浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024—2025學(xué)年下學(xué)期高二3月考試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合、，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】，，所以，故選：A2.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因，所以，即．故選：A．3.已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】【分析】由條件結(jié)合投影向量的定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，是兩個(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.4.已知點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程及點(diǎn)在圓外有且，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，圓，則①，由點(diǎn)在圓外，則有②，聯(lián)立①②得：或所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：C5.已知甲袋里只有紅球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里這三種球都有.現(xiàn)從這四個(gè)袋子中隨機(jī)抽取一個(gè)袋子，設(shè)事件為“所抽袋子里有紅球”，事件為“所抽袋子里有白球”，事件為“所抽袋子里有黑球”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件相互獨(dú)立C.事件與事件相互對(duì)立 D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)要寫(xiě)條件，利用互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，即抽取丁袋，事件與事件不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，事件與事件相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，即抽取丁袋，事件與事件不對(duì)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，事件與事件不獨(dú)立，D錯(cuò)誤.故選：B6.已知在棱長(zhǎng)為的正四面體中，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用線線角的向量法，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，易知，，因?yàn)?，所以，，則，又，得到，，得到設(shè)和夾角為，則,故選：C.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合條件，得到在上單調(diào)遞減，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.【詳解】令，則，又，，所以，即在上單調(diào)遞減，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.8.如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若存在，則半橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)從而得到向量坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)表示數(shù)量積得到相應(yīng)等量關(guān)系，再由點(diǎn)的變化范圍得到相應(yīng)不等式，進(jìn)而求得取值范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，又點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)榇嬖?，所以，即在上有解，因?yàn)?，且，所以在上有解，即在上有解，所以又因?yàn)?，所以，即，解得，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是采用設(shè)點(diǎn)法，再代入計(jì)算相關(guān)向量數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為在上有解，從而得到不等式組，解出即可二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是.B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù).C.數(shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位數(shù)為10.D.甲乙丙三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣，若抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為18.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解；對(duì)于B，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義，即可求解；對(duì)于C，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解．【詳解】對(duì)于A，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是，故A正確；對(duì)于B，一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)為3，中位數(shù)為3，故B不正確；對(duì)于C，數(shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，14，16，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是10，故C正確；對(duì)于D，令樣本容量為，則，解得，故D正確．故選：ACD．10.已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.為等比數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為C.為遞增數(shù)列D.的前n項(xiàng)和【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號(hào)即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所?3，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD.11.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別滿足.甲?乙?丙?丁四名同學(xué)利用《空間向量與立體幾何》這一章的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行研究，各自得出一個(gè)結(jié)論：甲：當(dāng)時(shí)，存在，使得；乙：當(dāng)時(shí)，存在，，使得；丙：當(dāng)時(shí)，滿足的的關(guān)系為；?。寒?dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.其中得出正確結(jié)論的同學(xué)有（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】ABD【解析】【分析】由題意分析可知：點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），建系，設(shè).對(duì)于甲丙?。航Y(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解；對(duì)于乙：取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，結(jié)合對(duì)稱性分析判斷.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，可得，所以點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），則，設(shè)，對(duì)于甲同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，則，，若，則，整理得，得，則點(diǎn)存在，此時(shí)，所以存在，使得，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于乙同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則，所以，所以存在點(diǎn)，使得，即存在，使得，故B正確，對(duì)于丙同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，可得，由，得，即，所以點(diǎn)的軌跡為中平行于邊的中位線，當(dāng)為該中位線的中點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)不為該中位線的中點(diǎn)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于丁同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，可得，由，得0，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓與正方形相交的圓弧，如圖2所示，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，所以，由圓與正方形的對(duì)稱性知，，所以，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.【點(diǎn)晴】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于利用向量的線性運(yùn)算，得，點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界）.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若雙曲線的離心率為3，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意，焦點(diǎn)在軸上，；故答案為：13.已知,分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則________【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，又，所以，故答案為：.14.“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無(wú)規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號(hào)倉(cāng)，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號(hào)倉(cāng)到達(dá)容器外的概率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】定義從出發(fā)最終從1號(hào)口出的概率為，結(jié)合獨(dú)立乘法、互斥加法列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)從出發(fā)最終從1號(hào)口出的概率為，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知圓C的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線過(guò)點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓C相切，求直線的方程．（3）若直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．【答案】（1）（2），或（3）或【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線，利用點(diǎn)到直線距離等于半徑求出斜率，即可求解；（3）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，利用圓的垂徑定理，列出弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.小問(wèn)1詳解】圓心到直線的距離，所以圓的半徑為，所以；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為，不相切．直線斜率存在，設(shè)直線，由，得所以切線方程為，或．【小問(wèn)3詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由，解得：，故的方程是，即，綜上所述，直線的方程為或16.已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．17.已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）證明：；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)得，進(jìn)一步即可證明；（2）由題意首先求得的取值范圍，進(jìn)一步將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為只含有的式子即可求解．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，所以，而，則或，即或（舍去），故．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以的取值范圍是，由正弦定理可得：，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以的取值范圍是?8.在三棱錐中，，平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，且滿足平面平面，．（1）求證：；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）作，證得平面，得到，再由平面，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，由，得到，求得，在求得平面和的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)棱錐的體積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又因?yàn)?，，且平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標(biāo)，如圖所示，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，又由，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，又因?yàn)闉槠矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，因?yàn)?，解得（舍去）或，所以點(diǎn)或，所以三棱錐的體積為.19.已知函數(shù)（1）若，且，求的最小值；（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）求出后根據(jù)可求的最小值；（2）設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，可證關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱性；（3）根據(jù)題設(shè)可判斷即，再根據(jù)在上恒成立可求得.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，其中，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)楫?dāng)且