xué)課攜帶教材的概率，D正確，故選：D6.四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)均為整數(shù)的正四面體體積的最小值為（）．A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方體與正四面體的關(guān)系，求得最小正四面體的體積.【詳解】利用正方體的面對(duì)角線構(gòu)造正四面體，如下圖所示，正方體，正四面體，要使四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)均為整數(shù)的正四面體體積最小，則對(duì)應(yīng)的正方體的體積最小，所以正方體的邊長(zhǎng)為，此時(shí)，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)均為整數(shù)..故選：A7.設(shè)函數(shù)，則（）A.的定義域是 B.在定義域上單調(diào)遞減C.在點(diǎn)處的切線斜率為 D.【答案】D【解析】【分析】由求解可判斷A，由反例可判斷B，，求導(dǎo)可判斷C，由，累加求和可判斷D；【詳解】由有意義可得：解得且，所以定義域?yàn)椋珹錯(cuò)誤；，由此知在定義域上一定不是單調(diào)遞減；B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則，C錯(cuò)誤；所以，D正確；故選：D8.設(shè)集合，A是S的一個(gè)子集．若對(duì)任意，總有，則A中元素個(gè)數(shù)的最大值是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】由奇數(shù)一奇數(shù)＝偶數(shù)，要使A中元素的個(gè)數(shù)最多，則集合A中應(yīng)可以取所有的奇數(shù)即可．【詳解】因?yàn)锳是S的一個(gè)子集，記，而奇數(shù)一奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)－偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的差為奇數(shù)，若對(duì)任意總有，要使A中元素的個(gè)數(shù)最多，則集合A中應(yīng)可以取所有的奇數(shù)即可，即，得集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值為：5．故選：A二、多選題9.已知，其中（）且（），則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用兩角和的正切公式將已知式化簡(jiǎn)，求出（）或（），然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以（）或（），A：，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，令，則，故C錯(cuò)誤；D：由A知，則，故，故D正確，故選：AD.10.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A.有三個(gè)零點(diǎn)B.零點(diǎn)均分布在內(nèi)C.零點(diǎn)為，，D.零點(diǎn)為，，【答案】ACD【解析】【分析】利用求導(dǎo)思想，來(lái)研究三次函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可判斷選項(xiàng)AB，再通過(guò)三倍角正弦函數(shù)公式，可檢驗(yàn)三個(gè)零點(diǎn)是否滿足，并判斷CD，即可.【詳解】對(duì)于函數(shù)，求導(dǎo)可得：，令，解得，可得下表：極大值極小值則，，即可作圖，通過(guò)圖象可知，有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；又因?yàn)榻Y(jié)合圖象可知，函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)均分布在內(nèi)，故B正確；因?yàn)?，?將代入解析式可得，，故是的一個(gè)零點(diǎn)；再將代入解析式可得，，故是的一個(gè)零點(diǎn)；再將代入解析式可得，，故是的一個(gè)零點(diǎn)；故C正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.設(shè)為公比為的等比數(shù)列，，其中符號(hào)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則（）．A.若，，則B.若，的最大值為3，則q的取值范圍是C.若，為常數(shù)列，則為常數(shù)列D.若與為同一個(gè)數(shù)列，則、q均為非零整數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】通過(guò)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和取整函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，所以.故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，由題意的最大值為1.當(dāng)或均不符合題意，故.所以，即，解得.故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：取，，則，，，顯然是各項(xiàng)為的常數(shù)列；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈捻?xiàng)都是整數(shù)，而與為同一個(gè)數(shù)列，所以、q均需為非零整數(shù).故D正確；故選：ABD.三、填空題12.已知函數(shù)的圖象為雙曲線，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)給定的雙曲線求出其漸近線方程，求出實(shí)軸所在直線的方程，由此求出實(shí)半軸長(zhǎng)，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求出虛半軸長(zhǎng)，進(jìn)而求出半焦距，再求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線的漸近線為直線，令雙曲線的頂點(diǎn)，直線為直線所夾銳角的平分線，直線的傾斜角為，斜率，直線：，由，得，令雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，則，過(guò)分別作直線的垂線交直線分別于，，半焦距，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.故答案為：，13.在一個(gè)大球內(nèi)放入4個(gè)完全相同的小球，任意兩個(gè)小球都彼此相切，且它們都和大球相切，若每個(gè)小球的半徑都是1，則大球的表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由題意得到四個(gè)球的球心構(gòu)成的幾何體，然后求出該幾何體的外接球半徑，加上小球半徑即可得到大球半徑，然后求得表面積.【詳解】由題意可知，四個(gè)小球圓心的距離均為，如圖正四面體，且，由中線的三等分點(diǎn)得到底面的重心，然后連接，則球心必在線段上，∵，∴，則，，則，在中，令，則，解得，又∵小球與大球相切，∴大球半徑為，∴大球表面積.故答案為：.14.小張同學(xué)在罰球線投籃4次，每次投進(jìn)的概率相同，若投進(jìn)次數(shù)恰好為3的概率取得了最大值，則他恰好投進(jìn)1次的概率是________．【答案】【解析】【分析】先設(shè)每次投進(jìn)的概率為，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式表示出投進(jìn)次數(shù)恰好為的概率，通過(guò)求其最大值確定的值，再計(jì)算恰好投進(jìn)次的概率.【詳解】設(shè)每次投進(jìn)的概率為（），因?yàn)樾埻瑢W(xué)在罰球線投籃次，這是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).所以投進(jìn)次數(shù)恰好為的概率.設(shè)（），.令，即，解得，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即投進(jìn)次數(shù)恰好為的概率取得最大值.此時(shí).根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，投進(jìn)次數(shù)恰好為次的概率.故答案為：四、解答題15.小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)，游戲規(guī)則為：以0為起點(diǎn)，再?gòu)?，（如圖）這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別分終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X．若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)．（1）求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)【解析】【詳解】（1）因?yàn)閄滿足=0的是兩個(gè)垂直的向量有8個(gè)，從8個(gè)向量中任取2個(gè)乘積共有種，所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為（2）由題意知X可能取值有-2，-1,0,1，X的分布列如下：X-2-101P考點(diǎn)：該題主要考查離散型隨機(jī)變量X的概率分布、期望，平面向量的概念和運(yùn)算，隨機(jī)變量的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析能力和運(yùn)算能力.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，且.是否存在實(shí)數(shù)，使得按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)祭計(jì)算可得函數(shù)的極值點(diǎn)為，零點(diǎn)為，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；【小問(wèn)2詳解】，由于，故，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的兩個(gè)極值點(diǎn)為，不妨設(shè)，因?yàn)?，且是的一個(gè)零點(diǎn)，故.又因?yàn)?，故，此時(shí)依次成等差數(shù)列，所以存在實(shí)數(shù)滿足題意，且.17.設(shè)三角形滿足，其中分別為的對(duì)邊．（1）證明：；（2）設(shè)三角形中，為邊靠近的三等分點(diǎn)，且，，將三角形向上翻折（如圖），若平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由和正弦定理可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可證；（2）利用空間向量法求二面角.【小問(wèn)1詳解】因，由正弦定理可得，得，即，故，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又，，故，，由題意可知，由余弦定理可得，故，又，故，由題意，故，故，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面平面，平面平面，故平面，又平面，故，又，，平面，故平面，在平面上，過(guò)作交于，則兩兩垂直，由題意，故，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故故二面角的余弦值為.18.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)W為：和的公共點(diǎn)，，與直線相切，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）若，直線與C交于點(diǎn)A，B，直線與C交于點(diǎn)，，點(diǎn)A，在第一象限，記直線與的交點(diǎn)為G，直線與的交點(diǎn)為H，線段AB的中點(diǎn)為E．①證明：G，E，H三點(diǎn)共線；②若，過(guò)點(diǎn)H作的平行線，分別交線段，于點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②16【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題目條件列式化簡(jiǎn)可得軌跡；（2）①設(shè)線段的中點(diǎn)為，利用向量證明G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理H，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得結(jié)論；②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB面積，將直線和拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出直線和直線的方程，則可求出坐標(biāo)，然后利用面積公式求解最值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，與直線的切點(diǎn)為N，則，所以化簡(jiǎn)得，所以C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】①設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以可設(shè)，，又因?yàn)?，所以G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理，H，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以G，E，H三點(diǎn)共線．②設(shè)，，，，AB中點(diǎn)為E，中點(diǎn)為F，將代入得：，所以，，所以，同理，，（均在定直線上）因?yàn)?，所以△EAT與△EAH面積相等，與△EBH面積相等；所以四邊形面積等于四邊形GAHB的面積，設(shè)，，直線，即整理得：直線，又因?yàn)?，所以，同理，直線，，所以所以所以四邊形GAHB面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以四邊形面積的最大值為16．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB的面積，還有充分利用第一問(wèn)中的點(diǎn)共線求出的橫坐標(biāo)，可以給求面積帶來(lái)便利.19.給定正整數(shù)，設(shè)集合，若集合，且T中存在元素（是為了區(qū)分元素而設(shè)置的角標(biāo)），對(duì)任意的滿足，則稱集合T為集合的“典范子集”．（1）寫(xiě)出集合的所有“典范子集”；（2）設(shè)集合的子集均不是集合的“典范子集”，且，求s的最小值；（3）若集合的任意元素個(gè)數(shù)為m的子集都是集合的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）．【答案】（1）和（2）（3）【解析】【分析】（1）正確理解“典范子集”的定義，求出，根據(jù)定義分析即可；（2）正確理解“典范子集”需要存在3個(gè)元素滿足的條件，據(jù)此可以嘗試按第二個(gè)坐標(biāo)的值將元素分組，將元素分為3組，證明每個(gè)均不是“典范子集”，證明不可能即可求解；（3）求出限制所有元素的每個(gè)坐標(biāo)分量均不超過(guò)的子集個(gè)數(shù)，證明這樣的子集不包含“典范子集”，證明當(dāng)子集大小超過(guò)，即，必存在至少一個(gè)元素在某個(gè)坐標(biāo)上的分量為，再利用反證法即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，“典范子集”滿足存在3個(gè)元素、和，使得對(duì)于，前1個(gè)元素的第1位相同且小于后2個(gè)元素的第1位，對(duì)于，前2個(gè)元素的第2位相同且小于后1個(gè)元素的第2位，，第一種可能性：，：第一位為

1，2，2，滿足前1個(gè)（1）等于自己，且

，：第二位為，，，滿足前兩個(gè)等于自己，且，第二種可能性：包含個(gè)元素的集合，因?yàn)榇嬖诤蜻x1中的3元組，所以也是“典范子集”，其他組合均不符合題意，所以所有“典范子集”為和；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椤暗浞蹲蛹毙枰嬖?個(gè)元素滿足：對(duì)第一個(gè)坐標(biāo)，前1個(gè)元素第1位相同且小于后2個(gè)元素的第1位，對(duì)第二個(gè)坐標(biāo)，前2個(gè)元素的第2位相同且小于后1個(gè)元素的第2位，如果某個(gè)子集中所有元素的第二個(gè)坐標(biāo)都相同（例如全為1），則無(wú)法滿足第二個(gè)坐標(biāo)的條件（所有元素的第二個(gè)坐標(biāo)相等，不可能有“前2個(gè)相同且小于后1個(gè)”），因此，可以嘗試按第二個(gè)坐標(biāo)的值將元素分組，因?yàn)榈牡诙€(gè)坐標(biāo)可取1、2、3，所以將元素分為3組：（所有第二個(gè)坐標(biāo)為1的元素），，（所有第二個(gè)坐標(biāo)為2的元素），，（所有第二個(gè)坐標(biāo)為3的元素），對(duì)于任意，因?yàn)樗?/p>